1 Rappels sur les suites numériques

MIAS24 – M3 – Résumé du cours II. — 2003-2004

Séries numériques

Je recommande vivement la lecture du livre de W. Rudin, Principes d’analyse mathématique, Edis- cience 1995, ou du polycopié de S. Delabrière, Analyse : suites, séries, intégrales, disponible sur /www.ccr.jussieu.fr/eqanalyse/Users/syg/PM1.html

1 Rappels sur les suites numériques

1.1 Convergence

Définition 1.1 Rappelons qu’une suite(un)nde réels est convergente de limite finie l si et seulement si

∀ε∈IR, ∃N ∈IN;∀n≥N,|un−l| ≤ε.

Rappelons qu’une suite(un)nde réels est convergente de limite finie+∞si et seulement si

∀A∈IR, ∃N∈IN;∀n≥N,u_n≥A.

On note alors lim

n→∞u_n=l ce qui signifie : “la limite de la suite u_nexiste et vaut l”

Théorème 1.2 Une suite(un)monotone est convergente (éventuellement vers±∞).

Remarque. — La notion de monotonie est importante à partir d’un certain rang. Il suffit que(un)soit monotone à partir d’un certain rang.

Preuve : Si(un)est croissante, alors u_nconverge vers l=Sup{u_n,n∈IN}.

1.1.1 Limites supérieures et inférieures Définition 1.3 On définit IR=IR∪ {−∞, +∞}.

A partir d’une suite de réels, on peut construire deux suites particulières monotones qui l’encadrent.

Soit(xn)une suite de réels. Définissions An={xp,p≥n}et un=Inf An, vn=Sup An. Théorème 1.4 Les suites u_net v_nsont convergentes.

Preuve : On vérifie que un≤xn≤vn, que un est croissante et vn est décroissante. Elles sont donc convergentes (éventuellement vers±∞)

Définition 1.5 On note lim

n→∞x_n(limite inf) et lim

n→∞x_n (limite sup) les limites des suites u_net v_n. Notons que l= lim

n→∞x_n, signifie

∀ε>0,∀N∈IN,∃n≥N; l≥xn≥l−ε,

c’est-à-dire, en notant n=ϕ(N), il existe une suite x_ϕ(N) de limite l. On dit alors que l est une valeur d’adhérence de la suite(xn). La suite(x_ϕ(n))est une suite extraite de(xn).

La caractérisation précédente montre qu’aussi petite que soit la distance ε, il existe une infinité de (xn)à une distance inférieure àεde l

1.1.2 Suites adjacentes

Le théorème des suites adjacentes est en fait le principal argument amenant à la conclusion qu’une suite est convergente. Évidement, toute suite convergente n’est pas nécessairement monotone mais nous allons montrer qu’elle est encadrée par deux suites adjacentes.

Rappelons tout d’abord le théorème

Théorème 1.6 (Théorème des suites adjacentes) Soit(un)et(vn)deux suites vérifiant 1. Pour tout n≥n₀, u_n≤u_n+1≤v_n+1≤v_n.

2. lim

n→∞(un−v_n) =0.

Alors u_n et v_nsont convergentes de même limite.

Preuve : La convergence est assurée par la monotonie des suites et le fait qu’elles sont encadrées par un₀ et vn₀. L’égalité des limites résulte du fait que un−vntend vers 0 et aussi vers leur différence.

Remarque. — Le cas où une des deux suites est constante donne le théorème sur les suites monotones et bornées.

Théorème 1.7 (Théorème des gendarmes) Soit trois suites(un),(xn),(vn)de réels. Supposons qu’à partir d’un certain rang, on a u_n≤x_n≤v_net que lim

n→∞u_n= lim

n→∞v_n. Alors x_nest convergente de limite

nlim→∞u_n= lim

n→∞v_n.

1.1.3 Suites de Cauchy

Soit(xn)une suite de réels convergente de limite l finie. Il est clair que u_n est bornée car il existe N tel que pour tout n≥N, on a|un−l| ≤1.

On déduit alors que A_N⊂[l−1,l+1].

Les suites u_n=inf A_net v_n=sup A_nsont donc bornées donc convergentes car monotones.

