Au del`a de la courbe

Au del` a de la courbe

Rappels sur la courbe

E corps local F^q=corps r´esiduel π= uniformisante.

F|F^q parfait completv :F →R∪ {+∞}

E|E = extension non-ramifi´ee de corps r´esiduelF,O_E/πO_E =F

I E =WO_E(F)[_π¹] =n X

n−∞

[xn]πⁿ|xn∈Fo siE|Qp I E =F((π)) siE =F^q((π)), [x] =x

I⊂]0,1[ intervalle

BI = Compl´etion deB^b= n X

n−∞

[xn]πⁿ∈E | ∃C,∀n|xn| ≤C o

relativement `a la famille de normes |.|ρ

ρ∈I

Normes de Gauss :

|x|ρ=q^−vr(x), vr(x) = inf

n∈Z

{v(xn) +nr} ifρ=q^−r Posons

ϕ "" _B=B

]0,1[:= lim

←− I⊂]0,1[ compact

BI

Rappels sur la courbe

E corps local F^q=corps r´esiduel π= uniformisante.

F|F^q parfait completv :F →R∪ {+∞}

E|E = extension non-ramifi´ee de corps r´esiduelF,O_E/πO_E =F

I E =WO_E(F)[_π¹] =n X

n−∞

[xn]πⁿ|xn∈Fo siE|Qp I E =F((π)) siE =F^q((π)), [x] =x

I⊂]0,1[ intervalle

BI = Compl´etion deB^b=n X

n−∞

[xn]πⁿ∈E | ∃C,∀n|xn| ≤Co relativement `a la famille de normes |.|ρ

ρ∈I

Normes de Gauss :

|x|ρ=q^−vr(x), vr(x) = inf

n∈Z

{v(xn) +nr} ifρ=q^−r Posons

ϕ "" _B=B

]0,1[:= lim

←−

I⊂]0,1[

compact

BI

Rappels sur la courbe

|Y|:= id´eaux maximaux ferm´es deB ⊂Spm(B)

= id´eaux engendr´es par les ´el´ements primitif irr´eductibles

´el´ements primitifs = X

n≥0

[xn]πⁿ|xn∈ OF, x06= 0, ∃d xd ∈ O^×_F

Pourm∈ |Y|,Lm=B/m= corps perfecto¨ıde satisfaisant L^b_m|F and [L^b_m:F] = deg(m) SiF alg. clos,Lm est alg. clos et

m= (π−[a]), a∈mF\ {0}

Exemple

Si E=Fq((π)), D^∗F ={0<|z|<1} ⊂A¹F espace rigide de Tate, en posant z=π

B = O D^∗

|Y| = |D^∗| (points classiques)

Rappels sur la courbe

Posons

P = M

d≥0

B^ϕ=πd

X = Proj(P)

Alors,X est un sch´ema noeth´erien r´egulier de dimension 1.

Les corps r´esiduels aux points ferm´es sont perfecto¨ıdes et

|Y|/ϕ^Z−−→ |X^∼ |

Structure rigide analytique sur la courbe

But : d´efinirX^ad comme espace adique surE Il suffit de d´efinirY^ad/E et de poser

X^ad =Y^ad/ϕ^Z (action discontinue :ϕ(Rayonρ) = Rayonρ^q)

Le casE=Fq((π)) :Consid´eronsD^∗F comme espace adique surF. π=coordonn´ee. Alors

D^∗F loc. de type fini

{{xxxxxxxx pas loc. de type fini

%%K

KK KK KK KK K

Spa(F) Spa(F^q((π)))

Remarque :SiD^∗F(ρ) ={0<|z|< ρ}alors

D^∗F(ρ)−→Spa(Fq((π))) seulement pourρ≤1. Par exemple,P

n≥0πⁿ∈F^q((π)) ne C.V. pas siρ= 1

Structure rigide analytique sur la courbe

But : d´efinirX^ad comme espace adique surE Il suffit de d´efinirY^ad/E et de poser

