Universit´e Mohammed V-Rabat Ann´ee universitaire: 2016-17
Facult´e des Sciences SMA-S5- Topologie
D´epartement de Math´ematiques
S´erie ]2
Exercice 1. L(E, F) d´esigne l’espace des applications lin´eaires continues de EversF muni de la norme du sup sur la boule unit´e ferm´ee. On veut montrer que siL(E, F) est complet alorsF est complet dans le cas o`uEest de dimension finie.
1. On suppose d’abord queE estIRet on se donne une suite de Cauchy (an)n
dans F. On consid`ere la suite d’applications (fn)n dans L(IR, F) d´efinie par fn(1) =an.
1a. Justifier quekfnk=kankF. (Remarquer que la boule unit´e deIRest r´eduite
`
a deux ´el´ements 1 et -1.)
1b. Justifier que (fn)n converge vers une limitef ∈ L(E, F) puis conclure en consid´erantf(1).
2. G´en´eraliser `a un espaceE de dimension finiep.
(SiEest un espace vectoriel norm´e de dimension infinie, on a besoin d’une no- tion appel´ee ”suppl´ementaire topologique”. Elle implique en particulier que tout sous-espaceE1 de dimension finie deE admet un s.e.v. de E suppl´ementaire, ferm´e, not´e E2 tel que E = E1⊕E2 et pour lequel l’application injection E1 ,→ E = E1⊕E2 est continue. On peut alors se ramener `a la question 1.)
Exercice 2.SoitAune partie d’un espace m´etrique (E, d). Montrer quex∈A¯ si et seulement si il existe une suite (xn)n de points deAconvergente versx.
Exercice 3. (E, d) d´esigne un espace m´etrique. On note B(a,1) la boule ou- verte de centreaet de rayon 1 et Bf(a,1) ={x∈E, d(a, x)≤1}.
1. Montrer qu’on aB(a,1)⊂Bf(a,1).
2. Montrer `a l’aide d’un contre-exemple que l’inclusion est stricte en g´en´eral.
3. Nous voulons `a pr´esent montrer que l’inclusion devient une ´egalit´e si E est un espace vectoriel norm´e. Pour cela, nous allons d’abord ´etablir les r´esultats suivants:
3a. Montrer que sif :F →Gest une application continue entre deux espaces m´etriques, alors pour toute partieA⊂F, on af(A)⊂f(A).
3b. Montrer que si f : F → G est un hom´eomorphisme alors l’inclusion pr´ec´edente est une ´egalit´e.
3c. On se donne donc un ´el´ement x ∈ Bf(a,1) et on veut montrer que x est limite d’une suite (αn)n de points de B(a,1). On suppose d(a, x) = 1 (le cas d(a, x)<1 ´etant imm´ediat) et on suppose dans un premier temps queav´erifie kak <1. V´erifier que la suite (αn)n d´efinie par αn = n+1n x convient pour n assez grand.
3d. On suppose dans cette question kak ≥ 1 et on note τ la translation qui
1
envoieasur 2kaka . En remarquant queτ est un hom´eomorphisme et en utilisant 3b, conclure.
Exercice 4.Soitf :IR→IRun hom´eomorphisme,IR est muni d’une distance d.
On d´efinit une nouvelle distanceδpar
δ(x, y) =d(f(x), f(y)).
1. V´erifier queδ est bien une distance surIR.
2. Montrer qu’elle est topologiquement ´equivalente `a la distanced. C’est `a dire que tout ouvert pourdest un ouvert pourδet inversement.
3. D´eduire que les deux distances suivantes d´efinies par d1(x, y) =|x−y|, etd2(x, y) =|x3−y3| sont topologiquement ´equivalentes. Sont elles comparables?
Exercice 5.Soit (E, d) un espace m´etrique
1. SoientA1 etA2deux parties de Etelles queA1⊂A2. 1a. Montrer qu’on a ˚A1⊂A˚2 et que ¯A1⊂A¯2.
1b. Montrer que siAest une partie deE, on a
( ˚A)c=Ac, et z}|{˚
Ac = ( ¯A)c.
