Feuille d’exercices : Fonction exponentielle

Feuille d’exercices : Fonction exponentielle

Ü Etude de fonctions #1 (dérivées, sens de variations, limites) Exercice 1 :

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur IR :

1) 3) 5)

2) 4) 6)

Exercice 2 :

Déterminer les fonctions dérivées puis le sens de variation des fonctions suivantes : 1) f définie sur IR par : 2) g définie sur IR \{0}par: Exercice 3 :

Déterminer les limites des fonctions suivantes en et .

1) 2)

3) !(#) = ln ()^*+ 3) 4) Exercice 4 :

On considère la fonction f définie sur IR par: . 1) Déterminer les limites de la fonction f en et .

2) Déterminer la fonction dérivée puis les variations de la fonction f sur IR.

3) On admet que l’équation admet une unique solution a dans l’intervalle [−2 ; −1].

Donner une valeur approchée à 10⁻² près de a.

4) Déduire de ce qui précède le signe de sur IR.

Exercice 5 :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 3] par : . 1) Étudier les variations de f sur [0 ; 3] et calculer et .

2) On admet que l’équation admet deux solutions a et b dans [0 ; 3] (on choisira ).

À la calculatrice, donner des valeurs approchées de a et b à 10⁻² près.

Ü Règles de calcul Exercice 6 :

Simplifier les nombres suivants :

1) 4) 7) 10)

2) 5) 8) 11)

3) 6) 9)

ex

x x x

f( )= ²+2 + f(x)=ln(3+4e^x) _x

e x x f( )= 7

3 ) (x = e^x-

f f(x)=xe^x

1 ) 3

( +

=-_x ^x e x e f

ex

x x f( )=( +1)

1 ) 2 ( = _x-^x

e x e g

¥

+ -¥

ex

x x

f( )=2 + _x

x e

f( )= 1 f(x)=(e^x-1)(e^x+2)

ex

x x

f( )=2 +1+4

¥

+ -¥

0 ) (x = f

) (x f

x e x f( )= ^x-4 )

0 (

f f(3)

0 ) (x =

f a<b

3 -ln

e e^{1+ln2 2}

ln1

-e- ÷÷ø

ö ççè æ ln7

2 1

lne

5 ln 4 ln-

e e^2-ln2 e^-ln(ln2) ln e^-lne2

3 ln 2 2 ln

3 +

e _ln5

2 ln 3

e

e ln e4-ln e2

Ü Résolution d’équations Exercice 7 :

Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :

1) 3) 5) 7)

2) 4) 6)

Exercice 8 :

Résoudre dans IR les inéquations suivantes :

1) 2) 3) 4)

Exercice 9 :

Résoudre dans IR les équations suivantes :

1) 2) 3)

Exercice 10 :

On considère le polynôme défini sur IR par : .

1) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que pour tout nombre réel x : . 2) Résoudre dans IR les équations suivantes :

a) b) c)

Ü Limites et dérivées de fonctions exponentielles Exercice 11 :

Calculer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition : 1) f définie sur IR par : 4) k définie sur IR par : 2) g définie sur IR par : 5) l définie sur IR par : 3) h définie sur IR \{0} par : 6) m définie sur IR par : Exercice 12 :

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

1) 3) 5)

2) 4) 6)

-3

=

ex e^2x-4=1 (e^x)²³1 e^x2-3x£0

e

e^2x= e^x-1e^x+1=1 ³₆^x+_x¹-2>0 e e

³5

ex e^-x<0 e^x2<3 e^x2³e^2x+3

0

2^x+e^x-2=

e (2e^x-5)(e^x-1)=9 e^4x+3e^2x+2=0

1 3 4 )

(x = x³- x- P

) )(

1 ( )

(x x ax² bx c

P = - + +

0 1 3

4x³- x- = 4e^3x-3e^x-1=0 4(lnx)³-3(lnx)-1=0

3 2 ) (x = e^x+

f k(x)=(e^x+1)(e^x-3)

) 2

(x e x

g = ^-x+ l(x)=-2e^3x2-1

ex

x h

1

)

( = m(x)=e^3x2+6

e x

x

f ²

3

)

( = f(x)=e^x2-5 _{3 5}

3 2

) ( = _x^x_-^-

e x e f

4

) 3

(x =e^x-

f f(x)=e^x2+5x-12 f x e^x

1

2 )

( =

Ü Problèmes Exercice 13 :

On considère la fonction ! définie par la relation !(#) = ^-

.^/0-. On appelle 12 la courbe représentative de la fonction !.

a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction !.

b) Établir le tableau de variations de la fonction !.

c) Préciser les différentes asymptotes de la courbe 12. Exercice 14 :

On considère la fonction ! définie par la relation !(#) = ^4./

.^/56. On appelle 12 la courbe représentative de la fonction !.

