PanaMaths Mars 2012
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
( ) ( )
4 5
2 1 F X X
X
= +
−
Analyse
La fraction rationnelle proposée ne comportant qu’un seul pôle, la décomposition en éléments simples s’obtient grâce à une succession de divisions euclidiennes.
Résolution
On effectue d’abord la division euclidienne de X4+2 par X −1 :
( )
( )
( )
( )
4
3 2
4 3
3
3 2
2 2
2 1
1 2
2
2 1
3 X X
X X X
X X X X X
X X X
X X + −
+ + +
− −
+
− −
+
− −
+
− −
On a donc : X4+ =2
(
X −1) (
X3+X2+ + +X 1)
3.(on pouvait procéder plus rapidement en notant que l’on a : X4+ =2
(
X4− +1)
3).On a ensuite :
( ) ( )
3 2 1 1 2 2 3 4
X +X + + =X X − X + X + +
( )( )
2 2 3 1 3 6
X + X + = X − X + +
( )
3 1 4
X + = X − +
PanaMaths Mars 2012
D’où :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
2
2 2
2
3 2
3 2
4 3 2
2 1 1 3
1 1 2 3 4 3
1 2 3 4 1 3
1 1 3 6 4 1 3
1 3 6 1 4 1 3
1 1 4 6 1 4 1 3
1 4 1 6 1 4 1 3
X X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
+ = − + + + +
⎡ ⎤
= − ⎣ − + + + ⎦+
= − + + + − +
= − ⎡⎣ − + + ⎤⎦+ − +
= − + + − + − +
= − ⎡⎣ − + ⎤⎦+ − + − +
= − + − + − + − +
On a : X4+ =2
(
X −1)
4+4(
X −1)
3+6(
X −1)
2+4(
X − +1)
3.D’où :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
4
5 5
2 3 4 5
1 4 1 6 1 4 1 3
2
1 1
1 4 6 4 3
1 1 1 1 1
X X X X
X
X X
X X X X X
− + − + − + − +
+ =
− −
= + + + +
− − − − −
Finalement :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
5 2 3 4 5
2 1 4 6 4 3
F 1 1 1 1 1 1
X X
X X X X X X
= + = + + + +
− − − − − −
Résultat final
La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
( )
( )
4 5
F 2
1 X X
X
= +
− s’écrit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
5 2 3 4 5
2 1 4 6 4 3
F 1 1 1 1 1 1
X X
X X X X X X
= + = + + + +
− − − − − −