La convergence de(xn)indique que :

∀ε,∃N;∀n≥N,An⊂[l−ε,l+ε]

c’est-à-dire, u_n,v_n∈[l−ε,l+ε]. Par conséquent|u_n−v_n| ≤2εet les suites u_net v_nsont adjacentes.

On déduit le théorème,

Théorème 1.8 (xn)est convergente si et seulement si u_n=Inf{x_p,p≥n} et v_n=Sup{x_p,p≥n} sont adjacentes.

De cette propriété, on déduit le critère de Cauchy

Théorème 1.9 (xn)est convergente si et seulement si(xn)est une suite de Cauchy.

Preuve : Si (xn) est convergente, alors pour tout p,q≥n, on a u_n ≤x_p,x_q ≤v_n, donc pour tout p,q≥n,|xp−xq| ≤vn−un→0. Donc(xn)vérifie le critère de Cauchy.

Si(xn)vérifie le critère de Cauchy alors(xn)est bornée, les suites(un)et(vn)sont adjacentes.

2 Séries numériques

On note∑xn la série de terme général xn. On dit que la série∑xnest convergente si et seulement si la suite des sommes partielles u_n=∑ⁿ_p=0u_p est convergente. On note alors la limite∑^∞n=0x_n. Si une série n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente.

Remarque. — Il y a une ambiguïté sur le terme de convergence. Certains disent que si lim

n→∞∑ⁿ_p=0x_p= +∞, la série converge vers+∞.

Il est commode de considérer une suite comme une somme partielle, en considérant la série de terme général u_n+1−u_n.

On a d’ailleurs le résultat fort utile :

n=q∑

n=p(un+1−u_n) =u_p+1−u_q.

2.1 Convergence

Le critère de Cauchy pour les suites a comme traduction

Théorème 2.1 La série∑x_nest convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy, c’est- à-dire,

∀ε>0,∃N∈IN;∀p,q≥N,

n=q

∑

n=p

x_n

≤ε.

En particulier, si p=q, on a

Théorème 2.2 Si la série∑x_nest convergente, alors lim

n→∞x_n=0.

Cette condition n’est pas suffisante comme le montre la série ∑1

n. En effet calculons Sn=^p=2n∑

p=n

1 p. On a Sn≥n× 1

2n= 1

2 et la série ne vérifie pas le critère de Cauchy.

2.1.1 Séries à termes positifs

Dans le cas particulier où la suite(xn)est positive (resp. négative) à partir d’un certain rang, alors la série∑x_nest convergente (de limite finie) si et seulement si les sommes partielles sont bornées.

Théorème 2.3 Une série à termes réels positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est bornée.

Énonçons à présent un test de comparaison.

Théorème 2.4 Si à partir d’un certain rang N, on a |a_n| ≤b_n et si la série ∑b_n est convergente, alors la série∑a_nest convergente.

Si à partir d’un certain rang N, on a a_n≥b_net si la série∑b_n est divergente, alors la série∑a_nest divergente.

Preuve : D’après le critère de Cauchy, on a pour tout ε>0, l’existence d’un N ∈IN, tel que si m≥n≥N,

∑m

p=nb_p≤ε. mais d’après l’inégalité triangulaire, on a

∑

a_p

≤

∑

p=n|a_p| ≤

∑

b_p

≤ε.

La série ∑a_n vérifie le critère de Cauchy et est donc convergente. D’ailleurs la série∑|a_n|est égale- ment convergente.

Pour la deuxième assertion, les sommes partielles de la série ∑a_n sont minorées par les sommes partielles de la série∑bnqui tendent vers+∞.

Exemple. La série ∑ 1

n² est convergente. En effet, posons b_n= 1

n(n−1) = 1 n−1−1

n. On a 1 n² ≤b_n et∑ⁿ_k=2b_k=1−1

n ≤1. La série∑bnest convergente donc∑ 1

n² également.

Remarque. — Si la série∑|a_n|est convergente, on dit que la série∑a_nest absolument convergente.

On déduit du théorème précédent qu’une série absolument convergente est convergente.

???

2.1.2 Exemples usuels

L’exemple le plus simple de série convergente est la série géométrique de raison x, avec|x|<1. On a d’ailleurs

∑n p=0

x^p= 1−xⁿ⁺¹

1−x . On déduit donc que

∑

x^p= 1 1−x,

∑

x^p= x^k 1−x,

Si|x| ≥1, alors|xⁿ| ≥1 et le terme général de la série ne tend pas vers 0.

