I
ETUDE D'UNE FONCTION NUMERIQUE REELLE.
Soit la fonction numérique réelle définie sur Df = ] -∞ , 0 [ U ] 0 , +∞[ par f ( x ) = 2 - x 1
On note ( Cf ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O, i, j ) : unités 2cm.
On désigne par ( D1) la droite d'équation x = 0 et par ( D2 ) la droite d'équation y = 2.
1°) Etudier les limites de f aux bornes de l'ensemble Df.
2°) Que peut-on en déduire graphiquement pour ( Cf) ? 3°) a) Pour tout nombre réel x non nul calculer f ' ( x ).
b) En déduire le signe de f ‘ ( x ) pour tout nombre réel x non nul.
c) Etablir le tableau des variations de f sur Df.
4°) Construire (Cf ) et faire figurer les droites ( D1 ) et ( D2 ).
II ETUDE D'UNE SUITE NUMERIQUE REELLE.
On construit une suite numérique réelle U par son premier terme U0 , nombre réel donné et par la relation de récurrence : Un+1 = f (Un).
Soit pour tout entier naturel n : Un+1 = 2 - Un
1
1°) La suite U est -elle parfaitement définie pour toutes les valeurs de Uo ? 2°) On suppose dans cette question que U0 = 1.
a) Calculer U1, U2.
b) Que peut-on dire de la suite U ?
DANS TOUTE LA SUITE DU PROBLEME ON DONNE U0 = 5.
3°) Donner sous forme de quotient irréductible les valeurs exactes de U1, U2 et U3.
4°) A l’aide du graphique de la partie I , construire U1, U2 et U3.
5°) Quelle semble être la limite de la suite U lorsque n tend vers +∞ ? III EXPRESSION DU TERME DE GENERAL DE LA SUITE U.
Pour tout entier naturel n on pose Vn =
1 1
Un .
On définit ainsi une suite numérique réelle V par son terme général Vn , pour n entier naturel.
1°) a) Calculer sous forme de quotient irréductible : V0, V1, V2 et V3 . b) Comparer V1et V0 + 1 ; V2 et V1 + 1 puis V3 et V2 + 1
2°) a) Plus généralement démontrer que pour tout entier naturel n Vn+1 = Vn + 1.
b) Quelle est la nature de la suite V ?
c) En déduire que pour tout entier naturel n : Vn = n + 1/4 3°) En déduire l'expression de Un en fonction de n , entier naturel.
4°) A partir de l'expression de Un en fonction de n : a) Retrouver le résultat de la question II 5°).
b) Donner sous forme d'un quotient irréductible la valeur de U2009.
