Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2017-18 M1 math´ematiques
Feuille 2
Modules – Suites exactes, produits tensoriels 1.a. SoitT unZ-module de torsion. Montrer que T⊗Qest nul.
1.b. SoitL unZ-module libre de rangr. Montrer queL⊗Qest unQ-espace vectoriel de dimensionr.
1.c. SoitM unZ-module isomorphe `a Zr×T, o`u T est un Z-module de torsion. Montrer queM ⊗Q est unQ-espace vectoriel de dimensionr.
1.d. Soitm etndeux entier≥1. Montrer que (Z/nZ)⊗(Z/mZ) est cyclique d’ordre pgcd(n, m).
2. SoitAun anneau commutatif. SoitK un corps.
2.a. MontrerA[X, Y] est isomorphe `aA[X]⊗AA[Y].
2.b. Montrer que l’applicationK(X)⊗KK(Y)→K(X, Y) est injective mais pas surjective.
3. SoitAun anneau commutatif int`egre. NotonsK le corps de fractions deA. SoitM unA-module.
3.a. Supposons queA6=K. Montrer queKn’est ni unA-module de type fini, ni unA-module libre. Montrer queK/An’est pas unA-module libre.
3.b. Montrer queKest unA-module sans torsion et queK/Aest unA-module de torsion.
3.c. MontrerM ⊗AK est un K-espace vectoriel. Montrer qu’il est nul si M est de torsion. Montrer qu’il peut ˆetre de dimension finie mˆeme lorsqueM n’est pas un A-module de type fini. Montrer que si (bi)i∈I est une base deM commeA-module, (bi⊗1)i∈I est une base deM⊗AK commeK-espace vectoriel.
4.a. Soient E et F des K-espaces vectoriels. Soientf et g deux applications lin´eairesE →E et F →F respectivement. Supposonsf etgdiagonalisables de valeurs propres respectives (λi)i∈I et (µj)j∈J(compt´ees avec multiplicit´es). Montrer que f ⊗g est diagonalisable de valeurs propres (λiµj)(i,j)∈I×J. Quelle est la trace def ⊗glorsqueE et F sont de dimensions finies ?
4.b. Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que E⊗RC est un C-espace vectoriel. Donner un exemple d’application non-diagonalisableR-lin´eairef : E→E, telle quef⊗1 est diagonalisable. Montrer quef et f⊗1 ont mˆeme polynˆome caract´eristique.
5. SoitAun anneau commutatif.
5.a. Soient M et N deux A-modules. Montrer que les A-modules Hom(M, A)⊗AN et Hom(M, N) sont isomorphes par l’applicationλ⊗n7→(a7→λ(a)⊗n).
5.b. Soit M unA-module. Soit I un id´eal de A. Montrer que les A-modules M ⊗AA/I et M/IM sont isomorphes.
5.c. SoientI1etI2 des id´eaux deA. Montrer queI1⊗AI2 est unA-module isomorphe `aI1I2. Montrer que leA-moduleA/I1⊗AA/I2 est isomorphe `a A/(I1+I2).
5.d. Existe-t-il unA-moduleM non nul tel queM⊗AM = 0 ?
6. Soit A un anneau commutatif. Soit M un A-module libre de rang fini de base B = (ei)i∈I. Notons M∗= Hom(M, A) le module dual deM. NotonsB∗= (e∗i)i∈I la famille duale deB.
6.a. Montrer queM∗ est libre de baseB∗.
6.b. Montrer queM∗⊗AM est unA-module libre de base (e∗i ⊗ej)(i,j)∈I×I.
6.c. Montrer queM∗⊗AM est unA-module isomorphe `a End(M) = Hom(M, M), par l’applicationλ⊗m7→
(n7→λ(n)m).
6.d. Montrer que l’isomorphisme End(M)→M∗⊗AM compos´e avec l’applicationM∗⊗AM →Adonn´ee parλ⊗x7→λ(x) n’est autre que la trace lorsqueM est libre.
7. SoitA un anneau commutatif. Soitf : M →N une application lin´eaire de noyauL. On dit alors qu’on a une suite exacte courte0→L→M →N →0 deA-modules. On dit qu’elle est scind´eesif admet une section (un inverse `a gaucheA-lin´eaire).
7.a. Montrer qu’alorsM est isomorphe `a L×N.
7.b. Montrer que siAest un corps toute suite exacte courte est scind´ee. (On admet l’axiome du choix.) 7.c. Montrer que siAest int`egre et n’est pas un corps, il existe une suite exacte deA-modules non scind´ee.