X^ad =Y^ad/ϕ^Z (action discontinue :ϕ(Rayonρ) = Rayonρ^q)

Le casE =Fq((π)) :Consid´eronsD^∗F comme espace adique surF. π=coordonn´ee. Alors

D^∗F loc. de type fini

{{xxxxxxxx pas loc. de type fini

%%K

KK KK KK KK K

Spa(F) Spa(F^q((π)))

Remarque :SiD^∗F(ρ) ={0<|z|< ρ}alors

D^∗F(ρ)−→Spa(Fq((π))) seulement pourρ≤1. Par exemple,P

n≥0πⁿ∈F^q((π)) ne C.V. pas siρ= 1

Structure rigide analytique sur la courbe

But : d´efinirX^ad comme espace adique surE Il suffit de d´efinirY^ad/E et de poser

X^ad =Y^ad/ϕ^Z (action discontinue :ϕ(Rayonρ) = Rayonρ^q)

Le casE =Fq((π)) :Consid´eronsD^∗F comme espace adique surF. π=coordonn´ee. Alors

D^∗F loc. de type fini

{{xxxxxxxx pas loc. de type fini

%%K

KK KK KK KK K

Spa(F) Spa(F^q((π)))

Remarque :SiD^∗F(ρ) ={0<|z|< ρ}alors

D^∗F(ρ)−→Spa(Fq((π))) seulement pourρ≤1. Par exemple,P

n≥0πⁿ∈F^q((π)) ne C.V. pas siρ= 1

Structure rigide analytique sur la courbe

Le casE|Q^p:I= [ρ1, ρ2]⊂]0,1[, ρ1, ρ2∈ |F^×|

BI= alg`ebre de Banach qui est un anneau principal Posons

Y_I^ad = Spa(BI,B_I⁰) = espace topologique + pr´efaisceau d’anneaux (Huber)

Th´eor`eme :Y_I^ad est un espace adique i.e. pr´efaisceau=faisceau Preuve :

I SiE∞=∪n≥0E(π^1/pn),BI⊗ˆEdE∞est perfecto¨ıde

I Eb

Gal(E|E)

=E + tout espaces de Banach est isomorphe aux suites tendant vers 0⇒siV =E-espace de Banach alors V⊗ˆEEbGal(E|E)

=V En fait :

Conjecture :L’anneauBI est fortement noeth´erien i.e.∀n,BIhX1,· · ·,Xniest noeth´erien. De plus, les anneauxBIhX1,· · ·,Xnisont de Jacobson.

Int´erˆet: siA=E-alg`ebre affino¨ıde, on veut d´efinir l’espace adique

X^ad×ESpa(A,A⁰) afin d’´etudier les repr´esentations galoisiennes `a coefficients dansA.

Th´eor`eme

La conjecture pr´ec´edente est vraie pour n= 1.

Structure rigide analytique sur la courbe

Le casE|Q^p:I= [ρ1, ρ2]⊂]0,1[, ρ1, ρ2∈ |F^×|

BI= alg`ebre de Banach qui est un anneau principal Posons

Y_I^ad = Spa(BI,B_I⁰) = espace topologique + pr´efaisceau d’anneaux (Huber)

Th´eor`eme :Y_I^ad est un espace adique i.e. pr´efaisceau=faisceau

Preuve :

I SiE∞=∪n≥0E(π^1/pn),BI⊗ˆEdE∞est perfecto¨ıde

I Eb

Gal(E|E)

=E + tout espaces de Banach est isomorphe aux suites tendant vers 0⇒siV =E-espace de Banach alors V⊗ˆEEbGal(E|E)

=V En fait :

Conjecture :L’anneauBI est fortement noeth´erien i.e.∀n,BIhX1,· · ·,Xniest noeth´erien. De plus, les anneauxBIhX1,· · ·,Xnisont de Jacobson.

