PanaMaths Novembre 2007
Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle 5 2 ;
I
⎤⎥ ⎡⎢⎥ ⎢
⎦ ⎣
= +∞ :
( ) ( 2 7 5 )3
f x
x
= −
Analyse
La fonction dérivée de la fonction x62x−5 admet une dérivée simple. On peut alors identifier une expression de la forme u x u'
( ) ( )
. n x dans l’expression de f x( )
.Résolution
La fonction dérivée de la fonction x62x−5 est la fonction x62. On peut alors récrire f x
( )
comme suit :( ) (
7)
3 7 2(
5)
3 7 2(
2 5)
32 5 2
f x x x
x
− −
= = − = × × −
−
Cette expression est de la forme k u x u. '
( ) ( )
. n x avec :• 7
k= 2 ;
• u x
( )
=2x−5 ;• n= −3.
Or, une primitive de u u'. n (lorsque n≠ −1) est la fonction : 1 1 1
un
n
+
+ . On en déduit ici qu’une primitive de la fonction f sur l’intervalle 5
2;
⎤ + ∞⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ est la fonction F définie par :
( ) ( ) ( )
( )
3 1 2
2
7 1 7 1 7 1
2 5 2 5
2 3 1 2 2 4 2 5
F x x x
x
− + −
= × × − = × × − = − ×
− + − −
PanaMaths Novembre 2007
Résultat final
La fonction
( )
27 1
: 4 2 5
F x
− × x
6 − est une primitive de la fonction
( )
3: 7
2 5
f x
x− 6 sur l’intervalle 5
2;
⎤ +∞⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