???

Lorsque le terme général de la série est décroissant, nous disposons d’un critère supplémentaire.

Théorème 2.5 Si(un)est une suite décroissante de réels positifs, alors la série∑a_nest convergente si et seulement si la série∑2ⁿa₂ⁿ est convergente.

Preuve : Notons S_n=u₁+···+u_net T_k=u₁+2u₂+···+2^ku₂k. Pour n≤2^k, on a

S_n≤

2^k+1−1 p=1

∑

u_p=

∑

2ⁱ⁺¹−1 p=2

∑

u_p

!

≤

∑

2^pu₂^p =T_k Pour n>2^k, on a

Sn≥

2^k p=1

∑

up=u₁+

∑

2ⁱ p=2

∑

up

!

≥u₁+

∑

2ⁱ⁻¹u₂ⁱ= 1 2u₁+1

2T_k≥ 1 2T_k On déduit que(Tk)est bornée si et seulement si(Sn)est bornée.

???

On déduit la convergence des séries de Riemann Théorème 2.6 La série∑ 1

n^α converge si et seulement siα>1.

Preuve : On a 2^k 1

2^kα = 2^1−αk

. D’après le théorème précédent, cette série converge si 2^1−α <1, c’est-à-dire,α>1.

On déduit de la même façon la convergence des séries de Bertrand : Théorème 2.7 La série∑ 1

n(ln n)^α converge si et seulement siα>1.

???

Il existe également un critère de convergence plus général (que nous n’étudions pas dans ce cours).

Théorème 2.8 (Comparaison avec une intégrale) Soit f : IR7→IR⁺, une fonction décroissante. La série∑f(n)est convergente si et seulement si l’intégrale^R_x=1^+∞f(t)dt est convergente.

2.2 Critères de convergence

Théorème 2.9 (Critère de Cauchy) Soit une série ∑an, on poseα= lim

n→∞

n

p|an|. Alors 1. Siα<1, la série converge

2. Siα>1, la série diverge.

Preuve : Si α<1, il existeβ<1, tel que ⁿp

|a_n|<βpour n assez grand (voir la définition de lim).

On déduit alors que|a_n| ≤βⁿpour n assez grand et la convergence absolue de la série.

Si α>1, il existe α>β>1, tel que Sup{ⁿp

|an|,n≥N}>βpour N assez grand. Donc pour tout N∈IN, il existe n≥N, tel que|a_n| ≥βⁿ≥1. La suite|a_n|n ne tend pas vers 0.

Remarque. — Pour les suites de Riemann, a_n = 1

n^α, on a lim

n→∞

np

|a_n|=1 ce qui ne permet pas de conclure en utilisant le critère de Cauchy.

Théorème 2.10 (Règle de d’Alembert) Si

a_n+1 a_n

≤α ≤1 à partir d’un certain rang alors ∑a_n converge.

Si

a_n+1 a_n

>1 à partir d’un certain rang alors∑andiverge.

Remarque. — Remarquons que la première condition est satisfaite si lim

n→∞

a_n+1 a_n

=α <1 ou si

nlim→∞

a_n+1 an

=α<1

Remarque. — La condition du critère de d’Alembert est plus forte que celle du critère de Cauchy et on peut montrer que si lim

n→∞

a_n+1 a_n

=αalors lim

n→∞np

|a_n|=α.

2.2.1 Exemple

Pour la série de terme général u_2n = 1

2ⁿ, u_2n+1= 1

3ⁿ, on a|u_n| ≤(1/√

2)ⁿdonc elle est convergente.

Cependant, on a lim

n→∞

a_n+1

a_n = lim

n→∞

2 3

n

=0, lim

n→∞

a_n+1

a_n = lim

n→∞

3 2

n

= +∞, lim

n→∞

np

|a_n|= 1

√3, lim

n→∞

np

|a_n|= 1

√2.

2.3 Séries de signe quelconque

Pour démontrer la convergence d’une série dont les termes sont de signe quelconques, il suffit de démontrer l’absolue convergence. Cependant il existe des cas où la série est semi-convergente, c’est- à-dire,∑anconverge et∑|an|diverge.

