Probl` eme num´ ero E 134
Enonc´´ e. Dans chacune de ces deux suites,on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le k-i`eme terme (k >2) en soustrayant le (k−1)-i`eme terme du (k−2)-i`eme terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
(Q1) Le premier terme de la suite n◦1 ´etant ´egal `a 2018, d´eterminez le deuxi`eme terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
(Q2) D´eterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n◦2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est ´egal `a 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre r´eponse.
Solution au Probl` eme num´ ero E 134
(propos´ee par Jo¨el Benoist)Notons cette suite u:= (un)n∈N que l’on peut d´efinir en fait pour toutn∈Npar ces deux premiers termesu0>0,u1>0 et la relation de r´ecurrence
un+2=un−un+1
vraie pour toutn∈N. On pose aussi
L(u) = max{N ≥0| ∀i∈J1, NK, ui−1≥0};
L(u) repr´esente le nombre maximum de termes cons´ecutifs positifs de la suite (un) `a partir du termeu0. Nous allons tout d’abord faire dans la partie A quelques remarques g´en´erales sur de telles suites uqui d´ependent des conditions initialesu0et u1, avant de r´epondre aux deux questions (Q1) et (Q2) dans les Partie B et C.
Partie A : remarques g´en´erales sur les suites u.
On montre facilement par r´ecurrence le r´esultat suivant.
Lemme 1. Pour toutn∈N,
un= (−1)n(Fn−1u0−Fnu1)
o`u Fn d´esigne len-i`eme terme de la suite de Fibonacci. On rappelle queF0 = 0,F1 = 1 et, pour tout n∈ N,Fn+2 =Fn+1+Fn. On pose aussi pour la circonstanceF−1 := 1 ce qui permet de satisfaire la relation de r´ecurrence pourn=−1.
Dans la suite nous allons utiliser les r´esultats suivants sur la suite de Fibonacci.
Proposition 2.On a (i) On posezn= Fn
Fn+1
pourn∈N. La suite (zn) v´erifie la relation de r´ecurrence vraie pour tout n∈N:
zn+1= 1 1 +zn.
La sous-suite (z2n)n≥0 est strictement croissante convergeant vers ` :=
√5−1
2 et la sous-suite (z2n+1)n≥0 est strictement d´ecroissante convergeant aussi vers`. On a donc
0 =z0< z2< z4<· · ·< ` <· · ·< z5< z3< z1= 1. (1) (ii) Sin≥1, pgcd(Fn, Fn+1) = 1.
(iii) Pour toutn∈N,
1 1 1 0
n
=
Fn+1 Fn
Fn Fn−1
En particulier (−1)n =Fn+1Fn−1−Fn2.
se r´e´ecrit 1
zn+1 = 1 +zn ou bienzn+1 = 1
1 +zn. La suite (zn)n∈N v´erifie une relation de r´ecurrence de la formezn+1=f(zn) o`u la fonction f :x7→ 1
1 +x d´efinie sur ]0,+∞[ est d´ecroissante. Cette fonction poss`ede`pour point fixe. Le r´esultat `a d´emontrer est alors un grand classique sur les suites r´ecurrences, qui ne pr´esente pas de difficult´e.
(ii) Soitn≥1. On a d’apr`es les propri´et´es ´el´ementaires sur les pgcd :
pgcd(Fn, Fn+1) = pgcd(Fn, Fn+Fn−1) = pgcd(Fn, Fn−1) = pgcd(Fn−1, Fn) =· · ·= pgcd(F1, F2) = 1.
(iii) L’´egalit´e matricielle se d´emontre facilement par r´ecurrence. La cons´equence s’obtient en prenant le
d´eterminant de chaque cˆot´e de l’´egalit´e matricielle.
Du Lemme 1, nous en d´eduisons le corollaire suivant.
Corollaire 2.Nous avons pour n≥1 (i)u2n≥0⇐⇒ u1
u0
≤z2n−1; (ii)u2n+1≥0⇐⇒z2n≤u1
u0
Grˆace aux in´egalit´es (1), nous pouvons d´ecomposer l’ensemble des r´eels strictement positifs en intervalles disjoints sous la forme :
]0,+∞[=
[
p≥1
[z2p−2, z2p[
[{`}[
[
p≥1
[z2p+1, z2p−1[
[]1,+∞[.
Puisque u1
u0 ∈]0,+∞[, on est forc´ement dans l’une des situations pour u1
u0 : (S1) Il existep≥1 tel quez2p−2≤ u1
u0
< z2p.
Alors, le Corollaire 2 nous dit que, pour touti≤2p ui≥0 etu2p+1<0, soitL(u) = 2p+ 1.
(S2) u1
u0
=`.
Alors, le Corollaire 2 nous dit que la suite (un) est positive, soitL(u) =∞.
(S3) Il existep≥1 tel quez2p+1< u1 u0
≤z2p−1.
Alors, le Corollaire 2 nous dit que, pour touti≤2p+ 1ui≥0 etu2p+2<0, soitL(u) = 2p+ 2.
