Cours : Asymptote

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Avant tout, une asymptote est (en général) une droite, verticale ou oblique (qui comprend le cas horizontal).

Intuitivement, on dit que la droite D est asymptote à la courbe C en ^+∞, si, lorsque x devient infiniment grand, la droite et la courbe sont infiniment proches.

Cela s’avère pratique puisque aussi compliquée que soit la courbe, pour x très grand, elle a le comportement d’une droite !

On peut comparer ce phénomène à une courbe qui se comporte comme sa tangente (au voisinage d’un point), lorsqu’elle existe.

Remarque : Toute courbe n’admet pas une asymptote...

I ASYMPTOTE VERTICALE

OBJECTIF : Certaines fonctions ne sont pas définies en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a pour déterminer leur comportement.

Exemple 1 : la fonction f définie sur l'intervalle ] 2 ; + ∞[ représentée ci-dessous. Exemple 2 : sin( )

( ) x 0

f x si x

= x ≠

- Dans l’exemple 1, lorsque x se rapproche de 2 par la droite (x→2⁺), f (x) devient de en plus grand. On a

2

lim ( )

x f x

→ + = +∞.

Graphiquement lorsque x se rapproche de 2, la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d’équation x = 2

La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 2.

- Dans l’exemple 2, la valeur interdite est 0. Pourtant, on constate graphiquement que pour x se rapprochant de 0, le nombre f(x) se rapproche de 1 (et ne tend pas vers +∞).

Premier Résultat : a est valeur interdite D : x = a est asymptote verticale.

Les différents cas de limite infinie :

lim ( ) f x = +∞ lim ( ) f x = −∞ lim ( ) f x = +∞ lim ( ) f x = −∞

O 2 x

f (x)

x y

o

D C

a a

C D

o a

D

C

o a

C D

o

(3)

DEFINITION Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a.

Soit lim ( ) ou lim ( )

x a f x x a f x

+ −

→ = ±∞ → = ±∞.

II ASYMPTOTE HORIZONTALE .

Remarque : une asymptote horizontale (y = b) est une asymptote oblique (y = ax + b) particulière.

Soit f la fonction définie sur par

2

8 1

( )

4 1

x x

f x x

= − +

+ . Nous avons

2 2 2 2

8 1 8 8 1 8

lim lim 2 et lim lim 2

4 1 4 4 1 4

x x x x

x x x x x x

x x x x

→ −∞ → −∞ → +∞ → +∞

− + − +

= = = =

+ + soit lim ( ) 2 et lim ( ) 2

x f x x f x

→ −∞ = → +∞ = .

→ Ainsi quand x tend vers − ∞, ou vers + ∞, f (x) prend des valeurs de plus en plus proche de 2.

Intuitivement cela signifie qu’en allant vers − ∞ ou vers +

∞ , la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d’équation y = 2.

La droite D étant parallèle à l’axe des abscisses, on dit que D est une asymptote horizontale à la courbe de f .

REMARQUE :

1. Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote D d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) − 2.

( )

2

2 2 2

8 1 1 1

( ) 2 2

4 1 4 1 4 1

x x x x

f x x x x

− + − − − +

− = − = =

+ + + or :

→pour x < − 1,

( )

2

1 0

4 1

x x

− +

+ > et la courbe est au dessus de l’asymptote quand x → −∞

→pour x > − 1,

( )

2

1 0

4 1

x x

− +

+ < et la courbe est au dessous de l’asymptote quand x → + ∞ 2. ^lim ^-( ₂ ¹⁾ ^lim ^- ₂ ^lim ₄¹ ⁰ ^lim ^-( ₂ ¹⁾ ^lim ^- ₂ ^lim ₄¹ ⁰

4 1 4 ^x 4 1 4 ^x

x x x x

x x x x x x

− −

= =

+ +

= = = =

+ +

→−∞ →−∞ →−∞ ^et →+∞ →+∞ →+∞

or la différence f (x) − 2 représente la différence d'ordonnées entre un point de la courbe de f et le point de même abscisse de l'asymptote D.