Int´erˆet: siA=E-alg`ebre affino¨ıde, on veut d´efinir l’espace adique

X^ad×ESpa(A,A⁰) afin d’´etudier les repr´esentations galoisiennes `a coefficients dansA.

Th´eor`eme

La conjecture pr´ec´edente est vraie pour n= 1.

Structure rigide analytique sur la courbe

Le casE|Q^p:I= [ρ1, ρ2]⊂]0,1[, ρ1, ρ2∈ |F^×|

BI= alg`ebre de Banach qui est un anneau principal Posons

Y_I^ad = Spa(BI,B_I⁰) = espace topologique + pr´efaisceau d’anneaux (Huber)

Th´eor`eme :Y_I^ad est un espace adique i.e. pr´efaisceau=faisceau Preuve :

I SiE∞=∪n≥0E(π^1/pn),BI⊗ˆEdE∞est perfecto¨ıde

I Eb

Gal(E|E)

=E + tout espaces de Banach est isomorphe aux suites tendant vers 0⇒siV =E-espace de Banach alors V⊗ˆEEbGal(E|E)

=V En fait :

Conjecture :L’anneauBI est fortement noeth´erien i.e.∀n,BIhX1,· · ·,Xniest noeth´erien. De plus, les anneauxBIhX1,· · ·,Xnisont de Jacobson.

Int´erˆet: siA=E-alg`ebre affino¨ıde, on veut d´efinir l’espace adique

X^ad×ESpa(A,A⁰) afin d’´etudier les repr´esentations galoisiennes `a coefficients dansA.

Th´eor`eme

La conjecture pr´ec´edente est vraie pour n= 1.

Structure rigide analytique sur la courbe

Le casE|Q^p:I= [ρ1, ρ2]⊂]0,1[, ρ1, ρ2∈ |F^×|

BI= alg`ebre de Banach qui est un anneau principal Posons

Y_I^ad = Spa(BI,B_I⁰) = espace topologique + pr´efaisceau d’anneaux (Huber)

Th´eor`eme :Y_I^ad est un espace adique i.e. pr´efaisceau=faisceau Preuve :

I SiE∞=∪n≥0E(π^1/pn),BI⊗ˆEdE∞est perfecto¨ıde

I Eb

Gal(E|E)

=E + tout espaces de Banach est isomorphe aux suites tendant vers 0⇒siV =E-espace de Banach alors V⊗ˆEEbGal(E|E)

=V

En fait :

Conjecture :L’anneauBI est fortement noeth´erien i.e.∀n,BIhX1,· · ·,Xniest noeth´erien. De plus, les anneauxBIhX1,· · ·,Xnisont de Jacobson.

Int´erˆet: siA=E-alg`ebre affino¨ıde, on veut d´efinir l’espace adique

X^ad×ESpa(A,A⁰) afin d’´etudier les repr´esentations galoisiennes `a coefficients dansA.

Th´eor`eme

La conjecture pr´ec´edente est vraie pour n= 1.

Structure rigide analytique sur la courbe

Le casE|Q^p:I= [ρ1, ρ2]⊂]0,1[, ρ1, ρ2∈ |F^×|

BI= alg`ebre de Banach qui est un anneau principal Posons

Y_I^ad = Spa(BI,B_I⁰) = espace topologique + pr´efaisceau d’anneaux (Huber)

Th´eor`eme :Y_I^ad est un espace adique i.e. pr´efaisceau=faisceau Preuve :

I SiE∞=∪n≥0E(π^1/pn),BI⊗ˆEdE∞est perfecto¨ıde

I Eb

Gal(E|E)

=E + tout espaces de Banach est isomorphe aux suites tendant vers 0⇒siV =E-espace de Banach alors V⊗ˆEEbGal(E|E)

=V En fait :

Conjecture :L’anneauBI est fortement noeth´erien i.e.∀n,BIhX1,· · ·,Xniest noeth´erien. De plus, les anneauxBIhX1,· · ·,Xnisont de Jacobson.

