Séries entières __________

Séries entières

__________

1. Convergence d’une série entière.

2. Exemples.

3. Opérations algébriques.

4. Propriétés de la somme dans le disque ouvert de convergence.

5. Propriétés de la somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

6. Étude de la somme près du cercle d’incertitude.

7. Fonctions développables en série entière de variable complexe.

8. Fonctions développables en série entière de variable réelle.

Pierre-Jean Hormière ____________

La théorie des séries entières a été fondée par le norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829), dans son Mémoire sur la série du binôme paru au Journal de Crelle en 1826. Avant lui, toutes les fonctions étaient considérées comme développables en série entière, et donc continues, dérivables, etc.

C’est Abel qui le premier a entrepris d’établir rigoureusement les propriétés des sommes de séries entières, démontrant à leur propos le lemme d’Abel, et en déduisant ce que nous appelons la convergence uniforme de la série, puis le théorème de la limite radiale.

Les séries entières sont le point de départ de la théorie des fonctions analytiques de variables complexes et réelles. Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes et des fractions rationnelles d’une part, et celles des fonctions différentiables d’autre part. Entre géométrie algébrique et géométrie différen-tielle, elles sont les ingrédients d’une troisième géométrie, la géométrie analytique. Cependant, lorsque la variable est complexe, le programme de taupe s’arrête à la continuité de la somme à l’intérieur du disque ouvert de convergence. J’ai respecté ce choix dans l’ensemble, rejetant dans des problèmes placés en annexe une introduction plus approfondie aux fonctions analytiques et holomorphes, ainsi qu’une introduction au logarithme complexe.

Ce chapitre est au confluent du chapitre sur les séries entières formelles et du chapitre sur les séries de fonctions. Dans cet exposé, il est entendu que z désigne une variable complexe, x une variable réelle.

1. Convergence d’une série entière.

Définition : On appelle série entière une série de fonctions de la forme

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a , où (a_n) est une suite complexe, et z une variable complexe.

Le terme général d’une série entière est donc de la forme u_n(z) = a_n.zⁿ : c’est un monôme.

Proposition 1 : Le domaine de convergence absolue d’une série entière est un disque de centre 0, ouvert ou fermé, de rayon R ∈ [0, +∞]. R s’appelle le rayon de convergence de la série.

Preuve : Soit I = { r ≥ 0 ;

∑

^{a .n rn< +∞ }.}

I est une partie de R⁺ vérifiant clairement 0 ∈ I et ( r ∈ I , 0 ≤ r’ ≤ r ) ⇒ r’∈ I . Il en découle que I est un intervalle de la forme [0, R), où R = sup I ∈ [0, +∞].

Soit D = { z ∈ C ;

∑

^{a ..n zn< +}∞ }. On a aussitôt z ∈ D ⇔ |z| ∈ I ; cqfd.

Proposition 2 : lemme d’Abel. Soit z₀∈ C* tel que la suite (a_n.z₀ⁿ) soit bornée.

Alors la série

∑

^{a .nzn} est absolument convergente pour tout z tel que |z| < |z₀|, …

… et normalement convergente dans tout disque |z| ≤ r < |z0|.

Preuve : Supposons | a_n.z₀ⁿ | ≤ B.

• Soit z tel que |z| < |z₀|. Alors | a_n.zⁿ | = | a_n.z₀ⁿ |.

|

z0

z

|

ⁿ ≤ B.

|

z0

z

|

ⁿ .

La série géométrique de terme général | z/z₀ |ⁿ converge. Donc

∑

^an.znconverge absolument.

• Soit z tel que |z| ≤ r < |z₀|. Alors | a_n.zⁿ | = | a_n.z₀ⁿ |.

|

z0

z

|

ⁿ ≤ B.

|

z0

z

|

ⁿ ≤ B.( z0

r )ⁿ. cqfd…

Proposition 3 : Soit

∑

^an.zn une série entière de rayon de convergence R.

i) Pour tout |z| > R, la série

∑

^an.zn diverge ; mieux, son terme général est non borné.

ii) Pour tout |z| < R, la série

∑

^an.znest absolument convergente ; elle est de plus normalement convergente dans tout « disque de sûreté » |z| ≤ r , où 0 ≤ r < R.

