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(2.2) (2.2)
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(1.1) (1.1)
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(2.1) (2.1) Correction de l'exercice 2 de la planche n°3
restart;
Définition de la suite (u_n)
u:=n->sqrt(n^2+a*n+1) + sqrt(n^2+b*n+2) + c*n;
u:=n/ n2Ca nC1 C n2Cb nC2 Cc n
Comme n^2+a*n+1 est équivalent à n^2, n^2+a*n+1 tend vers +infini quand n tend vers +infini.
n^2+a*n+1 est donc positif à partir d'un certain rang.
Comme n^2+b*n+2 est équivalent à n^2, n^2+b*n+2 tend vers +infini quand n tend vers +infini.
n^2+b*n+2 est donc positif à partir d'un certain rang.
Ainsi, le terme général de la suite (u_n) est-il défini à partir d'un certain rang.
Développement asympotique (da) de u_n
On calcule le développement asymptotique de la suite (u_n).
da:=asympt(u(n),n);
da:= 2Cc nC 1
2 aC 1 2 bC
3 2 K 1
8 a2K 1 8 b2 n
C K1
2 bC 1
16 b3K 1
4 aC 1 16 a3 n2
C K5
8 C 3
16 a2K 5
128 a4C 3
8 b2K 5 128 b4 n3
C 3
16 aK 5
32 a3C 7
256 a5C 3
4 bK 5
16 b3C 7 256 b5 n4
C 9
16 K 15
64 a2C 35
256 a4K 21
1024 a6K 15
16 b2C 35
128 b4K 21 1024 b6 n5
CO 1 n6
On extrait la "partie principale" de ce développement asymptotique, i.e. on ôte le terme en O.
part_princ_da:=convert(da, polynom);
part_princ_da:= 2Cc nC 1
2 aC 1 2 bC
3 2 K 1
8 a2K 1 8 b2 n
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(3.2) (3.2)
(3.4) (3.4) (2.2) (2.2)
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(3.1) (3.1)
(3.3) (3.3)
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C K1
2 bC 1
16 b3K 1
4 aC 1 16 a3 n2
C K5
8 C 3
16 a2K 5
128 a4C 3
8 b2K 5 128 b4 n3
C 3
16 aK 5
32 a3C 7
256 a5C 3
4 bK 5
16 b3C 7 256 b5 n4
C 9
16 K 15
64 a2C 35
256 a4K 21
1024 a6K 15
16 b2C 35
128 b4K 21 1024 b6 n5
Analyse: condition nécessaire de convergence pour la série de terme général u_n
Le terme général d'une série convergente tend vers 0. On en déduit les termes en n^1 et n^0 doivent être nuls dans la partie principale du da pour que la série de terme général u_n converge.
Les nombres a, b et c doivent donc satisfaire les équations suivantes:
Eq1 := coeff(part_princ_da,n,1)=0 ; Eq2 := coeff(part_princ_da,n,0)=0 ; Eq1:= 2Cc= 0 Eq2:= 1
2 aC 1 2 b= 0 On résout ces deux équations.
solutions1:=solve({Eq1,Eq2},{a,b,c});
solutions1:= a=Kb,b=b,c=K2 On assigne les valeurs de a et c en fonction de b obtenues.
assign(solutions1);
On vérifie, à l'aide d'un affichage de valeurs, le résultat de la dernière commande.
a; c;
Kb K2
La partie principale du développement asymptotique s'écrit alors comme suit.
part_princ_da;
3 2 K 1
4 b2
n K 1
4 b n2 C
K5 8 C 9
16 b2K 5 64 b4
n3 C
9
16 bK 5 32 b3 n4
C 9
16 K 75
64 b2C 105
256 b4K 21 512 b6 n5
(3.5) (3.5)
(4.1.2) (4.1.2)
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(4.2.1) (4.2.1)
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(4.2.2) (4.2.2) (2.2) (2.2)
(3.6) (3.6)
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(4.1.1) (4.1.1) Si le coefficient du terme en 1/n n'est pas nul, alors u_n est équivalent à C/n, où C est une constante réelle non nulle. Dans ce cas, d'après les résultats du cours sur les séries ayant des termes généraux équivalents et le critère de convergence des séries de Riemann, la série de terme général u_n est divergente.
Le terme en 1/n doit donc être nul, i.e. l'équation suivante doit être vérifiée.
Eq3:=coeff(part_princ_da,n,-1)=0 ; Eq3:= 3
2 K 1
4 b2= 0 On résout cette équation.
solutions2:=solve(Eq3,b);
solutions2:=K 6 , 6
De cette étude, on déduit que si la série de terme général u_n converge, alors:
b =-sqrt(6) , a=sqrt(6) , c=-2 ou
b =sqrt(6) , a=-sqrt(6) , c=-2 .
On a donc déterminé une condition nécessaire de convergence.
Synthèse: vérifions si la condition nécessaire est suffisante Cas où b =-sqrt(6) , a=sqrt(6) , c=-2
La partie principale du da s'écrit alors comme suit.
subs(b=solutions2[1],part_princ_da);
1 4
6
n2 K 1
16 n3 C 3 8
6
n4 K 9 16 n5 On a donc u_n équivalent à:
subs(b=solutions2[1],coeff(part_princ_da,n,-2))/n^2;;
1 4
6 n2
D'après les résultats du cours sur les séries ayant des termes généraux équivalents et le critère de convergence des séries de Riemann, la série de terme général u_n est convergente.
Cas où b =sqrt(6) , a=-sqrt(6) , c=-2
La partie principale du da s'écrit alors comme suit.
subs(b=solutions2[2],part_princ_da);
K1 4
6
n2 K 1
16 n3 K 3 8
6
n4 K 9 16 n5 On a donc u_n équivalent à:
subs(b=solutions2[2],coeff(part_princ_da,n,-2))/n^2;;
K1 4
6 n2
D'après les résultats du cours sur les séries ayant des termes généraux équivalents et le critère de convergence des séries de Riemann, la série de terme général u_n est convergente.
(2.2) (2.2)
Conclusion
La série de terme général u_n converge si et seulement si:
b =-sqrt(6) , a=sqrt(6) , c=-2 ou
b =sqrt(6) , a=-sqrt(6) , c=-2 .
