Développements en série entière usuels (en 0)
1) Exponentielle, fonctions cosinus et sinus (rayon de convergence :
+∞)
ex=
+∞
n=0
xn
n! = 1 +x+x2
2! +· · ·+ xn n! +· · ·
chx=
+∞
n=0
x2n
(2n)! = 1 +x2 2! +x4
4! +· · ·+ x2n (2n)!+· · ·
shx=
+∞
n=0
x2n+1
(2n+ 1)! =x+x3 3! +x5
5! +· · ·+ x2n+1
(2n+ 1)!+· · ·
cosx=
+∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)! = 1−x2 2! +x4
4! +· · ·+ (−1)n x2n (2n)! +· · ·
sinx=
+∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n+ 1)! =x−x3 3! +x5
5! +· · ·+ (−1)n x2n+1
(2n+ 1)!+· · ·
2) Fonctions puissances et applications (rayon de convergence : 1)
(1 +x)α = 1 +
+∞
n=1
α(α−1). . .(α−n+ 1)
n! ·xn
= 1 +α·x+α(α−1)
2! ·x2+· · ·+α(α−1). . .(α−n+ 1)
n! ·xn+· · ·
1 1−x =
+∞
n=0
xn= 1 +x+x2+· · ·+xn+· · ·
1 1 +x =
+∞
n=0
(−1)nxn= 1−x+x2+· · ·+ (−1)nxn+· · ·
ln (1 +x) =
+∞
n=1
(−1)n−1 xn
n =x− x2 2 +x3
3 − · · ·+ (−1)n−1 xn n +· · ·
ln (1−x) =−
+∞
n=1
xn
n =−x− x2 2 −x3
3 − · · · −xn n − · · ·
arctanx=
+∞
n=0
(−1)n x2n+1
2n+ 1 =x− x3 3 +x5
5 − · · ·+ (−1)n x2n+1 2n+ 1+· · ·
NB : dans les cas α=±1/2, penser à écrire, notamment pour profiter de la formule de S : 1.3.5.· · ·.(2n−1)
2n.n! = 1.2.3.4.5.· · ·.(2n−1).(2n)
2.4.· · ·.(2n).2n.n! = (2n)!
22n(n!)2 = 1 22n
2n
n n→∞∼ 1
√πn