Conséquence : Le domaine de convergence simple de la série est compris entre le disque ouvert D(0, R) et le disque fermé ∆(0, R). C’est pourquoi le cercle |z| = R est appelé cercle d’incertitude. Seule une étude concrète permet de préciser ce qui se passe sur ce cercle ; nous reviendrons sur ce point dans les exemples du § 2 et dans le § 6.

Comment déterminer le rayon de convergence R d’une série entière ?

1) Un recours aux définitions permet toujours de le déterminer, à l’aide des deux règles :

− Pour tout z₀ tel que ( a_n.z₀ⁿ ) soit bornée, alors |z₀| ≤ R ;

− Pour tout z₁ tel que ( a_n.z₁ⁿ ) soit non bornée, alors R ≤ |z1|.

2) Règle de d’Alembert : Si a_n≠ 0 à partir d’un certain rang, et si

|

n n

a

a +1

|

→ L ∈ [0, +∞], alors R = L

1 ( avec la convention 1/0 = +∞ et 1/+∞ = 0 ).

3) La règle de d’Alembert s’applique dans le cas où a_n ≠ 0 àpcr et où (an) est une suite régulière.

Lorsqu’une infinité de a_nsont nuls, on pourra recourir au 1) ou au critère de d’Alembert numérique.

Lorsque la suite (a_n) est oscillante, on pourra utiliser un argument de comparaison, fondé sur les

Soient

∑

^{a .nzn et}

∑

^{b .nzn} deux séries entières de rayons respectifs R_a et R_b. • Si (∀n) |an| ≤ |bn| , alors R_a ≥ Rb; cela reste vrai si |a_n| ≤ |bn| àpcr.

• Si a_n = O(b_n) , alors R_a≥ R_b.

• Si les suites (an) et (b_n) sont semblables, et a fortiori équivalentes, R_a = R_b. Compléments :

Exercice 1 : Règle de Cauchy.

1) Montrer que, si la suite (ⁿ an ) a une limite L ∈ [0, +∞], alors R = L 1 _. 2) Montrer que l’on a

|

n n

a

a+1

|

→ L ⇒ ⁿ an _→ L , la réciproque étant fausse.

Ainsi, la règle de Cauchy est plus générale que celle de d’Alembert.

3) Application : rayon de convergence de la série ^{n n}

n

n) .z 1 1

( ^²

1

∑

^+∞

=

+ . Exercice 2 : Formule de Cauchy-Hadamard (1821-1892)¹.

Montrer que, dans tous les cas, si L = limsup ⁿ an , alors R = L 1 _.

[Rappelons que limsup u_n = inf_n sup_p≥n u_p ; c’est aussi la plus grand valeur d’adhérence de (u_n).]

Application : Rayon de convergence de la série ⁿ

n

n

n z

e .

0 sin

∑

^+∞ .

=

.

2. Exemples de séries entières.

Exemple 1 : Les polynômes P(z) =

∑

= n

k kzk

a

0

. sont, si l’on veut, des séries entières de rayon de convergence infini. Ici, point de règle de d’Alembert !

Exemple 2 : l’exponentielle

∑

^+∞

=0 !

n n

n z .

n n

a a +1 =

1 1+

n → 0, donc R = +∞. Cette série est définie dans C, et normalement convergente dans tout disque |z| ≤ A. Mais elle n’est pas uniformément convergente dans R, car exp x −

∑

= n

k k

k x

0 ! n’est pas bornée sur R, en raison des limites en ±∞. Plus généralement, elle ne converge uniformément sur aucune région non bornée A de C. En effet, si tel était le cas, on aurait : ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ∀z ∈ A

|

)!