C’est le cas, par exemple de la série de terme général (−1)ⁿ n . Nous disposons d’une première méthode.

Théorème 2.11 (Regroupement par paquets finis) Soit la série∑a_n. Considérons une application ϕstrictement croissante de IN. Posons b_n=∑^ϕ_k=ϕ(n)^(n+1)−1a_k. Alors

1. Si∑a_nest convergente alors∑b_nest convergente.

2. Si∑b_nest convergente et lim

n→∞

∑^ϕ_k=⁽ⁿ⁺¹⁾_ϕ(n)⁻¹|a_k|

=0, alors∑b_nest convergente.

Preuve :

1. Les sommes partielles de la série∑b_nsont extraites de la suite des sommes partielles de la série

∑a_ndonc convergent.

2. Écrivons c_n=∑^ϕ_k=ϕ(n)^(n+1)−1|a_k|. Soit n∈N. On aϕ(m)≤n<ϕ(m+1)si bien que

∑

a_k−

∑

b_k

≤cm

Lorsque n tend vers∞, il en va de même pour m et∑ⁿ_k=0a_kconverge vers∑ⁿ_k=0b_k.

Exemple. Considérons la suite an= (−1)ⁿ

n . Posons bn =a2n+a2n+1, soit ϕ(n) =2n. On a bn= 1

2n(2n+1) ≤ 1

n² donc∑b_n est convergente. On a aussi c_n= 1

2n+ 1

2n+1 →0. Donc ∑(−1)ⁿ n est convergente. Nous calculerons sa limite ultérieurement.

???

En fait, cette série est une série alternée et converge pour une raison plus générale.

Théorème 2.12 Soit (an) une suite de nombres réels décroissante de limite nulle. Alors la série

∑(−1)ⁿanest convergente. De plus on a pour tout n, ∑

k>n

(−1)ⁿap

≤ |an|.

Le critère des séries alternées est lui même un cas particulier du théorème d’Abel.

Théorème 2.13 (Critère d’Abel) Soit deux séries(an)et(bn)vérifiant 1. (bn)est décroissante de limite nulle

2. les sommes partielles

∑n k=0

a_ksont bornées.

Alors la série∑a_nb_nest convergente.

Preuve : Posons A₋₁=0 et A_n= ∑ⁿ

k=0

a_k. Écrivons

∑

a_kb_k=

∑

(Ak−A_k−1)bk=

∑

A_k(bk−b_k+1) +A_qb_q+1.

On a d’une part, en majorant|A_k| ≤M, lim

n→∞Anbn+1=0 et d’autre part

∑

A_k(bk−b_k+1)

≤

∑

|A_k|(bk−b_k+1≤M(bp−b_q+1),

ce qui fait que∑a_nb_nvérifie le critère de Cauchy.

2.4 Addition et multiplication des séries

Théorème 2.14 Si∑a_net∑b_nsont deux séries convergentes, alors∑(an+b_n)est convergente et sa somme est la somme des deux séries.

Définition 2.15 (Série Produit) On appelle série produit ou (produit de Cauchy) des deux séries

∑anet∑bn, la série de terme général cn= ∑ⁿ

p=0

apbn−p.

Théorème 2.16 Si(an)et (bn) sont des suites de réels positifs et si∑a_n et∑b_n sont convergentes alors la série produit converge et ∑

n≥0

c_n=

∑

n≥0

a_n ∑

n≥0

b_n

. Preuve : Remarquons que ∑ⁿ

k=0

( ∑^k

p=0

a_pb_n−p) = ∑

(i,j)∈An

a_ib_j où A_n={(i,j); 0≤i,j≤n,i+j≤n}.

Jn/2

Jn

n

n

An

Posons J_n={(i,j); 0≤i,j≤n}, on a J[ⁿ₂]⊂A_n⊂J_n. Par ailleurs

∑

(i,j)∈Jn

a_ib_j= _n

i=0∑

a_i ∑ⁿ

i=0

b_i

, d’où nous déduisons que



 [ⁿ₂]

i=0

∑

a_i







 [ⁿ₂]

i=0

∑

b_i



≤

∑

(

∑

a_pb_n−p)≤

∑

a_i

! n i=0

∑

b_i

! .

