MP 16-17 Feuille n

MP 16-17 Feuille n

02 :

RÉSULTATS GÉNÉRAUX

Exercice 1. Montrer qu'une suite d'entiers relatifs qui est convergente converge vers un entier, puis qu'elle est stationnaire (c'est à dire constante à partir d'un certain rang).

Exercice 2. Soit (a_n)_n∈

N une suite de complexes. Pour toutn ∈N^∗, on poseb_n= a₁+a₂+. . .+a_n

n .

1. Montrer que si (a_n)_n∈

N converge vers un complexe L, la suite (b_n)_n∈

N^∗ converge également vers L (c'est le théorème de Césaro, hors programme).

2. Donner un exemple simple où la suite (bn)_n∈

N^∗ converge alors que la suite (an)_n∈

N diverge.

Exercice 3. Soit(x_n)_n∈

Nune suite minorée de réels. Montrer que : soit (x_n)_n∈

Ndiverge vers +∞, soit on peut extraire de(x_n)_n∈

Nune sous-suite convergente (on pourra commencer par en extraire une sous-suite bornée).

Exercice 4. Soit (u_n)_n∈

N une suite de complexes. On suppose que les sous-suites (u_3n)_n∈

N, (u_3n+1)_n∈

N, (u_3n+2)_n∈

N et(u_2n)_n∈

N convergent respectivement vers L₀, L₁, L₂ etM

1. En considérant la suite (u_6n), montrer que L₀ =M. Montrer de même que L₁ =M et L₂ =M. 2. Montrer alors que la suite (u_n) est convergente.

RELATIONS DE COMPARAISON

Exercice 5. Déterminer un équivalent puis la limite de : 1. a_n= ln²(n+ 1)−ln²(n)

2. b_n =

1 + 1 n²

ⁿ

3. c_n = 3×2^1/n−2×3^1/nn

4. d_n= n^2a

aⁿ+ ln(n) (a ∈R) 5. e_n=nln

cos

1 n

6. f_n = n² + th(n) sh(n) + ln(n)

Exercice 6. (a_n)n∈N et (b_n)n∈N sont deux suites de réels strictement positifs avec a_n ∼b_n.

1. On suppose que ces deux suites convergent vers une limite L 6= 1 ou divergent vers +∞, montrer queln(a_n)∼ln(b_n).

2. Donner un exemple où les deux suites convergent vers 1 et où ln(a_n) et ln(b_n) ne sont pas équiva- lentes.

Exercice 7. (a_n)_n∈

N et (b_n)_n∈

N sont deux suites de réels avec a_n ∼b_n. 1. Montrer que : e^an ∼e^bn ⇔(a_n−b_n)_n∈

N converge vers 0.

2. Donner un exemple de suites(a_n)_n∈

N et(ab_n)_n∈

Néquivalentes, pour lesquelles e^an ete^bn ne sont pas équivalentes.

SUITES RECURRENTES

Exercice 8. (an)_n∈

N est dénie par a0 >0et ∀n∈N, an+1 = ln(1 +an)

1. Donner, dans un même tableau, les variations de x−→ln(1 +x) et le signe dex−→ln(1 +x)−x et en déduire que (an)_n∈

N décroît et converge vers 0.

1

2. Déterminer un réel s tel quea^s_n+1−a^s_nait une limite nie non nulle. En déduire, grâce au théorème de Césaro (cf 2), un équivalent simple de a_n.

Exercice 9. (an)_n∈

N est dénie par a0 >0et ∀n∈N, an+1 = 1 1 +a_n

1. Donner, dans un même tableau, les variations sur R+ de f : x −→ 1

1 +x et celles de g = f ◦f, ainsi que les signes dex−→f(x)−x etx−→g(x)−x.

2. En déduire que les suites (a_2n)_n∈

N et(a_2n+1)_n∈

N sont adjacentes, puis que (a_n)_n∈

N est convergente.

Exercice 10. (a_n)_n∈

N est dénie par a₀ ∈R et : ∀n∈N, a_n+1 =a_n+e^−an. 1. Etudier la monotonie et la convergence (a_n)_n∈

N. 2. Etudier la suite (^an+1 −e^an)_n∈

N et en déduire un équivalent de a_n.

AUTRES TYPES DE SUITES

Exercice 11. 1. Montrer que les suites(u_n)_n∈

Net(v_n)_n∈

Nde termes générauxu_n =

n

X

k=1

√1

k−2√ n+ 1 etv_n=

n

X

k=1

√1

k −2√

n sont convergentes vers une même limite L.

2. Un réel ε >0 étant donné, déterminer un rang n_ε au delà duquel on a |u_n−L|< ε. 3. Exemple : avec la calculatrice, donner une valeur approchée de L à10⁻² près.

Exercice 12. Etudier la limite éventuelle des suites(a_n)_n∈

N et (b_n)_n∈

N données par : a0 >0, b0 >0 et ∀n ∈N, an+1 = a²_n

a_n+b_n etbn+1 = b²_n

a_n+b_n . (On posera d=b0−a0).

Exercice 13. ∀n ∈ N^∗, on pose P_n = −1 +X +X² +..+Xⁿ. Montrer que P_n a une unique racine positive a_n. Etudier la convergence de (a_n)_n∈

N et sa limite.

SUITES USUELLES

Exercice 14. Etudier la convergence et la limite de la suite (u_n)_n∈

N dénie par : u₀ ∈ R et ∀n ∈ N, u_n+1 =−1

2u_n+ 2.

Exercice 15. Etudier la convergence et la limite de la suite (un)_n∈

N dénie par : u0 ∈ R et ∀n ∈ N, u_n+1 = 3u_n−1.

Exercice 16. Déterminer la suite (u_n)_n∈

N dénie par : u₀ = 1, u₁ = 2 et, ∀n∈N, u_n+2 =u_n+1−u_n Exercice 17. Soit (u_n)_n∈

N dénie par : u₀ = 1, u₁ =−5

2 et ∀n ∈N, u_n+2+ 2u_n+1−u_n =n 1. Déterminer une suite (vn)_n∈

N= (an+b)_n∈

N vériant ∀n∈N, vn+2+ 2vn+1−vn=n 2. Montrer que la suite (w_n)_n∈

N= (u_n−v_n)_n∈

N vérie ∀n∈N, w_n+2+ 2w_n+1−w_n= 0. 3. En déduire la suite (w_n)_n∈

N puis la suite (u_n)_n∈

N.

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