D1814. Cercles en homothétie
Problème proposé par Pierre Leteurtre
On donne dans le plan un cercle fixe (Γ) et deux points fixes A et B par lesquels passe un cercle variable (γ). Déterminer le lieu du centre d'homothétie qui permet de passer de (Γ) à (γ).
Soit A(-1,0), B(+1,0) les deux points fixes, (x-u)² + (y-v)² = r² l'équation de (Γ).
(γ) a pour centre C(0,tan t ) et pour rayon 1/ |cos t| . Les centres d'homothétie sont les barycentres de C affecté de + r et du point (u,v) affecté de 1/cos t .
Voici leurs coordonnées : X = u/(+ r cos t +1), et Y = (+ r sin t + v)/(+ r cos t +1)
Les deux centres d'homothétie appartiennent à la conique définie par (u/X – 1)² + (uY/X – v)² = r² (u – X)² + (uY – vX)² = r²X²
Équation de la conique : X²(1+v² – r²) – 2uvXY + u²Y² – 2ux + u² = 0
Le discriminant réduit de l'équation aux pentes des directions asymptotiques est (uv)² – u²(1 + v² – r² ) = (r² – 1)u² .
Si AB = 2r genre parabole . Si AB > 2r genre ellipse.
Si AB < 2r genre hyperbole.
En étudiant les variations de la fonction X(t) on peut vérifier que la conique est parcourue entièrement.