2. Soit (Ai, i ∈ I) une famille de parties de E. On pose A = ∩i∈IAi et B=∪i∈IAi. Montrer que:
A˚⊂ ∩i∈IA˚i, et que ∪i∈I A¯i⊂B.¯
Montrer que si I est fini, les inclusions pr´ec´edentes sont des ´egalit´es. A l’aide d’un contre exemple, montrer que les inclusions peuvent ˆetre strictes lorsqueI est infini.
3. SoitA une partie deE. On rappelle que la fronti`ere deA, not´eeF r(A), est d´efinie par:
F r(A) = ¯A∩Ac. Montrer queF r( ˚A)⊂F r(A) et queF r( ¯A)⊂F r(A).
4. SoientAetB deux parties deE. Montrer queF r(A∪B)⊂F r(A)∪F r(B).
Donner un exemple dans lequel l’inclusion est stricte. Montrer que lorsque A¯∩B¯ =∅, on aF r(A∪B) =F r(A)∪F r(B).
Exercice 6(E, d) d´esignant un espace m´etrique, on d´efinit une nouvelle dis- tanceδpar
δ(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y).
2
Montrer que les deux distancesdet δsont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 7. Soit (E, d) un espace m´etrique. Pour tout x ∈ E et toute par- tie non videA⊂E, on pose
d(x, A) =infy∈Ad(x, y).
1. Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x ∈ A, puis que¯ d(x, A) = d(x,A).¯
2. Montrer que, pour A fix´e, l’application f : x 7→ f(x) = d(x, A) est continue surE.
3. Soient A et B deux parties deE. Montrer que A∩B¯ = ¯A∩B =∅ si et seulement si il existe deux ouverts disjointsU etV deE tels queA⊂U et B⊂V. (Consid´erer l’application (x7→d(x, A)−d(x, B))
4. SoientAetBdeux ferm´es disjoints deE. Montrer qu’il existe une appli- cation continueϕ:E→IR´egale `a 0 surAet `a 1 surB. En d´eduire qu’il existe un ouvertU contenantA et un ouvertV contenantB disjoints.
Exercice 8.Suiteexhaustivede compacts associ´ee `a un ouvert.
Dans cet exercice, on se donne Ω⊂IRp et on veut construire une suite (Kn)n
de compacts contenus dans Ω et telle queKn⊂K˚n+1,S
nKn= Ω et pour tout compactK⊂Ω il existentel que K⊂Kn.
On pose, pour toutn≥1,Kn ={x∈Ω,d(x,˙ Ωc)≥ n1}TBn, o`u Bn d´esigne la boule deIRp de centre 0 et de rayon n. Remarquer que les Kn sont tous non vides `a partir d’un certain rang.
Montrer, en utilisant l’exercice pr´ec´edent, que les Kn conviennent. Expliquer pourquoi on a utilis´e l’adjectif ”exhaustive”.
Exercice 9.
C([0,1]) d´esigne l’ensemble des fonctions num´eriques d´efinies et continues sur [0,1] muni de la distance de la convergence uniforme. Soit k ∈ IR+. On rappelle qu’une fonctionf ∈C([0,1]) est ditek-lipschitzienne si, pour tousxet y∈[0,1],|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|.
1. Montrer que l’ensembleFkdes fonctions k-lipschitziennes est un ferm´e de C([0,1]).
2. Montrer que l’ensembleFdes fonctions lipschitziennes ´el´ements deC([0,1]) est d’int´erieur vide.
3. Soit f ∈ C([0,1]). Pour chaque n ∈ IN∗, soit fn la fonction affine par morceaux d´efinie par
fn(x) =f(i/n)+(nx−i)(f((i+1)/n)−f(i/n)), si x∈[i/n,(i+1)/n], 0≤i≤n−1.
Montrer, que pour toutn∈IN∗, on afn ∈F et que la suite (fn)n∈IN∗converge uniform´ement versf. En d´eduire queF est dense dansC([0,1]).
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