1 (

1

+

+

n zⁿ

|

≤ ε : impossible ! Exemple 3 : la série géométrique

∑

^+∞

=0 n

zn . Les sommes partielles se calculent

∑

= n

k

zk 0

= z

zⁿ

−

− ⁺ 1

1 ¹

pour z ≠ 1 , n + 1 pour z = 1.

La série converge pour |z| < 1 et a pour somme

−z 1

1 . Elle diverge grossièrement sinon. Le rayon est 1.

La convergence est normale sur tout |z| ≤ r < 1, mais n’est uniforme sur aucun domaine D dont l’adhérence rencontre le cercle unité.

1 Selon Knopp, cette formule générale figurait dans le cours d’Analyse algébrique de Cauchy (1821), mais resta ignorée, jusqu’à ce qu’Hadamard la redécouvre en 1892 et lui trouve d’importantes applications.

Exemple 4 : la série

∑

^+∞

=1 ²

n n

n z .

n n

a

a₊₁→ 1, donc R = 1. De plus, comme

∑

^+∞

=1 ² 1

n n converge, il y a convergence normale de la série sur le disque fermé |z| ≤ 1. La fonction f(z) =

∑

^+∞

=1 ²

n n

n

z est définie et continue sur ce disque.

Exemple 5 : la série

∑

^+∞

=1 n

n

n z .

n n

a

a₊₁ → 1 , donc R = 1.

∑

^+∞

=1

1

n n diverge, donc il n’y a pas convergence absolue sur le cercle unité.

Montrons que la série converge si |z| = 1 et z ≠ 1. Pour cela utilisons une transformation d’Abel.

Soit |z| ≤ 1, z ≠ 1. Posons Vn = 1 + z + … + zⁿ = z zⁿ

−

− ⁺ 1

1 ¹

.

∑

= n

k k

k z

1

=

∑

=

− − n

k

k k

k V V

1

1 =

∑

= n

k k

k V

1

−

∑

= n − k

k

k V

1

1 =

∑

= n

k k

k V

1

−

∑

⁻

= +

1

0 1

n

k k

k V

= n Vn −

1 V0 ₋

∑

⁻

= 1

1 n

k

V {k

k 1 ₋

1 1+

k ^{} =} n−1

Vn − 1 −

∑

⁻

= +

1

1 ( 1)

n

k k

k k

V .

Comme (V_n) est bornée, ( n

Vn ) tend vers 0, et

∑

⁻

= +

1

1 ( 1)

n

k k

k k

V est somme partielle d’une série absolument convergente. De plus, la série converge uniformément sur toute galette entamée |z| ≤ 1, |1 − z| ≥ r > 0. En effet, on a alors |V_n| ≤

r

2, de sorte que ( n

Vn ) tend uniformément vers 0, et

∑

⁻

= +

1

1 ( 1)

n

k k

k k

V est somme partielle d’une série normalement convergente.

Conclusion :

∑

^+∞

=1 n

n

n

z est définie et continue dans le domaine D = { z ; |z| ≤ 1, z ≠ 1 }.

Si x ∈ [−1, 1[, on sait que

∑

^+∞

=1 n

n

n x

= − ln(1 − x). Nous calculerons la série pour |z| ≤ 1, z ≠ 1 au § 6.2.

Exemple 6 : (généralisation) les séries

∑

^+∞

=1 n

n

n z

α , α∈ R, Ces séries ont toutes 1 pour rayon de convergence.

• Pour α > 1, il y a convergence normale sur |z| ≤ 1.

• Pour 0 < α ≤ 1, il y a convergence absolue dans |z| < 1, semi-convergence pour |z| = 1, z ≠ 1 ; la somme est continue dans le domaine D = { z ; |z| ≤ 1, z ≠ 1 } (même preuve que dans l’exemple 4).