Int´erˆet: siA=E-alg`ebre affino¨ıde, on veut d´efinir l’espace adique

X^ad×ESpa(A,A⁰) afin d’´etudier les repr´esentations galoisiennes `a coefficients dansA.

Th´eor`eme

La conjecture pr´ec´edente est vraie pour n= 1.

Structure rigide analytique sur la courbe

I ⊂I⁰⇒YI^ad ⊂

openYI^ad0 domaine rationnel Posons

Y^ad = lim

−→

I⊂]0,1[

Y_I^ad = espace adique/E

|Y| ⊂ |Y^ad|“points classiques”

X^ad =Y^ad/ϕ^Z

Conjecture :Les ouverts quasicompacts deY^ad sont les unions disjointes finies de boules et de couronnes.

Fibr´ es vectoriels

•F alg´ebriquement clos.λ∈Q

OX(λ) = fibr´e vectoriel de penteλonX Th´eor`eme

λ1≥ · · · ≥λn|n∈N, λi ∈Q −−→^∼ BunX/∼ (λi)i 7−→ M

i

OX(λi)

•ToutF,GF = Gal(F|F) X

Fb G_F ((

+ morphismeGF-invariant α:X_b

F −→ XF

α:|X

Fb|^GF−finite/GF

−−→∼ |XF|

Th´eor`eme Bun^G_X^F

Fb

=fibr´es GF-´equivariants (+ condition de continuit´e). Alors, descente galoisienne :

α^∗:BunX_F

−−→∼ Bun^G_X^F

Fb

Exemple

Narasimhan-Seshadri: ⁰Bun^s.s.X_F 'Rep_E(GF)

Fibr´ es vectoriels

•F alg´ebriquement clos.λ∈Q

OX(λ) = fibr´e vectoriel de penteλonX Th´eor`eme

λ1≥ · · · ≥λn|n∈N, λi ∈Q −−→^∼ BunX/∼ (λi)i 7−→ M

i

OX(λi)

•ToutF,GF = Gal(F|F) X

bF G_F ((

+ morphismeGF-invariant α:X

Fb −→ XF

α:|X

bF|^GF−finite/GF

−−→∼ |XF|

Th´eor`eme Bun^G_X^F

Fb

=fibr´es GF-´equivariants (+ condition de continuit´e). Alors, descente galoisienne :

α^∗:BunX_F

−−→∼ Bun^G_X^F

Fb

Exemple

Narasimhan-Seshadri: ⁰Bun^s.s.X_F 'Rep_E(GF)

GAGA

D´efinissons l’anneau de Robba RF = lim

−→

ρ→0

B]0,ρ]

= anneau de Bezout +ϕbijectif

= O_D^∗,0siE=Fq((π)).

Puisque pour toutρ∈]0,1[

Y^ad =[

n≥0

ϕ⁻ⁿ Y_]0,ρ]^ad

on a

Bun_Xad

−−→∼ Bun^ϕ

Y^ad

−−→∼ ϕ-Mod_RF.

LorsqueE=Fq((π)), resp.E|Qp, Hartl-Pink, resp. Kedlaya, ont donn´e une classification deϕ-Mod_RF. En comparant cette classification avec celle de BunX on obtient GAGA :

CohX

−−→∼ Coh_Xad

F 7−→ F^ad

GAGA

D´efinissons l’anneau de Robba RF = lim

−→

ρ→0

B]0,ρ]

= anneau de Bezout +ϕbijectif

= O_D^∗,0siE=Fq((π)).

Puisque pour toutρ∈]0,1[

Y^ad =[

n≥0

ϕ⁻ⁿ Y_]0,ρ]^ad

on a

Bun_Xad

−−→∼ Bun^ϕ

Y^ad

−−→∼ ϕ-Mod_RF.