(S4) u1
u0
>1.
Alors, le Corollaire 2 nous dit queu2<0, soitL(u) = 2.
Vu que dans chaque situation la valeur deL(u) est diff´erente, la r´eciproque est vraie. Plus pr´ecis´ement, nous avons r´eciproquement : si L(u) =∞, alors u1
u0
=`; siL(u) = 2 alors u1 u0
>1 ; siL(u) est pair de la forme 2p+ 2 avec p ≥ 1 alors z2p+1 < u1
u0 ≤ z2p−1; et si L(u) est impair de la forme 2p+ 1 alors z2p−2< u1
u0
≤z2p.
Partie B : r´eponse `a la question (Q1).
Nous savons que u0 = 2018 etu1 est un entier u1 inconnu. Regardons alors les valeurs approch´ees `a 10−2 pr`es de la suite croissante (u0z2p) qui converge vers 2018`∼1247.19 :
0 1009 1210.8 1241.85 1246.41 1247.08 1247.18 1247.19 . . .
et les valeurs approch´ees `a 10−2pr`es de la suite d´ecroissante (u0z2p+1) qui converge aussi vers 2018`: 2018 1345.33 1261.25 1249.24 1247.49 1247.24 1247.20 1247.19 . . . .
Siu1:= 1247, on a, d’apr`es les valeurs num´eriques de la suite (u0z2p) donn´ees ci dessus,u0z8< u1< u0z10
ou en d’autres termes z8 < u1
u0 < z10. Donc d’apr`es la partie A, L(u) = 11. Supposons qu’il existe un entieru1tel que L(u)>11.
•SiL(u) est pair, il existep≥5 tel queL(u) = 2p+ 2 et alorsz2p+1<u1
u0 ≤z2p−1ou en d’autres termes
u0z2p+1< u1≤u0z2p−1.
Comme 1247<2018`≤u0z2p+1 etu0z2p−1≤u0z9<1248, on obtient 1247< u1<1248,
ce qui contredit queu1 est entier.
•SiL(u) est impair, il existep≥6 tel queL(u) = 2p+ 1 et alorsz2p−2< u1
u0
≤z2pou en d’autres termes
u0z2p−2< u1≤u0z2p.
Comme 1247< u0z10≤u0z2p−2 etu0z2p≤` <1248, on obtient `a nouveau 1247< u1<1248,
ce qui contredit queu1 est entier.
Conclusion. La valeur maximal deL(u) sachant queu0= 2018 est 11 ; il faut prendreu1= 1247 et les 13 premi`eres valeurs de la suiteusont
2018 1247 771 476 295 181 114 67 47 20 27 −7 34.
Partie C : r´eponse `a la question (Q2).
On cherche une suite utelle que (C1)L(u) = 21 ;
(C2)u20= 2018.
et telle queu0 soit le plus petit possible Les deux conditions se r´e´ecrive sous la forme (C1) F18
≤u1
< F20
;
La condition (C2) est une ´equation diophantienne lin´eaire de degr´e 1 classique o`u, d’apr`es la Proposition 2 (ii) et (iii),F19et F20 sont premiers entre eux et o`u
F19(2018F19)−F20(2018F18) = 2018.
Donc (C2) est ´equivalent `a
F19(u0−2018F19) =F20(u1−2018F18).
D’apr`es le th´eor`eme de Gauss, (C2) est ´equivalent `a l’existence d’un entier relatifk∈Ztel que u0=kF20+ 2018F19
u1=kF19+ 2018F18.
En prenantk= 0 et en utilisant les valeursF18= 2584 etF19= 4181, on a u0= 2018F19= 8437258 et u1 = 2018F18 = 5214512 et la suite ud´efinie `a partir de ces conditions initiales v´erifie trivialement les condition (C1) et (C2). Supposons que 2018F19 ne soit pas la valeur minimale et notons
u?0<2018F19 (2)
cette valeur minimale. Il existe un entier u?1 > 0 tel que la suite u? d´efinie `a partir de ces conditions initiales v´erifie les condition (C1) et (C2). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existe un entier relatifk?∈Ztel que
u?0=k?F20+ 2018F19
u?1=k?F19+ 2018F18. D’apr`es (2),
k?<0. (3)
Comme la suiteu?v´erifie la condition (C1), on a : F18 F19
≤ u?1
u?0 ce qui se r´e´ecrit en reportant les valeurs de u?0et u?1 :
F18
F19 ≤k?F19+ 2018F18
k?F20+ 2018F19 ou de fa¸con ´equivalente
k?(F18F20−F192)≤0.
D’apr`es la Proposition 2 (iii),F18F20−F192 =−1, ce qui entrainek?≥0. Ceci contredit (3).
Conclusion. La valeur minimal de u0 est 2018F19 = 8437258. Si on prend aussi u1 = 5214512, les 23 premi`eres valeurs de la suiteusont
8437258 5214512 3222746 1991766 1230980 760786 470194 290592 179602 110990 68612 42378 26234 16144 10090 6054 4036 2018 2018 0 2018 −2018 4036.