• Pour α ≤ 0, il y a convergence absolue dans |z| < 1, divergence grossière ailleurs.

Remarque : On nomme polylogarithmes les fonctions définies par polylog(α, z) =

∑

^+∞

=1 n

n

n z

α , α ∈ R (en fait, leur prolongement analytique).

Exemple 7 : Les séries

∑

^+∞

=0

.

n

n n z

n et

∑

^+∞

=0

!.

n

zn

n (Stieltjes).

Dans les deux cas,

n n

a

a +1 → +∞ : les deux séries ont un rayon de convergence nul. Elles ne sont définies qu’en 0, et ne donnent pas naissance à des séries entières utilisables. Elles ne nous intéressent donc pas. Cependant, elles existent en tant que séries formelles, et on peut se poser à leur sujet des questions dérangeantes, ayant des retombées en analyse.

Exemple 8 : Les séries

∑

^+∞

=0

² n

zn et

∑

^+∞

=0 2 n

n

z .

Il s’agit de séries lacunaires : a_n = 1 si n est un carré (resp. une puissance de 2) , 0 sinon.

La règle de d’Alembert ne s’applique pas, mais on voit que 1 est le rayon de convergence commun.

• Si |z| < 1, on a |z^n²| ≤ |z|ⁿ , resp. |z^{2^n}| ≤ |z|ⁿ , terme général d’une série géométrique convergente.

• Si |z| ≥ 1, il y a divergence grossière des deux séries.

On peut aussi utiliser la règle de d’Alembert numérique : pour z non nul,

|

) (

)

1( z u

z u

n

n+

|

^{= |z|2n+1 tend vers}

0 pour |z| < 1, vers +∞ si |z| > 1.

Exercice : Rayons de convergence des séries entières suivantes : ♣

∑

^+∞

=1

(

n

1 +2

1_{+ … +} n

1_).zn ♦

∑

^+∞

=1

(

n

∫

₀^{ncht.dt).zn ♥}

^∑

^+∞

=1

(

n

∫

_n^{+∞ −e}_t^t.dt).zn ♠

∑

^+∞

=1 n

zn

n⁽⁻¹⁾ⁿ.

♣ ⁿ

n nz a .

1

∑

^+∞

=

, où a_n est le nème chiffre de l’écriture décimale de 7, ou de π. ♦

∑

^+∞

=1 n

sin(n).zⁿ [ Indication : noter que la suite (sin n) diverge. ] ♥

∑

^+∞

=1 n

τ(n).zⁿ ,

∑

^+∞

=1 n

σ(n).zⁿ ,

∑

^+∞

=1 n

ϕ(n).zⁿ ,

où τ(n) est le nombre de diviseurs, σ(n) la somme des diviseurs, ϕ(n) l’indicateur d’Euler de n.

♠

∑

^+∞

=1

n sin(ⁿ

π

2) zⁿ

,

∑

^+∞

=1

n sin(ⁿ

π

3) zⁿ

,

∑

^+∞

=1

n n 2 n[ 2]

zⁿ

− ^. [ Indication : encadrer le sinus sur [0, π/2]. ]

3. Opérations sur les séries entières.

Dans les prop. 1 et 2,

∑

^{a .nznet}

∑

^{b .nzn}désignent des séries entières de rayons resp. R_a et R_b, supposés > 0, et de sommes f(z) et g(z) dans les disques ouverts de convergence.

Proposition 1 : Somme de séries entières.

La série entière

∑

(aⁿ+bⁿ).zⁿ a un rayon de convergence ρ > 0.

On a plus précisément ρ = min(R_a , R_b) si R_a ≠ R_b , et ρ ≥ R_a , si R_a = R_b. et :

∑

^(an+bn).zn= f(z) + g(z) pour |z| < min(R_a , R_b) . Remarques : Si R_a = R_b , on peut avoir ρ > R_a .

