Informatique et Analyse
Exercice 1 : La constante d’Euler
On s’intéresse au programme Scilab suivant ainsi qu’à la représentation graphique qui en découle :
nmax=100;s=0;s0=[];
for k=1:nmax s=s+1/k;
s0=[s0,s-log(k)]
end
plot(1:nmax,s0,’b*’)
1. En traduisant le programme Scilab précédent, déterminer l’expression de la suite(γn)n¾1 dont les 100 premiers termes sont représentés sur la figure ci-dessus.
2. Montrer que la suite(γn)n¾1 converge vers un réelγ ∈[0, 1]. On pourra d’abord montrer que la suite(γn)n¾1 est toujours comprise entre 0 et 1 et est décroissante.
Exercice 2 : La constante d’Euler par une autre méthode
Pour n¾1 on pose :θn=
n P
k=1
1 k
−ln(n) 1. Montrer que : θn+1−θnn→∞∼ − 1
2n2 2. En déduire que la série P
n¾1
θn+1−θn
converge puis que la suite(θn)n¾1converge. On noteraγsa limite (appelée constante d’Euler). On peut donc écrire :
Pn k=1
1
k =ln(n) +γ+ o(1)
n→+∞. 3. Montrer que : 1+1
2+1
3+· · ·+1 n ∼
n→∞ln(n).
Exercice 3 : Méthode des rectangles
Soit f une application de[0, 1]dansR, de classeC1. On poseM= max
t∈[0,1]|f0(t)|. 1. Montrer que pout toutndeN?, pour toutkde{1, 2, . . . ,n}on a :
Z k
n
k−1 n
f(t)− f k
n
dt¶ M 2n2
Indication : On pourra utiliser l’inégalité des accroissements finis pour majorer
f(t)−fk
n
2. En déduire que :
∀n∈N? ,
Z 1 0
f(t)dt−1 n
Xn k=1
f k
n
¶ M 2n Remarque : Si on pose :∀n∈N?,Sn= 1
n
n
X
k=1
f k
n
, on a montré que : lim
n→+∞Sn= Z 1
0
f(t)dt
Snest une valeur approchée de Z 1
0
f(t)dt obtenue par la méthode des rectangles.
3. Dans cette question, on suppose que :∀t ∈ [0, 1] , f(t) = 1
1+t4. Rédiger en Scilab, un pro- gramme permettant de calculer une valeur approchée de
Z 1 0
f(t)dt. On prendran=10.
4. Interpréter le programme suivant. Pourquoi les valeurs affichées sont-elles proches ? function y=f(t)
y=1/(1+t^2) endfunction n=100000 X=1:n X=X/n
Y=feval(X,f) I=mean(Y) disp(4*I) disp(%pi)
2 lycée Montaigne
Exercice 4 : Étude de la somme d’une série
Soit(un)n∈Nla suite réelle définie paru0=1 et∀n∈N? , un= 2n
2n+3un−1. 1. Écrire une fonction Scilab ayant pour argument un entiernet renvoyant
Xn k=0
uk.
2. Tester la fonction obtenue pour de grandes valeurs den. Que peut-on conjecturer quant à la série Pun?
3. Soitα∈R. On pose pour toutn∈N?,vn= (n+1)αun+1 nαun .
a) Rappeler le développement limité à l’ordre deux au voisinage de 0 de x7→ln(1+x). b) Montrer que ln(vn) = (α+1)ln
1+ 1
n
−ln
1+ 5 2n
.
c) Pour quelle valeurα0 du réelαla série de terme général ln(vn)est-elle convergente ? d) Expliciter
n
X
k=1
ln(vk)sans signeP
, et en déduire qu’il existe un réel strictement positifC tel que un∼ C
nα0 lorsquentend vers+∞. e) Qu’en déduit-on pour la sérieP
un?
4. a) Établir pour tout entier natureln, la relation : 2
n+1
X
k=1
kuk+3
n+1
X
k=1
uk=2 Xn k=0
kuk+2 Xn k=0
uk.
b) En déduire la valeur de X+∞
k=0
uk.
Exercice 5 : Méthode de dichotomie
On considère la fonction f définie sur]0,+∞[par f(x) =lnx− x12.
1. Montrer que l’équation f(x) =0 admet une unique solutionc sur]0,+∞[et quec∈]1, 2[.
2. Écrire un programme Scilab qui calcule grâce à une bouclewhileune valeur approchée decà 10−2 près, puis à 10−6près.
2ECS2 3
Exercice 6 : Edhec 2009
On désigne parαun entier strictement supérieur à 1 et on pose, pour tout entier naturelnnon nul : un(α) =
Z +∞
0
dt (1+tα)n . Dans la suite de l’exercice, on écriraun au lieu deun(α).
1. a) Vérifier que, pour toutndeN∗, le réelunest bien défini et queun>0.
b) Étudier les variations de la suite(un)n¾1 et en conclure qu’elle converge.
2. a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que :∀n∈N∗, un=nα(un−un+1). b) En déduire que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a :un=u1
n−1
Y
k=1
1− 1
kα
. 3. Montrer, en considérant ln(un), que lim
n→+∞un=0.
4. Pour toutndeN∗, on poseSn=
n
X
k=1
uk.
a) Montrer que :∀n∈N∗, Sn= nα α−1un+1. b) En déduire que :∀n¾2, ln(Sn) =ln(u1) +
n
X
k=2
ln
1− 1
kα
−ln
1−1 k
. c) À l’aide d’un développement limité d’ordre 1 en 1
k, donner un équivalent, lorsque k est au voisinage de+∞, de ln
1− 1
kα
−ln
1−1 k
.
d) Conclure quant à la nature de la série de terme généralun.
5. Dans cette question, on suppose queα=2. Écrire en Scilab une fonction retournant la valeur deun.
4 lycée Montaigne
