T.D. num´ ero 4

T.D. num´ ero 4

Alg`ebre

E.N.S. Ulm, L3, 2000–2003 Univ. Paris-Sud, M1, 2004–2007 St´ephane Fischler

Exercice 1 Soitn un entier strictement positif.

1. Soit L un sous-groupe de Zⁿ. Montrer qu’il existe une base (e₁, . . . , e_n) de Zⁿ et des entiers relatifs k₁, . . . , k_r, avec r ≤n, tels que (k₁e₁, . . . , k_re_r) soit une Z-base de L.

2. Soit u :Zⁿ→ Zⁿ un morphisme de groupes. On suppose que la matrice de u, dans la base canonique, est de d´eterminantδ 6= 0. Montrer queZⁿ/Im(u) est un groupe ab´elien fini d’ordre |δ|.

Exercice 2 SoientKun corps, etEun espace vectoriel de dimension finie surK. On rappelle qu’`a toute application lin´eaireu de E dansE est associ´ee une structure deK[X]-module sur E, not´eeE_u.

1. Soient u, v ∈ End(E). Montrer que Eu et Ev sont isomorphes si, et seulement si, il existeφ∈GL(E) tel que u=φvφ⁻¹.

2. On suppose E de dimension 3, etKde caract´eristique diff´erente de 2. Combien y a-t-il de classes de similitude (c’est-`a-dire de classes d’´equivalence modulo la conjugaison) d’endomorphismes u de polynˆome caract´eristique (X−1)(X−2)² ?

Exercice 3 On noteZ[i] l’anneau des entiers de Gauss. On rappelle queZ[i] est euclidien.

Soit M un Z-module libre de type fini (i.e. engendr´e, comme Z-module, par un nombre fini d’´el´ements). SoitJ un endomorphisme deM tel que J² =−Id.

1. Montrer qu’en posant i·x=J(x) on peut munir M d’une structure deZ[i]-module, et que M est alors unZ[i]-module libre et de type fini.

2. Montrer que le rang de M surZest pair, et qu’il existe une base duZ-moduleM dans laquelle la matrice de J est 0 −Id

Id 0

, o`u tous les blocs sont carr´es de la mˆeme taille.

3. Soit π =a+ibun ´el´ement non nul de Z[i]. Montrer que Z[i]/(π) est fini, de cardinal a²+b². (Indication : on pourra utiliser l’exercice 1)

4. Soit p un nombre premier impair. Montrer que p est somme de deux carr´es si, et seulement si, p est congru `a 1 modulo 4. (Indication : on pourra munir Z/pZ d’une structure deZ[i]-module)

Exercice 4 Soit Gun groupe ab´elien fini. On appelle exposant deGle ppcm des ordres de ses ´el´ements. Montrer qu’il existe un ´el´ement de Gdont l’ordre est ´egal `a l’exposant deG.

Exercice 5 Notons I l’id´eal de Z[X] engendr´e par 2 et X. Montrer que I est un sous- Z[X]-module deZ[X] qui ne peut pas se d´ecomposer en somme directe de sous-Z[X]-modules

1

cycliques, c’est-`a-dire qu’on ne peut pas trouvera₁, . . . , a_n∈Z[X] tels queI =a₁Z[X]⊕. . .⊕ anZ[X].

Exercice 6 Soient A un anneau principal et M un A-module. Pour m ∈ M, on note ann(m) l’id´eal form´e par les ´el´ementsa∈Atels que am= 0. Pour tout ´el´ement irr´eductible pdeA, on appelle composantep-primaire deM, et on noteM_(p), le sous-module deM form´e par les ´el´ementsm tels que ann(m) contienne une puissance dep.

1. Soient p1, . . . , pr des ´el´ements irr´eductibles de A, deux `a deux non associ´es. Montrer que M_(p1), . . . , M_(pr) sont en somme directe.

2. Supposons queM est engendr´e, commeA-module, par un ´el´ementxavec ann(x) = (d).

Supposons que d s’´ecrit gh, avec pgcd(g, h) = 1. Montrer qu’il existe deux ´el´ementsy et ztels que M =Ay⊕Az, avec ann(y) = (g) et ann(z) = (h).

3.* Supposons que M est de torsion (i.e. pour toutm∈M on a ann(m)6={0}) et de type fini. Montrer queM_(p) est r´eduit `a {0}sauf pour un nombre fini (`a association pr`es) de valeurs de p, et queM est la somme directe de ses composantes primaires.

Exercice 7 Combien y a-t-il de groupes ab´eliens, deux `a deux non isomorphes, d’ordre 360 ? (On pourra utiliser l’exercice 6)

Exercice 8 SoitAun anneau principal, fix´e dans tout l’exercice. SoitM un module de type fini surA, qu’on d´ecompose de deux fa¸cons : M =Az₁⊕. . .⊕Az_s=Aw₁⊕. . .⊕Aw_t, avec ann(z1)⊃. . .⊃ann(zs) et ann(w1)⊃. . .⊃ann(wt), les zj et lesw_k ´etant non nuls. Le but de cet exercice est de montrer qu’on a s= t et ann(z_i) = ann(w_i) pour tout i∈ {1, . . . , s}.

On pourra utiliser l’exercice 6.

Dans les questions 1. et 2., on suppose queM est un module primaire, c’est-`a-dire qu’il existe un ´el´ement irr´eductiblep∈Atel queM =M_(p). Il existe alors des suites croissantes d’entiers (e₁, . . . , e_s) et (f₁, . . . , f_t) tels que ann(z_j) = (p^ej) et ann(w_k) = (p^fk) pour tousj, k.

1. Soitn∈N. Montrer que pⁿM/pⁿ⁺¹M est un espace vectoriel surA/(p) dont la dimen- sion est ´egale au nombre d’indicesitels que e_i> n.

2. D´emontrer qu’on as=tet ann(z_i) = ann(w_i) pour touti∈ {1, . . . , s}.

3.* On suppose que M est un A-module de type fini de torsion, mais pas n´ecessairement primaire. Montrer que le r´esultat de la question 2. subsiste.

4. On suppose seulement queM est de type fini. Montrer que le r´esultat de la question 2.

subsiste.

Exercice 9 Soit p un nombre premier. On note E(p) la composante p-primaire de Q/Z, c’est-`a-dire le sous-Z-module de Q/Z form´e par les α ∈ Q/Z pour lesquels il existe n ∈ N avec pⁿα = 0. Montrer que les sous-modules de E(p) forment une suite (Gn)n∈N telle que Gn(Gn+1 pour toutn∈N.

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