Exemple 1 : les séries

∑

_n≥0 zⁿ et

∑

_n≥0−zⁿ : ici R_a = R_b = 1 , ρ = +∞ ;

Exemple 2 : les séries

∑

_n≥0 ( 1 + 2ⁿ ).zⁿ et

∑

_n≥0 ( 1 − 2ⁿ ).zⁿ : ici R_a = R_b = ½ , ρ = 1.

Exercice 1 : Les séries entières

∑

^{a .nzn et}

∑

^{b .nzn}sont dites disjointes si (∀n) a_n.b_n = 0.

Montrer qu’alors

∑

(aⁿ+bⁿ).zⁿ a pour rayon de convergence ρ = min(R_a , R_b) .

Application : Rayon de convergence de

∑

^{a .nzn , où a}n = n si n est pair , 1/n si n est impair.

Proposition 2 : Produit de Cauchy de séries entières.

Sous les mêmes hypothèses, la série entière

∑

^{c .nzn, où c}n =

∑

= +q n p

q pb

a . , a un rayon de convergence ρ≥ min(R_a , R_b), et l’on a :

∑

^{c .nzn}= f(z).g(z) pour |z| < min(R_a , R_b).

Remarque : Même si R_a≠ R_b , on peut avoir ρ > min(R_a , R_b) . Par exemple : 1 − z a pour rayon +∞, et

∑

_n≥0 zⁿ a pour rayon 1 ; leur produit de Cauchy est la série 1 de rayon +∞.

Exercice 2 : On considère les séries

∑

^{a .nznet}

∑

^{b .nzn où :}

a_n = 1/3ⁿ⁺¹ + (−1)ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺¹ et b_n = − 5.2ⁿ⁻¹ pour n ≥ 1, et b₀ = −2.

Rayons de convergence de chacune des séries, puis de leur produit de Cauchy.

Exemple : Si f(z) =

∑

^{a .nzn, et si A}n =

∑

≤

≤k n

ak 0

, je dis que

∑

^{An.zn =} ₁^f₋^(z_z⁾ pour |z| < min(Ra , 1).

Nous allons maintenant résoudre deux problèmes simples :

1) à quelle condition sur ses coefficients une série entière a un rayon de convergence > 0 ? 2) à quelle condition sur ses coefficients une série entière a un rayon de convergence infini ? Les exemples traités au § 2 nous mettent sur la voie.

Proposition 3 : Critère des majorantes géométriques n° 1. On a l’équivalence : i) La série entière

∑

^an.zn a un rayon de convergence R > 0 ;

ii) (∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | a_n | ≤ A.Cⁿ .

Preuve : i) ⇒ ii) Si la série entière

∑

^an.zna un rayon de convergence > 0, il existe z₀ ≠ 0 tel que

∑

^an.z0n converge. La suite (a_n.z₀ⁿ) tend vers 0, donc est bornée. Posant C = 1/|z₀|, on a bien (∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | an| ≤ A.Cⁿ .

ii) ⇒ i) Si (∃C > 0) (∃A ≥ 0) (∀n) | a_n| ≤ A.Cⁿ , alors la suite (a_n.C⁻ⁿ) est bornée, donc la série

∑

^an.zn converge pour |z| < 1/C. Elle a un rayon de convergence R ≥ 1/C > 0

Corollaire : L’ensemble des séries entières formelles

∑

^an.Xnà rayon de convergence > 0 est une sous-algèbre de C[[X]], notée parfois C{X}.

Preuve : Cela se déduit des prop. 1 et 2, mais peut aussi se déduire de la prop. 3.

Proposition 4 : Critère des majorantes géométriques n° 2. On a l’équivalence : i) La série entière

∑

^an.zn a un rayon de convergence infini ;

ii) (∀C > 0) (∃A > 0) (∀n) |a_n| ≤ A.Cⁿ . Preuve : laissée en exercice.

Corollaire : L’ensemble des séries entières formelles

∑

^an.Xn de rayon de convergence infini est une sous-algèbre de C{X}.