Si les séries sont semi-convergentes, le résultat n’est plus le même comme le montre le produit de Cauchy de∑ (−1)ⁿ

√n+1 par elle même dont le terme général c_nne tend pas vers 0.

???

Théorème 2.17 Si les deux séries sont telles que 1. ∑a_nest absolument convergente de limite A 2. ∑bnest convergente de limite B

alors la série produit∑c_n est convergente de somme A·B.

Preuve : On effectue la différence des sommes partielles C_n−A_nB_n et on obtient le résultat en majorant.

3 Séries entières

Définition 3.1 On appelle série entière une série de la forme∑na_nxⁿ. Lorsqu’elle converge on note f(x)la somme de la série et par abus de langage on l’appelle également série entière.

3.1 Rayon de convergence

La principale question est de savoir pour quels x réels la série converge. Le principal résultat est l’existence du rayon de convergence R de cette série. Et nous avons

Théorème 3.2 Il existe un réel R≥0 tel que

1. Si|x|<R, la série∑na_nxⁿconverge absolument.

2. Si|x|>R, le terme général anxⁿne tend pas vers 0 et la série∑nanxⁿest divergente.

Preuve : Notons A={x≥0,a_nxⁿest borné}. A contient 0 donc est non vide et possède une borne supérieure R.

1. Soit x tel que|x|<R. Posons r= |x|+R

2 . On a|x|<r<R. La suite a_nrⁿest bornée par M donc

|a_nxⁿ| ≤M x r

n

. La série géométrique de raison x r

est convergente donc la série ∑na_nxⁿ est absolument convergente.

2. Soit x tel que|x|>R.|x| 6∈A donc|anxⁿ|ne tend pas vers 0.

Corollaire 3.3 On déduit alors plusieurs propriétés :

1. Si∑a_nxⁿ₀est convergente alors a_nxⁿ₀tend vers 0 et R≥ |x₀|.

2. Si∑a_nxⁿ₀est semi-convergente alors R=|x₀|, sinon∑a_nxⁿ₀serait absolument convergente.

3.1.1 Exemples

La série∑xⁿest convergente si et seulement si|x|<1.

La série∑xⁿ

n est convergente si et seulement si−1≤x<1.

La série∑xⁿ

n² est convergente si et seulement si|x| ≤1.

3.1.2 Propriétés de la somme

Soit∑anxⁿune série entière de rayon de convergence R et notons f(x) = ∑

n≥0

anxⁿ. Théorème 3.4 Soit x0 tel que|x0|<R. Alors f est continue au point x0.

Preuve : Soit x₀tel que|x₀|<R. On choisit r tel que|x0|<r<R. Si|x|<r, on a f(x)−f(x0) =

∑

n≥0

a_n(xⁿ−xⁿ₀) =

∑

a_n(xⁿ−xⁿ₀) +

∑

a_n(xⁿ−xⁿ₀).

On a

a_n(xⁿ−xⁿ₀)

≤2|a_nrⁿ|qui est le terme général d’une série convergente.

Soitε>0. Il existe N tel que ∑^∞

n=N+1|a_nrⁿ| ≤ε/4. Donc

∑∞ n=N+1

a_n(xⁿ−xⁿ₀)

≤2 ∑^∞

n=N+1|a_nrⁿ| ≤ε/2.

La fonction x7→ ∑^N

n=0

a_n(xⁿ−xⁿ₀)est continue en x₀. Donc il existeα>0, tel que si|x−x₀|<α, on a

∑N n=0

an(xⁿ−xⁿ₀) ≤ ε

2. En conclusion, si|x−x₀|<α, on a|f(x)−f(x0)| ≤ε.

3.1.3 Calcul de rayon de convergence

Les critères de convergence pour les séries numériques fournissent des méthodes de détermination du rayon de convergence.