LorsqueE=Fq((π)), resp.E|Qp, Hartl-Pink, resp. Kedlaya, ont donn´e une classification deϕ-Mod_RF. En comparant cette classification avec celle de BunX on obtient GAGA :

CohX

−−→∼ Coh_Xad

F 7−→ F^ad

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

F alg´ebriquement clos.

PosonsS=WO_E(OF) +σ=ϕbijectif D´efinition

I Mod_S^ϕ=S-modules libre de rang fini M + morphismeσ-linear ϕ:M→M tel quecokerϕest annul´e par un ´el´ement primitif (P

n≥0[xn]πⁿ, x06= 0and∃d, xd∈ O_F^×)

I Modif =cat´egorie des modifications effectives 0−→E⁰−→E −→F −→0

o`uE⁰,E ∈BunX,F faisceau coh´erent de torsionetE⁰ est unfibr´e vectoriel trivial.

Si (M, ϕ)∈Mod^ϕ_S,

coker(ϕ) /o /o /o // _G = faisceau coh´erent de torsion surY^ad de support fini tel queH⁰(Y^ad,G) =coker(ϕ) ///o/o/o _{F(M, ϕ) =}^M

n∈Z

ϕ^n∗G ∈Coh^tor_Yad/ϕ^Z= Coh^torX . Sik= corps r´esiduel deOF, viaOF k,

(D, ϕ) = (M, ϕ)⊗W_OE(O_F)WO_E(k)[_π¹] =k−Isocristal

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

F alg´ebriquement clos.

PosonsS=WO_E(OF) +σ=ϕbijectif D´efinition

I Mod_S^ϕ=S-modules libre de rang fini M + morphismeσ-linear ϕ:M→M tel quecokerϕest annul´e par un ´el´ement primitif (P

n≥0[xn]πⁿ, x06= 0and∃d, xd∈ O_F^×)

I Modif =cat´egorie des modifications effectives 0−→E⁰−→E −→F −→0

o`uE⁰,E ∈BunX,F faisceau coh´erent de torsionetE⁰ est unfibr´e vectoriel trivial.

Si (M, ϕ)∈Mod^ϕ_S,

coker(ϕ) /o /o /o // _G = faisceau coh´erent de torsion surY^ad de support fini tel queH⁰(Y^ad,G) =coker(ϕ) ///o/o/o _{F(M, ϕ) =}^M

n∈Z

ϕ^n∗G ∈Coh^tor_Yad/ϕ^Z= Coh^torX . Sik= corps r´esiduel deOF, viaOF k,

(D, ϕ) = (M, ϕ)⊗W_OE(O_F)WO_E(k)[_π¹] =k−Isocristal

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

Isocristal (D, ϕ) /o /o /o // _{E(D, ϕ)'}^M

λ∈Q

OX(λ)^mλ ∈BunX

o`umλ=multiplicit´e de Dieudonn´e-Manin. NotonsE(M, ϕ) =E(D, ϕ). Posons E⁰(M, ϕ) = M

d≥0

HomS(M,B)^ϕ=πdg

∈Qcoh_X

Conjecture

Il existe un foncteur contravariantessentiellement surjectif Mod_S^ϕ −→ Modif

(M, ϕ) 7−→

0→E⁰(M, ϕ)→E(M, ϕ)→F(M, ϕ)→0 Exemple.Cas du rang 1 connu : ´equivalent au fait que pour tout

x∈π^d+WO_E(mF) primitif de degr´ed on peut former le produit de Weierstrass Y

n≥0

ϕⁿ(x) π^d

.“Y

n<0

ϕⁿ(x)“∈H⁰(X,OX(d)) =B^ϕ=πd

et que tout ´el´ement deB^ϕ=πd est de cette forme. Conjecture pr´ec´edente : g´en´eralisation au cas de GLn.

