Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2014/2015
L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki
Anneaux et id´eaux - TD 2
1. SoitAun sous-ensemble d’un anneauR. Montrer que (A) est l’intersection de tous les id´eaux de R qui contiennent A.
2. Soit R un anneau. Montrer que{0R} est un id´eal deR et queR/{0R}est isomorphe `a R.
3. Montrer que l’anneauZ/nZ(o`unZ= (n)) est isomorphe `a l’anneauZndes classes d’´equivalence de r´esidu modulo n.
4. Montrer que l’anneau Q[x]/(x−a) o`u a∈Qest isomorphe `aQ. 5. Soient I, J des id´eaux de R tels queI ⊆J. Montrer que l’application
(R/I)/(J/I) → R/J (r+I) + (J/I) 7→ r+J
est un isomorphisme d’anneaux (2`eme Th´eor`eme d’isomorphismes d’anneaux).
6. Pour les id´eaux principauxI = (m) etJ = (n) deZ(avecmn6= 0), calculer les id´eauxI∩J, I+J etIJ.
7. Montrer que siR est un anneau int`egre, alorsR[x] est int`egre. SiR est un corps, est-ce que R[x] est un corps ?
8. Montrer que si R est un anneau int`egre fini, alorsR est un corps.
9. SoitR un anneau avec 0R6= 1R. L’anneau Rest un corps si et seulement siR a exactement deux id´eaux: {0R} etR.
10. Soit f : R → S un homomorphisme d’anneaux. Si R est un corps, alors soit f est un monomorphisme, soit f(r) = 0S pour tout r∈R.
11. Soit pun nombre premier. Montrer qu’il n’existe pas d’id´ealI de Ztel que (p)(I ( Z.
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