Proposition 3.5 Le rayon de convergence R de ∑anxⁿest R= 1

nlim→∞np

|a_n|. Preuve : Posons l= lim

n→∞

np

|a_n|. Si|x|l<1, alorsⁿp

|a_nxⁿ|=|x|ⁿp

|a_n|et lim

n→∞np

|a_nxⁿ|=|x|lim

n→∞np

|a_n|<1. D’après le critère de Cau- chy,∑a_nxⁿest absolument convergente. Donc R≥x. En faisant tendre x vers 1

l on déduit que R≥ 1 l. Si|x|l>1, alors lim

n→∞

n

p|anxⁿ|>1 et∑anxⁿest divergente donc, de la même façon, R≤ 1 l. Proposition 3.6 (Critère de d’Alembert) Si

a_n+1 a_n

a une limite l, alors R= 1 l. Preuve : On a

a_n+1xⁿ⁺¹ a_nxⁿ

=|x|

a_n+1 a_n

→ⁿ→∞ |x|l <1. D’après le critère de d’Alembert pour les séries numériques,∑anxⁿest convergente si|x|l<1, et R≥ 1

l, ou divergente si|x|l>l, et on conclut que R≤1

l. 3.1.4 Exemples La série∑xⁿ

n! a pour rayon+∞car a_n+1 a_n = 1

n+1 tend vers 0.

3.2 Opérations sur les séries entières

3.2.1 Addition, multiplication, composition, inverse

Des propriétés sur l’addition et la multiplication des séries absolument convergentes, on déduit Proposition 3.7 Soit f(x) =∑a_nxⁿet g(x) =∑b_nxⁿdeux séries entières de rayon de convergence R_a et R_b. Alors

1. La série entière∑(an+b_n)xⁿest convergente de somme f(x) +g(x)et de rayon de convergence R≥min{R_a,R_b}.

2. La série entière∑cnxⁿde terme général cn= ∑ⁿ

p=0

apbn−pest convergente de somme f(x)g(x)et de rayon de convergence R≥min{R_a,R_b}.

Remarque. — On peut très bien avoir R>min{R_a,R_b}, en prenant g(x) =−f(x)pour la somme et f(x) =1−x et g(x) = 1

1−x pour le produit.

???

Théorème 3.8 (Composition (Admis)) Soit f(z) =∑a_nzⁿ et g(z) =∑b_nzⁿ deux séries entières de rayon de convergence R_aet R_b. Supposons que |g(0)|<R_a, alors il existe une série entière de rayon de convergence non nul et de somme f(g(z)).

Théorème 3.9 Soit f(z) =∑a_nzⁿune série entière de rayon de convergence R et telle que f(0)6=0.

Alors il existe une série entière∑bnzⁿde rayon R⁰>0, et de somme 1/f(z).

Preuve : Tout d’abord, supposons f(0) =1. Définissons par récurrence b₀=1,b_n=− ∑ⁿ

p=1

a_pb_n−p. Nous aurons donc, en posant c_n= ∑ⁿ

p=0

a_pb_n−p,

1=

∑

n≥0

cnzⁿ=

∑

n≥0

anzⁿ

!

·

∑

n≥0

bnzⁿ

! . Reste à montrer que∑bnzⁿa un rayon de convergence non nul.

Soit r>0, tel que|a_nrⁿ| ≤M pour tout n. Nous avons

|b_nrⁿ| ≤

∑

a_pr^p

b_n−pr^n−p ≤M

n−1 p=0

∑

b_pr^p

Par une récurrence immédiate, on a |b_nrⁿ| ≤(M+1)ⁿ, soit |b_n| ≤

M+1 r

n

et donc le rayon de convergence de∑b_nzⁿest au moins r

M+1.

Dans le cas où f(0)6=1, alors le résultat s’applique à f/f(0), donc à f . 3.2.2 Dérivation, intégration

Les séries entières ont la propriété d’être dérivables à l’intérieur du domaine de convergence. On a Proposition 3.10 Soit f(x) = ∑a_nxⁿ une série entière de rayon de convergence R. Alors la série dérivée∑(n+1)an+1xⁿa le même rayon de convergence et si|x0|<R, on a

f⁰(x0) =

∑

(n+1)an+1xⁿ. Preuve : Puisque lim

n→∞

n√

n+1=1, on déduit que lim

n→∞

n

p|(n+1)an+1|= lim

n→∞

n√an+1= lim

n→∞

n√an et le rayon de convergence de la série dérivée est R.

Si|x₀|<R, prenons r=x₀+R

2 . Pour x et x₀, tels que|x|<r et|x₀|<r, on a f(x)−f(x0)

x−x0

=

∑

n≥0

a_nxⁿ−xⁿ₀ x−x0

. (1)

Mais

xⁿ−xⁿ₀ x−x0

=

n−1

∑

k=0

x^kxⁿ₀^−1−k ≤ⁿ∑⁻¹

k=0

x^kxⁿ₀^−1−k

≤nrⁿ⁻¹. La série|nanrⁿ⁻¹|est convergente car r<R.