1) Déterminer la limite de !(#) en −∞.

2) a) Vérifier que, pour tout # réel, !(#) =_-56.⁴_9/

b) En déduire que la limite de !(#) en +∞ est 4.

c) Démontrer que la courbe 1₂ admet deux asymptotes dont on précisera les équations.

3) Démontrer que la fonction ! est strictement croissante sur IR.

4) Prouver que, pour tout réel #, 0 < !(#) < 4.

Exercice 15 :

On considère la fonction ! définie par la relation !(#) =⁼_>)^0>*− 3)^0?*. On appelle 1₂ la courbe représentative de la fonction !.

1) Déterminerlim

*→5C!(#).

2) a) Montrer que, pour tout # de IR, on a : !(#) = 3)^0>*D^?_>− )^0*E.

b) En déduire lim

*→0C!(#).

3) Étudier les variations de la fonction ! et dresser son tableau de variations.

4) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe 1₂ avec l’axe des ordonnées.

Exercice 16 :

On considère la fonction f définie sur IR par : . 1) a) Déterminer la limite de la fonction f en .

b) En utilisant , déterminer la limite de la fonction f en . 2) a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : .

b) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur IR.

3) On appelle !f la courbe représentative de la fonction f.

a) Déterminer les points d’intersection de la courbe !f avec les axes de coordonnées.

b) Démontrer que la courbe !f admet une asymptote " dont on donnera une équation.

c) Déterminer l’équation de la tangente # à la courbe !f au point d’abscisse 0.

e x

x x

f( )=( +3) ^-

¥ - 0

lim =

+¥

® x

x e

x +¥

ex

x x

f'( )=-( +2) ^-

Ti2D / Exponentielle Carte d’identité de 1/(e^x-1)

Ti2D / Exponentielle Carte d’identité de 4e^x(e^x+7)

Ti2D / Exponentielle Carte d’identité de 4,5e^-2x-3e^-3x

Exercice 17 :

La courbe ci-contre représente une fonction f définie sur IR par : (où a, b et c sont des nombres réels).

Déterminer les nombres a, b et c en exploitant les renseignements fournis par le graphique.

Exercice 18 : PARTIE A :

On considère la fonction f définie sur IR par :

.

1) Pour tout nombre réel x, déterminer .

2) Dresser le tableau de variations de la fonction f (on ne demande pas les limites en et ).

3) Déduire des questions précédentes le signe de sur IR.

PARTIE B :

On considère la fonction g définie sur IR par : . 1) a) Déterminer les limites de la fonction g en et .

b) Pour tout nombre réel x, déterminer .

c) Vérifier que, pour tout nombre réel x, on a : .

En déduire le signe de puis dresser le tableau de variations de la fonction g sur IR.

2) On se place dans un repère orthonormé (O ;

; ). La courbe représentative !g de la fonction g est donnée ci-contre. Sur ce graphique, construire la droite " d'équation .

3) On considère la fonction h définie sur IR par : . a) Déterminer le signe de sur IR.

b) En déduire la position relative de la courbe !g

par rapport à la droite ".

c) Déterminer la limite de la fonction h en . d) Que peut-on en déduire ?

ecx

b ax x

f( )=( + )

1 )

(x =e -x-

f ^x

) ( ' x f

¥

+ -¥

) (x f

2 ) 2 ( )

(x = x+ e^- +x+

g ^x

¥

+ -¥

) ( ' x g

) ( ) (

' x e f x

g = ^-x )

( ' x g

i! !j

+2

=x y

) 2 ( ) ( )

(x =g x - x+ h

) (x h

¥ +