On en d´eduit que A est un sous-anneau de C

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CORRIG É DU DM1 D’ALG ÈBRE 4 (Licence 3 - Mathématiques, année 2013-14)

Exercice 1 : Soit A l’ensemble des nombres complexes de la forme z =u+iv√

2, avec u, v∈Z. Pour z ∈C, on pose N(z) :=|z|².

1) CommeA contientZ, on a {0,1} ⊂A. La stabilit´e de A par +,− et × vient alors du fait que Z est un sous-anneau de C et que (i√

2)² = −2 ∈ A. On en d´eduit que A est un sous-anneau de C. En particulier, A est int`egre comme sous-anneau d’un corps.

2)a) Soient z = u+iv avec u, v ∈ Z et n ∈ N. On a alors N(z) = u² +v² ∈ N. Si u² + 2v² = n, alors |u| ≤ √

n et |v| ≤ √_n

2, ce qui donne pour ensembles de solutions de l’´equationN(z) =nles parties {±1},{±i√

2}et {±2}lorsque n= 1,2 et 4 respectivement.

b)Soienta, b ∈Aavecb̸= 0. Cherchonsq ∈Atel queN(â_b−q) =|â_b−q|² <1. On écrit le nombre complexe â_b sous la formeu+iv√

2 avecu, v ∈R. Il exister, s∈Ztels que|u−r| ≤ ¹₂ et|v−s| ≤ ¹₂. Posonsq :=r+is√

2∈A. On a|^a_b−q|² = (u−r)²+2(v−s)² ≤ ¹₄+2¹₄ = ³₄ <1.

On pose alorsr :=a−bq∈A. On aN(r) =N(b)N(^r_b) =N(b)N(^a_b−q)< N(b) eta =bq+r.

Ceci montre A est un anneau euclidien pour l’application N :A\ {0} −→N.

c) Soit z ∈A. On a N(z) = 1 si et seulement si ¹_z = ¯z. Comme l’anneau A est stable par la conjugaison complexe, on a ¯z ∈ A. On en conclut que N(z) = 1 si et seulement si z est inversible dans A. On a doncA^× ={±1}par le 2)a).

3) Soit R un anneau factoriel tel queR^× ={±1}. Soient a, b, c des ´el´ements de Ravec b et c premiers entre eux et tels que a³ =bc. Supposons b non inversible et non nul dans R.

Soit d un facteur irr´eductible de b dans R. Comme b∧c= 1, on sait que d ne divise pas c.

La multiplicitémded comme facteur irréductible debdans l’anneau factorielR est donc la même que celle de d comme facteur irréductible dea³ car bc =a³. On en déduit que m est dans 3N. Celà montre quebs’écrit sous la formeup^α₁¹. . . p^α_nⁿ oùnest un entier ≥1,u ∈A^×, p₁, . . . , p_n sont des éléments irréductibles de R deux à deux non associés et α₁, . . . , α_n sont des multiples de 3 dans N. Comme A^× = {±1} et (−1)³ = −1, on voit que b est un cube dans R. Pour b∈ {0,1,−1}, c’est trivial. On montre de même que c est un cube dans R.

On suppose dans la suite que x et y sont des ´el´ements de Z tels que y³ =x²+ 2.

4)a) Supposons x pair : il existe donc un entier x^′ ∈ Z tel que x = 2x^′. On a alors y³ = 2(2x^′² + 1), ce qui montre que y est pair et s’´ecrit y = 2y^′ avec y^′ ∈ Z. On a ensuite 4y^′² = 2x^′²+ 1 et 1 serait pair, ce qui est absurde. On en d´eduit que x est impair.

b) Soit z ∈ A un diviseur commun `a x+i√

2 et x−i√

2. Par somme et diﬀ´erence, z divise alors 2xet 2i√

2 dansA. L’application N :A −→N est multiplicative, doncN(z)|4x² et N(z)|8 dans N. Comme x est impair par le 4)a), on a (4x²)∧8 = 4 et N(z)|4.

c) Puisquez divise x+i√

2 dansA, on aN(z)|N(x+i√

2) =x²+ 2 dansN. On en déduit que N(z) est impair par le 4)a). On en conclut que N(z) = 1, donc que z est inversible dans A. Par cons´equent, les éléments x+i√

2 et x−i√

2 sont premiers entre eux dans A.