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

Isocristal (D, ϕ) /o /o /o // _{E(D, ϕ)'}^M

λ∈Q

OX(λ)^mλ ∈BunX

o`umλ=multiplicit´e de Dieudonn´e-Manin. NotonsE(M, ϕ) =E(D, ϕ). Posons E⁰(M, ϕ) = M

d≥0

HomS(M,B)^ϕ=πdg

∈Qcoh_X

Conjecture

Il existe un foncteur contravariantessentiellement surjectif Mod_S^ϕ −→ Modif

(M, ϕ) 7−→

0→E⁰(M, ϕ)→E(M, ϕ)→F(M, ϕ)→0 Exemple.Cas du rang 1 connu : ´equivalent au fait que pour tout

x∈π^d+WO_E(mF) primitif de degr´ed on peut former le produit de Weierstrass Y

n≥0

ϕⁿ(x) π^d

.“Y

n<0

ϕⁿ(x)“∈H⁰(X,OX(d)) =B^ϕ=πd

et que tout ´el´ement deB^ϕ=πd est de cette forme. Conjecture pr´ec´edente : g´en´eralisation au cas de GLn.

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

E=Qp. C=k(∞) o`u∞ ∈ |X|.

SiH= groupep-divisible surOC,Hk= fibre sp´eciale de module de Dieudonn´e D(Hk), il y a une modification minuscule

0−→Vp(H)⊗_QpOX −→E(D(Hk),p⁻¹ϕ)−→i∞∗LieH₁

p

−→0 qui, apr`es application deH⁰(X,−), redonne l’isomorphisme de comparaison

Vp(H)−−→^∼ Fil⁰ D(Hk)⊗Bϕ=p

Conjecture

Soitm∈ |Y|tel quem7→ ∞via|Y|/ϕ^Z−^∼→ |X|, B/m=C . Il y a alors une anti´equivalence e cat´egories

pdiv_OC '

(M, ϕ)∈Mod_S^ϕ|cokerϕis killed bym

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

E=Qp. C=k(∞) o`u∞ ∈ |X|.

SiH= groupep-divisible surOC,Hk= fibre sp´eciale de module de Dieudonn´e D(Hk), il y a une modification minuscule

0−→Vp(H)⊗_QpOX −→E(D(Hk),p⁻¹ϕ)−→i∞∗LieH₁

p

−→0 qui, apr`es application deH⁰(X,−), redonne l’isomorphisme de comparaison

Vp(H)−−→^∼ Fil⁰ D(Hk)⊗Bϕ=p

Conjecture

Soitm∈ |Y|tel quem7→ ∞via|Y|/ϕ^Z−^∼→ |X|, B/m=C . Il y a alors une anti´equivalence e cat´egories

pdiv_OC '

(M, ϕ)∈Mod_S^ϕ |cokerϕis killed bym

Th´ eorie de Kisin sur la courbe

E=Qp. C=k(∞) o`u∞ ∈ |X|.

SiH= groupep-divisible surOC,Hk= fibre sp´eciale de module de Dieudonn´e D(Hk), il y a une modification minuscule

0−→Vp(H)⊗_QpOX −→E(D(Hk),p⁻¹ϕ)−→i∞∗LieH₁

p

−→0 qui, apr`es application deH⁰(X,−), redonne l’isomorphisme de comparaison

Vp(H)−−→^∼ Fil⁰ D(Hk)⊗Bϕ=p

Conjecture

Soitm∈ |Y|tel quem7→ ∞via|Y|/ϕ^Z−^∼→ |X|, B/m=C . Il y a alors une anti´equivalence e cat´egories

pdiv_OC '

(M, ϕ)∈Mod_S^ϕ |cokerϕis killed bym

Espaces de Banach-Colmez

F alg´ebriquement clos. Fixons un point∞ ∈ |X|,C=k(∞).

VectE,VectC = espaces vectoriels de dimension finie.