Théorème 3.11 Soit∑a_nzⁿune série entière de rayon de convergence R. Alors F(z) =∑ a_n n+1zⁿ⁺¹ a R pour rayon de convergence de F⁰(z) = f(z)pour−R<z<R.

???

De ces propriétés, on déduit qu’une série entière f(z) =∑n≥0anzⁿ est C^∞ pour −R<z<R. Plus précisément :

Théorème 3.12 La série entière f(z) =∑n≥0a_nzⁿest C^∞sur]−R,R[, et on a f^(k)(z) =

∑

n≥0

(n+k)···(n+1)an+kzⁿ.

Corollaire 3.13 On en déduit que f^(k)(0) =k!a_k, soit f(z) =

∑

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0) n! zⁿ. On dit que f est égale à sa série de Taylor.

3.2.3 Développement en série entière d’une fonction

Nous venons de voir que si f(z)est une série entière, alors elle est C^∞et égale à sa série de Taylor. En général, une fonction C^∞au voisinage de 0, n’est pas nécessairement égale à sa série de Taylor, pour deux raisons.

1. la série∑n

f⁽ⁿ⁾(0)

n! zⁿ.peut avoir une rayon de convergence nul

2. le reste du développement de Taylor à l’origine à l’ordre n peut ne pas tendre vers 0.

Nous donnons ici une condition suffisante pour qu’une fonction f de classe C^∞au voisinage de 0 soit développable en série entière, c’est-à-dire, égale à sa série de Taylor sur un voisinage de 0.

Théorème 3.14 Soit f une fonction C^∞au voisinage de 0. Supposons qu’il existe M et r>0 tel que pour|x| ≤α, on ait

f⁽ⁿ⁾(x) n!

≤Mrⁿ, alors f est développable en série entière.

Dans la cas où f est développable en série entière (ce qui est le cas lorsque f est la somme d’une série entière), on a

Théorème 3.15 (Unicité du développement en série entière) Si f admet un D.S.E. (développement en série entière), celui-ci est unique.

3.2.4 Fonctions usuelles On a

— 1

1−x =∑n≥0xⁿ.

— 1

1+x =∑n≥0(−1)ⁿxⁿ, (par x7→ −x).

— x^k

1−x =∑n≥kxⁿ.

— 1

(1−x)^k =∑n≥0 n+k−1 k−1

xⁿ, par dérivations successives.

— ln(1−x) =−∑n≥0

xⁿ

n (par intégration).

— ln(1+x) =−∑n≥0

(−1)ⁿxⁿ

n (par x7→ −x).

— 1

1+x² =∑n≥0(−1)ⁿx²ⁿ, (par x7→x²).

— Arctan(x) =∑n≥0(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1, (par intégration).

— exp(x) =∑n≥0

xⁿ

n!, (développement de Taylor).

La fonction f : x7→(1+x)^α, vérifie(1+x)f⁰(x) =αf(x). Donc son développement éventuel en série satisfait(n+1)an+1= (α−n)an, soit a0=1, an= α·(α−1)···(α−n−1)

n! .

3.2.5 Fraction rationnelle

Proposition 3.16 Toute fraction rationnelle n’ayant pas 0 comme pôle, admet un développement en série entière et son rayon de convergence est le plus petit module des pôles.

Preuve : Soit F(x) = A(x)

B(x) une fraction rationnelle. D’après le théorème de d’Alembert-Gauss, B à toutes ses racines dans C. Soit B(x) = (x−α1)ⁿ¹···(x−αp)^np.

On peut écrire

1

(x−α)ⁿ =(−1)ⁿ αⁿ

1

(1−x/α)ⁿ =(−1)ⁿ αⁿ

∑

k≥0

n+k−1 n−1

x^k α^k. qui converge si et seulement si|x|<|α|.

On en déduit que 1

B(x) admet un développement en série entière de rayon R≥min{|αi|}.