8. Soit A un anneau. Soient M0, ...Mn des A-modules. Pour i ∈ {1, ..., n}, soit fi : Mi−1 → Mi un morphisme deA-modules. Si Im(fi) = Ker(fi+1) (1≤i < n) et sif1 est injective etfn est surjective, on dit qu’on a unesuite exacteet on ´ecrit (c’est la situation dans laquelle nous nous pla¸cons) :
0→M0→M1....→Mn→0.
8.a. Montrer que siAest un corps etMiun espace vectoriel de dimensiondi(0≤i≤n), on aPn
i=0(−1)idi= 0. Montrer qu’il en est de mˆeme siA est principal et siMi est libre de rang di commeA-module.
8.b. Montrer que siA=Zet Mi est un groupe ab´elien fini d’ordre ti (0≤i≤n), on aQn
i=0t(−1)i i = 1.
8.c. Supposons queA=ZetMi=Ti⊕Ni, avecTifini d’ordretietNilibre de rangdi, a-t-onPn
i=0(−1)idi= 0 et Qn
i=0t(−1)i i = 1 ? (On pourra examiner le cas o`un= 2,M0=M1 =Z,f1 est la multiplication par 2 etf2est la surjection canoniqueZ→Z/2Z.)
8.d. Montrer que si chacun desMi, sauf peut-ˆetre l’un d’entre eux est noeth´erien, ils sont tous noeth´eriens.
8.e. SoientN0, ...Nn des modules noeth´eriens, montrer que le produitN0×N1×...×Nn est noeth´erien.
9. SoitAun anneau commutatif. Soit un diagramme commutatif deA-modules dont les lignes sont exactes M1 → M2 → M3 → 0
↓u ↓v ↓w
0 → N1 → N2 → N3 .
9.a. Construire une applicationA-lin´eaireδ: Ker(w)→Coker(u).
9.b. Montrer qu’elle se prolonge en une suite exacte longue
0→Ker(u)→Ker(v)→Ker(w)→Coker(u)→Coker(v)→Coker(w)→0, o`u, en dehors deδ, les morphismes sont obtenus par restrictions des morphismes ci-cessus.
10. SoitK un corps. SoitE unK-espace vectoriel. Soituun endomorphisme deE.
10.a. Rappeler commentufait deE unK[X]-module.
10.b. Montrer que si E est de dimension finie commeK-espace vectoriel, E est de type fini commeK[X]- module. Notons alorsM le polynˆome minimal deu. Montrer queE est un K[X]/(M)-module et que c’est unK[X]-module de torsion.
10.c. PosonsE=K[T]. Lorsqueuest la multiplication parT, montrer queE est unK[X]-module libre.
10.d. PosonsE=K[T]. Lorsqueuest la d´erivation dansK[T], montrer queE n’est pas de type fini comme K[X]-module (montrer que, si c’´etait le cas, il existeraitP1,...Pr∈K[T] tels que tout ´el´ement de K[T] soit combinaisonK-lin´eaire des d´eriv´ees successives deP1,...Pr.) Montrer que tout ´el´ement deE est de torsion.
11. SoitA un anneau commutatif. Soit P unA-module. On dit qu’il est projectifsi et seulement si pour tout morphismef : P →M deA-modules et tout morphisme surjectifg : N →M deA-modules, il existe un morphisme deA-modulesh: P →N tel quef =g◦h.
On dit queP estplatsi le foncteur⊗Pest exact. Autrement dit, si pour toute suite exacte deA-modules 0→N →M →L→0 on a une suite exacte deA-modules 0→N⊗P →M ⊗P →L⊗P →0.
11.a. Montrer qu’il revient au mˆeme de dire queP est projectif et que toute suite exacte courte 0→L→ N →P →0 est scind´ee.
11.b. Montrer que tout module libre est projectif.
11.c. Montrer queP est projectif si et seulement si le foncteurA7→Hom(P, A) est exact (i.e. il transporte toute suite exacte deA-modules 0→N→M →L→0 en une suite exacte 0→Hom(P, A)→Hom(P, B)→ Hom(P, C)→0).
11.d. Montrer que P est projectif si et seulement si il existe un A-module Q tel que L = P ⊕Q est un A-module libre. (On dit que P est unfacteur directdeL.)
11.e. SiA=Z, montrer queP est projectif si et seulement si il est libre.
11.f. Montrer que le moduleZ×0 sur l’anneauZ×Zest projectif sans ˆetre libre.
11.g. Montrer que tout module projectif est plat.
11.h. Montrer que tout module plat est sans torsion.
11.i. Montrer queZ/2Zest unZ-module ni projectif ni (a fortiori) plat.