Colmez a d´efini un cat´egorieab´elienneBCmunie de

I foncteurs pleinement fid`eles

VectE,→ BC, VectC ,→ BC

I un foncteur exact fid`ele

BC −→ E-espaces de Banach A 7−→ A(C)

I Deux fonctions additives N BC

dimllll66

htRRR((

R Z

telles que pourV ∈VectE, ht(V) = dimEV, dim(V) = 0 et pour W ∈VectC, ht(W) = 0 etdim(W) = dimC(W)

I VectC et VectE engendrentBC:∀B∈ BC ∃ 0 B

88r

rr 0 //_V //_Aqqq//88

W //₀ V⁰

99r

r 0

99r

r

Espaces de Banach-Colmez

Exemple :B^ϕh=πd, toutB_dR⁺-module de longueur finie,C/E...

SoitBC^eff = sous-cat´egorie exacte deBCform´ee desAtels que 0−→V −→A−→M−→0

o`uM=B_dR⁺-module de longueur finie etV ∈VectE.

Soit Coh^eff_X = faisceaux coh´erents engendr´es par leurs sections globales

= sommes directes deOX(λ), λ≥0⊕faisceau coh´erent de torsion.

Quasi-th´eor`eme :´Equivalence de cat´egoriesBC^eff 'Coh^eff_X telle que

I ht←→rk and dim←→deg

I Isomorphisme de foncteursA7→A(C) andE 7→H⁰(X,E) Deux plongements naturels dans des cat´egories ab´eliennes

BC^eff ⊂ BC Coh^effX ⊂CohX

MaisBC 6'CohX. Mauvaises directions N

BC

dimllll66

htRRR(( R

Z

Z CohX

degkkkk55

rkSSSS)) N

Espaces de Banach-Colmez

Exemple :B^ϕh=πd, toutB_dR⁺-module de longueur finie,C/E...

SoitBC^eff = sous-cat´egorie exacte deBCform´ee desAtels que 0−→V −→A−→M−→0

o`uM=B_dR⁺-module de longueur finie etV ∈VectE.

Soit Coh^eff_X = faisceaux coh´erents engendr´es par leurs sections globales

= sommes directes deOX(λ), λ≥0⊕faisceau coh´erent de torsion.

Quasi-th´eor`eme :´Equivalence de cat´egoriesBC^eff 'Coh^eff_X telle que

I ht←→rk and dim←→deg

I Isomorphisme de foncteursA7→A(C) andE7→H⁰(X,E) Deux plongements naturels dans des cat´egories ab´eliennes

BC^eff ⊂ BC Coh^effX ⊂CohX

MaisBC 6'CohX. Mauvaises directions N

BC

dimllll66

htRRR((

R Z

Z CohX

degkkkk55

rkSSSS)) N

Espaces de Banach-Colmez

PourA∈ BC, dim(A) = 0⇔A∈VectE. PourE ∈CohX, rk(E) = 0⇔E is torsion.

Mais

K0(BC) =Z.[Qp]⊕Z.[C] est isomorphe `a

K0(CohX) =Z.[OX]⊕Z.[i∞∗C]

Conjecture

Il existe une t-structure surD^bcoh(X)dont le coeur estBC.

Remark :Bezrukavnikov (d’apr`es Deligne) a d´efini pour tout sch´ema noeth´erien r´egulierX une notion de faisceau pervers coh´erent surX, mais il n’est pas clair que cela soit celle que l’on cherche.

Espaces de Banach-Colmez

PourA∈ BC, dim(A) = 0⇔A∈VectE. PourE ∈CohX, rk(E) = 0⇔E is torsion.

Mais

K0(BC) =Z.[Qp]⊕Z.[C] est isomorphe `a

K0(CohX) =Z.[OX]⊕Z.[i∞∗C]

Conjecture

Il existe une t-structure surD^bcoh(X)dont le coeur estBC.

Remark :Bezrukavnikov (d’apr`es Deligne) a d´efini pour tout sch´ema noeth´erien r´egulierX une notion de faisceau pervers coh´erent surX, mais il n’est pas clair que cela soit celle que l’on cherche.