Proposition 5 : Inverse d’une série entière.

Soit

∑

^an.znune série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(z), telle que a₀ ≠ 0.

Son inverse formelle

∑

^bn.zna un rayon de convergence R' > 0.

∑

^b.zn

Preuve : Si a₀ ≠ 0, la série formelle A =

∑

^{a .nXn} est inversible d’inverse B, où B =

∑

^{b .nXn a des}

coefficients donnés par : a₀.b₀ = 1 a₀.b₁ + a₁.b₀ = 0 . . . . a₀.b_n + ... + a_n.b₀ = 0 . . . .

Ce système linéaire triangulaire inférieur permet de déterminer les a_n par récurrence : b₀ =

0

1

a ^{, b1 = −} 0 0 1

a b

a et si b₀ , ..., b_n−1 sont connus, b_n = −

0

1

a ^{( a1.bn−1 + ... + an.b0 ).}

Supposons pour simplifier a₀ = 1. Soient C et A ≥ 0 tels que (∀n) |a_n| ≤ A.Cⁿ (prop. 3).

Une récurrence soignée montre que (∀n ≥ 1) |bn| ≤ A.Cⁿ.( A + 1 )ⁿ⁻¹ .

En vertu de la prop. 3,

∑

^{b .nzn}a un rayon de convergence R' > 0. Et l’on conclut via la prop. 2.

Remarques : 1) On ne peut préciser davantage à ce stade le rayon de convergence de

∑

^{b .nzn:}

•

∑

^+∞

=0 n

zn (de rayon 1) a pour inverse formelle 1 − z (de rayon ∞) … et inversement ! •

∑

^+∞

=0 !

n n

n

z a pour inverse

∑

^+∞

=

−

0 !

) (

n n

n

z : toutes deux ont un rayon infini.

•

∑

^+∞

=0 2

)!

2

n (

n

n

z a un rayon infini. Son inverse a un rayon ≤ π/2 : pourquoi ?

2) La prop. 5 s’étend aux quotients

∑ ∑

n n n n

z b

z a

.

. , quand la valuation du dénominateur est inférieure à celle du numérateur.

Exemples : nombres de Bernoulli, nombres d’Euler.

1) e^zz−1 _{= 1 −}

2z ₊ . ²

! 2

1 z

B ₋ 2. ₄

! 4 z

B ₊ 3. ₆

! 6 z

B ₋

… , où les B_n sont les nombres de Bernoulli.

Ils se calculent par division selon les puissances croissantes de z par la série e^z – 1.

Il n’y a que des monômes de degré pair pour k ≥ 2 , car la fonction

−1

ezz _{− 1 +}

2z est paire.

La série du second membre a, à coup sûr, un rayon ≤ 2π : pourquoi ? On peut montrer qu’il vaut 2π. 2) cos1z _{= 1 +} . ²

! 2

1 z

E + ². ⁴

! 4 z

E + ³. ⁶

! 6 z

E − … ,

chz1 _{= 1 −} . ²

! 2

1 z

E + ². ⁴

! 4 z

E ₋ 3. ₆

! 6 z

E _{− … ,} où les E_n sont les nombres d’Euler.

Ils se calculent par division selon les puissances croissantes de z par la série cos z.

Les séries du second membre ont, à coup sûr, un rayon ≤π/2 : pourquoi ? On peut montrer que ce rayon vaut π/2.

3) tan z = z z cossin _{= z +}

3 1_.z³ ₊

152 _.z⁵ ₊

31517 _.z⁷ + … , th z =

chzshz _{= z −} 3 1_.z³ ₊

152 _.z⁵₋

31517 _.z⁷ _{+ …} Les séries du second membre ont, à coup sûr, un rayon ≤π/2. On peut montrer qu’il vaut π/2.

Exercice 3 : Trouver des formules de récurrence reliant les nombres de Bernoulli, puis ceux d’Euler.

