Université Paris 7 Deuxième semestre 2003-2004 DEUG MIAS Info - 1ère année MT132 - groupe 1B4
Complément Groupes cycliques
Rappel : Soit G un groupe fini de neutre 1. Si a est un élément de G, < a > désigne le sous-groupe de G engendré par a. C’est l’ensemble{am | m ∈Z}. Si n désigne l’ordre de a, alors ce sous-groupe est < a >={1, a, a2, . . . , an−1} (remarquer que < a > est d’ordre n).
Cas particulier : sia= 1 alors < a >={1}.
De façon générale,< a > est un sous-ensemble de G, pas forcément égal àG.
Définition. Un groupe fini Gest cyclique s’il existe un élément a ∈G tels que < a >=G.
Cela signifie qu’il existe un élément adeG qui engendreGtout entier. Un tel élément a est appelé ungénérateur deG.
Exemple 0. Soit G un groupe fini et a un élément deG. Regardons le sous-groupe < a >
deG comme un groupe. Alors c’est un groupe cyclique car il est engendré par l’élément a.
Exemple 1. (Feuille 6, exercice 10). SoitH ={id,(1234),(13)(24),(1432)}. AlorsH est un groupe cyclique. En effet, si on note σ = (1234), alors un calcul montre queσ2 = (13)(24), σ3 = (1432) et σ4 =id. Donc σ est d’ordre 4 et H ={id, σ, σ2, σ3}=< σ >.
Contre-exemple. (Feuille 6, exercice 10). Soit G = {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Ce n’est pas un groupe cyclique. En effet :
• id est d’ordre 1 donc< id >={id}(G
• (12)(34) est d’ordre 2 (c’est un produit de 2-cycles de supports disjoints), donc <
(12)(34)> est formé de deux éléments. On a <(12)(34) >(G.
• idem pour (13)(24) et (14)(23).
Exemple 2. (Feuille 6, exercice 3). Soit n un entier ≥ 1. Le groupe multiplicatif Un des racines nèmes de l’unité est formé de 1, e2iπn , e2.2iπn , . . . , e(n−1)2iπn . Démontrons que c’est un groupe cyclique. Posons z =e2iπn . Alors z est d’ordre n car z, z2, . . . , zn−1 sont distincts de 1 et zn = 1. De plus, on remarque que 1 = z0, e2iπn = z, e2.2iπn = z2, . . . , e(n−1).2iπn = zn−1. Donc Un = {1, z, z2, . . . , zn−1}. Comme z est d’ordre n, < z >= {1, z, z2, . . . , zn−1}. Donc Un=< z >. Ceci montre queUn est cyclique et engendré parz.
En particulier, z est un générateur de Un. L’objet de la question 2 de l’exercice est de déterminer tous les générateurs deUn.
Exemple 3. (Feuille 6, exercice 4). Soit G un groupe de cardinal p premier. Démontrons queG est cyclique et engendré par n’importe quel élément de G distinct du neutre.
Soit x∈G, x6=e. Alors < x > est un sous-groupe de G. D’après le théorème de Lagrange, Card(< x >) divise Card(G) =p. Comme p est premier, Card(< x >) vaut 1 ou p.
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Supposons Card(< x >) = 1. Comme e ∈< x >, on a < x >={e}, donc x = e ce qui est exclu.
Donc Card(< x >) = p. Finalement, on a une inclusion < x >⊂ G et une égalité des cardinaux, donc < x >=G. C’est le résultat souhaité.
Résultat. Soit G un groupe fini d’ordre n. Alors G est cyclique si et seulement s’il existe un élément a deG d’ordre n.
Preuve. Supposons G cyclique. Alors il existe a ∈ G tel que G =< a >. Donc < a > est d’ordre n. Donc l’élément a est d’ordre n. Réciproquement, supposons qu’il existe a dans G d’ordre n. Alors < a > est un sous-groupe de G d’ordre n, donc par égalité de cardinal,
< a >=G. Ceci montre queG est cyclique.
Résultat. Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
Exemple 4. (Feuille 6 exercice 5). Si G et H sont deux groupes cycliques, alors le groupe produit G×H est cyclique.
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