Ainsi plus x devient grand (en valeur absolue) et plus la distance entre la courbe de f et l'asymptote devient petite.

Cela vérifie ce que l'on constatait sur le graphique...

BILAN : Une courbe peut s’approcher de l’asymptote par des valeurs inférieures, soit par des valeurs supérieures, ou encore par des valeurs alternativement supérieures et inférieures.

x x

(4)

Les différents cas :

DEFINITION : Soit b un réel, lorsque

lim ( ) (resp. lim ( ) )

x

f x b

x

f x b

→ +∞

=

→ −∞

=

alors la droite D

d’équation y = b est asymptote à la courbe C f représentative de la fonction f au voisinage de + ∞ ( resp. − ∞) L’étude du signe de f (x) − b permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à l’asymptote .

III ASYMPTOTE OBLIQUE

Soit f la fonction définie sur par

3 2

2

( ) 5

1

x x x

f x x

− + − +

= + .

1. On a : ^lim ³ ₂² ⁵ ^lim ₂³ ^lim

( )

1

x x x

x x x x

x x x

→ −∞ → −∞ → −∞

− + − + −

= = − = +∞

+ et lim ³ ₂² ⁵ lim

( )

1

x x

x x x

x x

→ +∞ → +∞

− + − +

= − = −∞

+ .

Soit lim ( ) et lim ( )

x f x x f x

→ −∞ = +∞ → +∞ = −∞.

→+ ∞

=

et pour x > m

f x ( ) − b

< 0 alors C est au dessous de ∆

O

x x

f (x) −−−− ( −−−−x +1)

∆∆∆∆

C

o

b

x m

∆∆∆∆

C

o

b m

x

∆∆∆∆

C

o

b

m _x

∆∆∆∆ C

o

b

m ^x

(5)

2. Montrons par le calcul que la droite D d'équation y = −−−− x + 1 est une asymptote à la courbe C f en −−−−∞∞∞ et ∞ en + ∞∞∞∞.

Comme précédemment, on regarde la différence des ordonnées d'un point de la courbe et du point de la droite de même abscisse : f(x) − (−x + 1).

or ₂4 ₂4

lim 0 et lim 0

1 1

x^{→ −∞}x = x^{→ +∞}x =

+ +

donc lim ( ) ( 1) 0 et lim ( ) ( 1) 0

x f x x x f x x

→ −∞ − − + = →+∞ − − + = . Autrement dit, lorsque x tend vers −−−− ∞∞∞∞, ou vers +∞∞∞∞, le nombre f(x) est proche de −−−− x + 1.

On dit que la droite D est asymptote oblique à la courbe C f en − ∞ et en + ∞ - D’autre part pour tout réel x : ₂⁴ ⁰

alors la droite ∆ d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe de f en + ∞ (resp. – ∞).

− L’étude du signe de f (x) −−−− (ax + b) permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à l’asymptote .

Lorsque f (x) − (ax + b) > 0 la courbe est au dessus de l’asymptote.

Lorsque f (x) − (ax + b) < 0 la courbe est au dessous de l’asymptote.

Remarque IMPORTANTE : Une asymptote par rapport à une courbe fournie une sorte de modèle simplifié de comportement en l’infini ou près d’une valeur interdite.

Par exemple, pour des asymptotes horizontales, pour de grandes valeurs de x (car ^x^{→ +∞}) une valeur approchée de f(x) peut être calculée à l’aide de ax + b .

C’est un peu comme la notion de tangente et d’approximation affine : pour tout nombre x très voisin de a, on peut approximer f(x) par le nombre ^{f a}^{( )}⁺ ^{f a x a}^'^{( )}

(

⁻

)

(équation de la tangente !).

En effet : pour x = 125 :

3 2 3 2

2 2

5 125 125 125 5 968810

1 125 1 7813 123.99

x x x

x

− + − + − + − +

= = −

+ + ≈ − et − x + 1 = −124 !!