5)a) L’anneau A est euclidien, donc factoriel. On a y³ = (x+i√

2)(x−i√

2) dans A et A^× = {±1}. Par les questions 4)c) et 3), on sait donc que x+i√

2 est un cube dans A. Il existe donc u, v ∈Ztels que x+i√

2 = (u+iv√ 2)³.

b) Par la formule du binôme, on trouve alors 1 =v(3u²−2v²) etx=u³−6uv² dans Z, en comparant les parties réelles et imaginaires des deux côtés. Comme v divise 1 dans Z, on doit avoir v= 1 ou −1.

c) Si v = 1, alors on a 1 = 3u²−2 et donc u = 1 ou −1 ; on obtient alorsx = −5 ou 5.

Siv =−1, alors−1 = 3u²−2 et donc u² = ¹₃, ce qui est impossible pour u∈Z. Six=±5, alors on doit avoir y³ =x²+ 2 = 27, d’o`u y= 3. On en conclut que les solutions (x, y)∈Z² de l’´equation (E) : y³ =x²+ 2 sont (5,3) et (−5,3).

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Exercice 2 : Soit H l’ensemble des (x, y) ∈ R² tels que x² − y² = 1. On note F l’anneau des applications de H vers R avec l’addition et la multiplication d´efinies par (u+v)(x, y) := u(x, y) +v(x, y) et (uv)(x, y) := u(x, y)v(x, y) pour u, v ∈ F et (x, y)∈ H. A tout P ∈R[X, Y], on associe la fonction ˜P : H −→R qui envoie (x, y) appartenant `a H sur P(x, y). On note A l’ensemble des applications ˜P pour P ∈R[X, Y].

1) Il est imm´ediat que A contient les applications constantes (donc 0_F et 1_F) et que A est stable par +,−,×. C’est donc un sous-anneau de F. L’application f de R[X, Y] vers A qui envoie P sur ˜P est surjective par d´efinition de A. On a f(1) = 1_A = 1_F, f(P +Q) = P^+Q = ˜P + ˜Q = f(P) +f(Q) et f(P Q) = P Qg = ˜PQ˜ = f(P)f(Q), ce qui montre quef est un morphisme d’anneaux.

2)a) Soient U, V ∈R[X] tels que (X²−1)U² = V². Si U ̸= 0, alors il existe a ∈]−1,1[

tel que U(a) ̸= 0, d’o`u (a² −1)U(a)² < 0 et V(a)² ≥ 0, ce qui est impossible. On a donc U = 0, puis V² = 0, ce qui donne V = 0 carR[X] est int`egre.

b) Soit P ∈R[X, Y]. Dans l’anneau R[X, Y] = (R[X])[Y], le polynôme −Y² + (X²−1) admet comme coefficient dominant en Y l’élément inversible −1 de R[X]. On peut donc effectuer la division euclidienne deP par −Y²+ (X²−1) dans (R[X])[Y], ce qui donne des polynômes Q∈R[X, Y] et U, V ∈R[X] tels que P = (X²−Y²−1)Q+U Y +V.

c) Par définition de H, on sait que le polynômeX²−Y²−1 appartient à l’idéal Ker(f) de R[X, Y] et < X²−Y²−1> est donc contenu dans le noyau de f. SoitP ∈Ker(f). On

écritP sous la formeP = (X²−Y²−1)Q+U Y +V avec Q∈R[X, Y] et U, V ∈R[X]. Pour tout (x, y) ∈ H, on a alors 0 = P(x, y) = U(x)y+V(x) et donc U(x)²(x² −1) = V(x)². Cette relation doit être vérifiée pour tout réel x ≥ 1 (car le point (x,√

x²−1) appartient alors à H). On en conclut que le polynômeU²(X²−1)−V² est nul, puisqu’il a une infinité de racines réelles. Le 2)a) montre alors que U = V = 0 et P ∈< X²−Y²−1 >. On en conclut que le noyau def est< X²−Y²−1>. Le théorème de factorisation des morphismes d’anneaux prouve alors queA est isomophe à R[X, Y]/ < X²−Y²−1> carf est surjectif.