Si R>|α1|, alors la fonction z7→F(z)serait continue sur la boule de centre 0 et de rayon r= |α1|+R (même démonstration que pour le segment]−R,R[) ce qui est manifestement faux pour z=α1.2 Remarque. — Nous avons en fait utilisé un résultat à peine plus difficile à démontrer qu’une série entière est continue (comme fonction de C) sur la boule ouverte de rayon R.

4 Fonctions génératrices

À une suite (an), on associe la série f(x) =∑a_nxⁿ. Si cette série a un rayon de convergence conve- nable, on peut déduire de ses propriétés, des propriétés de la suite(an).

Exemples

1. la suite a_k= ⁿ_k

, a pour fonction génératrice(1+x)ⁿ. 2. La suite a_k= (−1)^{k n}_k

, a pour fonction génératrice(1−x)ⁿ.

3. La suite du nombre de k-arrangements avec répétition : a_k^(m) =Card{n₁, . . .,n_m,n₁+n₂+ +nm=k}a pour fonction génératrice 1

(1−x)^m.

En effet, si m=1, a_k =1. Sinon, considérons l’ensemble A^(m)_k ={n₁, . . .,n_m∈IN; n₁+n₂+ +nm=k}. On a clairement la partition

A^(m)_k =A^(m₀ ⁻¹⁾× {k}∪A^(m₁ ⁻¹⁾× {k−1}∪ ···∪A^(m_i ⁻¹⁾× {k−i}∪A^(m_k ⁻¹⁾× {0}. D’où on déduit que a^(m)_k = ∑^k

p=0

1·a^(m_p ⁻¹⁾, soit, en terme de série génératrice

n

∑

a^(m)_k x^k= 1 1−x·

∑

n≥0

a^(m_k ⁻¹⁾x^k= 1 (1−x)^m 4. Nous savons que 1

(1−x)^m = ∑

n≥0

n+m−1 m−1

xⁿ, soit une série de terme général ^n+m_m−⁻₁¹

qui est un polynôme de degré m−1 en n. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré p. P s’écrit de façon unique comme P(n) =∑_i=0^p−1αi n−i

i

. Soit donc ∑

n≥0

P(n)zⁿ=

p−1 i=0∑

αi

(1−x)ⁱ.

4.1 Récurrences linéaires

4.1.1 Exemple

u0=1,u1=−2,un+1=5un−6un−1.

On a alors un+2zⁿ⁺²=5un+1zⁿ⁺²−6unzⁿ⁺², soit en sommant

n

∑

u_nzⁿ=5z

∑

n≥1

u_nzⁿ

!

−6z²

∑

n≥1

u_nzⁿ

! .

Si F(z) = ∑

n≥1

u_nzⁿ, on déduit que F(z)−1+2z=5z(F(z)−1)−6z²F(z),soit

F(z) = 1−7z

(1−2z)(1−3z) = 5

1−2z− 4 1−3z. On déduit alors que an=5·2ⁿ−4·3ⁿ.

4.1.2 Fonction génératrice De façon générale,

Théorème 4.1 (un)n∈IN vérifie une récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si F(z) = ∑

n≥0

u_nzⁿest une fraction rationnelle.

Preuve : Soit u_nune suite vérifiant une récurrence linéaire d’ordre p. On a pour tout n≥0,

∑p

i=0αiu_n+p−i= 0. On déduit en effectuant le produit

∑

αkx^k

!

k

∑

u_kx^k

!

=

∑

n≥0

∑

αiu_n−i

!

xⁿ (2)

=

p−1 n=0

∑

∑

αiu_n−i

!

xⁿ+

∑

n≥0

∑

αiu_n+p−i

!

x^n+p (3)

=

p−1 n=0

∑

(

∑

αiu_n−i)xⁿ=A(x). (4)

On déduit alors que F(x) = A(x) B(x)

Remarque. — Si la récurrence linéaire n’est satisfaite qu’à partir du rang k≥p, c’est-à-dire pour tout n≥k−p,

∑p

i=0αiu_n+p−i=0, on obtient également une fraction rationnelle

∑

αkx^k

!

k

∑

u_kx^k

!

=

k−1 n=0

∑

(

∑

αiu_n−i)xⁿ, (5)

mais le numérateur sera de degré éventuellement plus élevé.

4.1.3 Résolution

Si (un) vérifie une récurrence linéaire à coefficient constants, sans second membre, nous venons de voir que F(x) = A(x)

B(x).