A139-Comment approcher un nombre décimal avec une fraction rationnelle.

A139-Comment approcher un nombre décimal avec une fraction rationnelle.

Solution

La méthode la plus classique pour résoudre ce problème est d’exprimer le nombre décimal 0,123456789 sous forme d’une fraction continue.

En effet il est bien connu que tout nombre réel X peut être représenté par une fraction continue de la forme :

dans laquelle tous les termes a₁,a₂,a₃,....,a_i,... sont des nombres entiers. Une façon plus simple de l’exprimer consiste à écrire X = [a₁,a₂,a₃,....,a_i,...]

Comment se calculent les termes a dans le cas où X=0,123456789 ? L’algorithme d’Euclide _k permet de les déterminer pas à pas et une calculette ordinaire ou scientifique permet (a priori) de le mener à bien. On suppose que l’écran de cette calculette affiche un maximum de 10 chiffres.

Le premier terme a est évidemment 0. Le terme suivant ₁ a est obtenu en prenant la partie ₂ entière par défaut de l’inverse de X soit 1/0,123456789 qui est égale à 8.On garde en mémoire la partie décimale de 1/0,123456789 qui est égale à r = 1/0,123456789 – 8 = 0,100000073 et ₂ est utilisée à l’étape suivante pour le calcul de a avec ₃ a = Ent[1/₃ r ] = Ent[1/0,100000073] = ₂ 9 et r = 1/0,100000073 – 9 = 0,9999927. ₃

On répète le processus autant de fois qu’on le désire et chaque itération améliore la précision dans l’estimation de X. On obtient ainsi le tableau suivant qui donne les termes a_i et r_i

calculés à chaque étape mais aussi le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue en transformant la fraction continue en une seule fraction. On a les relations de récurrence

2 i 1 i i

i a N N

N  _  _ et D_i a_iD_i1D_i2.

On arrête l’algorithme quand l’écart entre N_i/D_i et X est nul. D’où l’écriture de X = 0,123456789 = [0,8,9,1,136986] = 1 369 869 / 11 096 939.

A-t-on obtenu les plus petits entiers m et n répondant à la question posée. La réponse est non car la calculette avec ses 10 chiffres significatifs n’a pas la précision nécessaire. Si l’on reprend l’algorithme d’Euclide en introduisant une précision de 15 chiffres significatifs, on obtient le tableau suivant :

X a(i) r(i) 1/r(i) Numérateur N(i) Dénominateur D(i) N(i)/D(i) écart [N(i)/D(i) - X]

0,123456789 0 0,123456789 8,100000073 0 1

8 0,100000073 9,9999927 1 8 0,125000000 0,001543211

9 0,9999927 1,0000073 9 73 0,123287671 -0,000169118

1 0,0000073 136986,3013 10 81 0,123456790 0,000000001

136 986 0,3013 3,318951211 1 369 869 11 095 939 0,123456789 0,000000000 3 0,318951211 3,135275758 4 109 617 33 287 898 0,123456789 0,000000000 3 0,135275759 7,392307496 13 698 720 110 959 633 0,123456789 0,000000000

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On constate que le 5^ème terme a n’est plus 136 986 mais 135 665. Ceci est dû au fait que le ₅ reste r exprimé avec neuf chiffres significatifs 0,100000073 n’est pas assez précis et il ₂ convient d’écrire r = 0,100000073710000. ₂

Par ailleurs pour obtenir une estimation de X par excès ,c’est à dire 0,123456789… et non 0,123456788999…il faut introduire un 6^ème terme a =1. D’où X = 0,123456789 = ₆

[0,8,9,1,135665,1] et la nouvelle fraction m/n s’écrit 1 356 669 / 10 989 019.

a(i) r(i) 1/r(i) N(i) D(i) N(i)/D(i) écart [N(i)/D(i) - X]

0 0,123456789000000 8,100000073710000 0 1

8 0,100000073710001 9,999992629005300 1 8 0,125000000000000 0,001543211000000 9 0,999992629005304 1,000007371049030 9 73 0,123287671232877 -0,000169117767123 1 0,000007371049028 135665,899950756000000 10 81 0,123456790123457 0,000000001123457 135 665 0,899950756487669 1,111171908897330 1 356 659 10 988 938 0,123456788999993 -0,000000000000007 1 0,111171908897330 8,995078072496920 1 356 669 10 989 019 0,123456789000001 0,000000000000001 8 0,995078072496920 1,004946272698710 12 210 011 98 901 090 0,123456789000000 0,000000000000000

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