(−124) est une valeur approchée de f (125) l’erreur commise

(

125⁴² 1= 7813²

)

+ est inférieure à 10^{− 3}.

( ) ( )

3 2

2

3 2 2

2 2

3 2 3 2

2 2

2

( ) 1 5 1

1

1 1

5

1 1

5 1

1 1

4 1

x x x

f x x x

x

x x

x x x

x x

x x x x x x

x x

x

− + − +

− − + = − − +

+

− + +

− + − +

= −

+ +

− + − + − + − +

= −

+ +

= +

(6)

EXERCICE 1

f est la fonction définie sur IR ^* par

x x x

f 1

2 ) 1

( = − +

1. Pourquoi peut-on affirmer que la droite ∆ d'équation

2 − 1

= x

y

est asymptote à C f

au voisinage de + ∞ ? au voisinage de – ∞ ? 2. Précisez la position relative de C f et de ∆.

CORRIGE :

1. car on applique la définition : ^lim ^{( )} ¹ ^lim¹ ⁰ 2

x f x x x

x

→∞ − − = →∞ = .

2. on applique la méthode :

Pour déterminer la position relative de 2 courbes C et Cf g, on détermine le signe de la différence f(x)-g(x).

Ici ( ) ¹ ¹

f x x 2

− − = x donc ( ) ¹ pour x>0

f x ≥ x−2 et ( ) ¹ pour x<0

f x ≤ x−2 cad que Cf est en dessous de son asymptote pour x>0 et de même, Cf est au dessus de son asymptote pour x>0.

REMARQUE : la courbe, ici, ne croise jamais son asymptote car ( ) ¹ ¹ f x x 2

− − =x ne peut jamais s’annuler.

EXERCICE 2

f est la fonction définie sur IR – { – 2 } par

2 1 3 ) 2

(

²

+ +

= + x

x x x

f

-10,6 -8,48 -6,36 -4,24 -2,12 0 2,12 4,24 6,36 8,48

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(7)

1. Étudier les limites quand x tend vers − 2.

2. Trouver trois nombres a, b, c tels que pour tout x ≠ – 2 ;

) 2

( = + + +

x b c ax x

f

3. Trouvez une équation d'une asymptote oblique ∆ à C f au voisinage de + ∞.

4. Vérifiez que ∆ est aussi asymptote à C f au voisinage de – ∞.

5. Précisez la position relative de C f et de ∆.

CORRIGE :

1. _x^{lim 2}_→−₂ ^x²+³^x+ =^{1 3} et

lim2 2 0

x ₋x ⁻

→− − = donc

lim ( )2

x ₋ f x

→− = −∞. De même,

lim ( )2

x ₊ f x

→− = +∞. Cela signifie que la droite verticale d’équation x = 2 est asymptote à Cf.

2. METHODE : procéder par identification (ou par division euclidienne).

( ) ( )

2

( ) 2

2 2 f x ax b c

x

x a x a b c

= x

= + + +

+ + +

+ donc par identification avec

2 1 3 ) 2

(

²

+ +

= + x

x x x

f

on a

a = 2 ; 2a+b = 3 donc b=-1 et c=3.

Ainsi ^{( ) 2} ¹ ³

et

( )

( ) 2 1 pour x<-2

f x ≤ x− cad que Cf est en dessous de son asymptote pour x>-2 et de même, Cf est au dessus de son asymptote pour x>-2.

REMARQUE : la courbe, ici, ne croise jamais son asymptote car

( )

(

^{f x}^{( )}⁻ ²^x⁻¹

)

⁼ _x³₊₂ ne peut jamais s’annuler.

Un support utile tout le long du cours est l’animation sur les asymptotes du site, dans la section limites (définition, illustration…).

-15,2 -12,7 -10,1 -7,6 -5,1 -2,5 0,0 2,5 5,1 7,6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5