Espaces vectoriels et applications linéaires (2)

Programme colle math Semaine 17 du 03/02/20 au 08/02/20 MPSI B Hoche

Espaces vectoriels et applications linéaires (2)

B - Espaces de dimension finie

Existence de bases

Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie.

Si (xi)_1≤i≤n engendreE et si (xi)_i∈I est libre pour une Existence de bases en dimension finie.

certaine partieIde{1, . . . , n}, alors il existe une partie Théorème de la base extraite : de toute famille généra- J de {1, . . . , n} contenant I pour laquelle (x_j)_j∈J est trice on peut extraire une base.

une base deE. Théorème de la base incomplète : toute famille libre peut

être complétée en une base.

Dimension d’un espace de dimension finie

Dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille den+ 1 vecteurs est liée.

Dimension d’un espace de dimension finie. Dimensions deKⁿ, deKn[X], de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1, de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants, de l’espace des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.

En dimensionn, une famille denvecteurs est une base si et seulement si elle est libre, si et seulement si elle est génératrice.

Dimension d’un produit fini d’espaces vectoriels de di- mension finie.

Rang d’une famille finie de vecteurs. Notation rg(x1, . . . , xn).

Sous-espaces et dimension

Dimension d’un sous-espace d’un espace de dimension Sous-espace deR² etR³. finie, cas d’égalité.

Tout sous-espace d’un espace de dimension finie possède Dimension commune des supplémentaires.

un supplémentaire.

Base adaptée à un sous-espace, à une décomposition en somme directe d’un nombre fini de sous-espaces.

Dimension d’une somme de deux sous-espaces ; formule de Grassmann. Caractérisation des couples de sous-espaces supplémentaires.

Si F₁, . . . , F_p sont des sous-espaces de dimension finie, alors : dim

p

X

i=1

Fi ≤

p

X

i=1

dimFi, avec égalité si et seule- ment si la somme est directe.

Questions de cours

— Une famille est liée si et seulement si un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.

— Soit (a₁,· · ·, a_p) libre etxun vecteur. La famille (a₁,· · · , a_p, x) est liée si et seulement six∈Vect(a₁,· · · , a_p).

— Condition suffisante de dépendance.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S17

Programme colle math Semaine 17 du 03/02/20 au 08/02/20 MPSI B Hoche

— Définition d’un espace de dimension finie. Un ev de dimension finie admet des bases.

— Définition de la dimension.

— Thm de la base incomplète.

— Dimension d’un sous-espace. Formule de Grasmmann pour la somme de deux sev.

— Dimension d’une somme et caractérisation de la somme directe.

Prochain programme Applications linéaires.

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