3) Soit g : R[X, Y] −→ R[X, Y] l’application telle que g(P) := P(X − Y, X + Y).

Comme g(1) = 1, g(P +Q) = g(P) +g(Q) et g(P Q) = g(P)g(Q) pour P, Q quelconques dans R[X, Y], on sait que g est un morphisme d’anneaux. Il est bijectif car l’application h: R[X, Y]−→R[X, Y] telle queh(P) =P(^X+Y₂ ,^Y⁻₂^X) vérifieg◦h=h◦g=id_R_[X,Y_] eth est égal à g⁻¹. Le morphisme g envoie donc l’idéal engendré parXY −1 sur celui engendré par g(XY −1) = (X −Y)(X +Y)−1 = X²−Y² −1. Soit π la surjection canonique de R[X, Y] vers le quotient R[X, Y]/ < X² −Y² −1 >. Le noyau du morphisme d’anneaux π◦g est alors < XY −1>et, par factorisation de π◦g, on en d´eduit un isomorphisme de B:=R[X, Y]/ < XY −1> vers R[X, Y]/ < X²−Y²−1> ≃ A.

4)a) Soit C l’ensemble des fractions rationnelles dans R(X) de la forme _XÛn, avec U ∈ R[X] et n ∈ N. On vérifie facilement que C est stable par +,− et ×; de plus, tout V ∈ R[X] appartient à C puisque V = _X^V0. On en conclut que C est un sous-anneau de R(X) contenant R[X].

b) Soit J un idéal de C et I := J ∩R[X]. Comme J et R[X] sont des sous-groupes de (C,+), on sait que leur intersection I est un sous-groupe de (R[X],+). De plus, J et R[X] sont stables par multiplication par un élément deR[X], donc I l’est aussi. En résumé, I est un idéal de R[X]. Comme _X¹n ∈ C pour tout n ∈ N et J est un idéal de C, on a {_XÛn, U ∈ I et n ∈ N} ⊂ J. Un élément F de J s’écrit sous la forme _XÛn pour un U ∈ R[X] et un n ∈ N. On a donc U = F Xⁿ ∈ J ∩ R[X] = I, ce qui prouve que J = {_XÛn, U ∈ I et n ∈ N}. Or, l’anneau R[X] est principal et, si U est un générateur de l’idéalI, alors on aJ ={U_X^Vn, V ∈R[X]et n∈N}, donc J est engendré par U dansC.

L’anneau C est donc principal.

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c) On peut faire la division euclidienne de P ∈ R[X, Y] par XY −1 dans C[Y] et, en multipliant par une puissance de X assez grande, on voit qu’il existe n ∈ N, Q ∈ R[X, Y] et R ∈ R[X] tels que XⁿP = (XY −1)Q+R. Supposons que P(X,_X¹) = 0 dans C. On a alors 0 = 0×Q(X, _X¹ ) +R, donc R = 0 et XⁿP = (XY −1)Q. Dans l’anneau factoriel R[X, Y], les polynômes Xⁿ et XY −1 sont premiers entre eux et le lemme de Gauss donne (XY −1)|P. Par conséquent, le noyau du morphisme surjectif d’anneaux deR[X, Y] versC qui envoie P sur P(X, _X¹) est l’idéal < XY −1 >. Le th´eorème de factorisation donne alors un isomorphisme d’anneaux deB vers C. On d´eduit ensuite du 3) que l’anneau A est

également isomorphe àC et A est donc un anneau principal par le 4)b). Il est intègre car C est un sous-anneau du corps R(X). Ce n’est pas un corps commutatif, puisque C n’est pas un corps : X+ 1 n’admet par exemple pas d’inverse dans C car _X+1¹ ̸∈C.