Exprimer le développement en série de tan z à l’aide des nombres de Bernoulli.

À ces résultats algébriques, il faudrait adjoindre un théorème relatif à la substitution d’une série dans une autre, lorsqu’elle est possible ; mais cela est hors programme (cf. pb final).

Exercice 4 : Montrer l’équivalence :

n a_n = O(1/n) quand n → +∞ ⇔ le rayon de convergence de

∑

_n≥0 a_n.n!.zⁿ est > 0.

Exercice 5 : Soit

∑

^{a .nzn} une série entière de rayon R > 0. On suppose les a_n≠ 0.

Que dire du rayon de

∑

_n≥0 (1/a_n).zⁿ ?

Exercice 6 : Soient

∑

^{a .nzn et}

∑

^{b .nzn} deux séries entières de rayons R et R’ > 0 . Que dire des rayons de

∑

_n≥0 a_n.b_n.zⁿ , de

∑

_n≥0 (a_n)².zⁿ , et de

∑

_n≥0 (a_n

/

b_n).zⁿ si les b_n sont tous ≠ 0 ?

4. Propriétés de la somme dans le disque ouvert de convergence.

Soit

∑

^{a .nzn} une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(z). On se propose d'étudier les propriétés de f dans le disque ouvert D = { z ; |z| < R }.

Proposition 1 : f est continue dans D.

Preuve : Soit 0 < r < R. La série entière étant normalement convergente dans le disque de sûreté |z| ≤ r, a une somme continue dans ce disque. Soit z₀ ∈ D, r tel que |z₀| < r < R ; f est continue en z₀.

Proposition 2 : développement limité de f en 0.

f a un DL à tous ordres en 0, obtenu par troncature : f(z) =

∑

= n

k k kz a

0

. + O(zⁿ⁺¹) . Preuve : Ecrivons f(z) =

∑

= n

k k kz a

0

. + zⁿ⁺¹.g(z) , où g(z) = a_n+1 + a_n+2.z + a_n+3.z² + … . La série entière définissant g a même rayon de convergence que f ( Pourquoi ? ).

g(z) est donc continue en 0 et a fortiori localement bornée.

Résultats complémentaires.

Lorsque la variable est complexe, le programme de taupe s’arrête à la continuité de f. Les résultats suivants sont donc hors programme... mais néanmoins importants.

1) Zéro isolé.

Proposition 3 : principe du zéro isolé.

Si les coefficients a_n ne sont pas tous nuls, ∃r ∈ ]0, R[ 0 < |z| < R ⇒ f(z) ≠ 0 . Autrement dit, si 0 est un zéro de f, c’est un zéro isolé.

Corollaire : unicité de la représentation en série entière.

Soient

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a et

∑

^+∞

=0

.

n nzn

b deux séries entières de rayons de convergence > 0 telles que :

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a =

∑

^+∞

=0

.

n nzn

b dans un voisinage de 0. Alors (∀n) an = b_n. Exercice 1 : Si l’on a (

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a ).(

∑

^+∞

=0

.

n nzn

b ) = 0 dans un V(0), l’une des deux séries est la série nulle.

L’unicité de la représentation en série entière va également découler des compléments suivants : 2) Dérivation complexe.

Proposition 4 : C-dérivabilité de la somme.

1) La série entière ¹

1

. ⁻

+∞

∑

= ⁿ n

nz

na a même rayon de convergence que ⁿ

n nz a .

0

∑

^+∞

=

. 2) Sa somme g(z) est la C-dérivée de f dans D, en ce sens que :

(∀z₀ ∈ D) limz→z0,z ≠ z0

0 0) ( ) (

z z

z f z f

−−

= f'(z₀).

Preuve : 1) Notons R’ le rayon de convergence de la série entière ¹

1

. ⁻

+∞

∑

= ⁿ n

nz na .

Si |z| < R’, la suite (na_nzⁿ⁻¹) est bornée, donc (a_nzⁿ) est bornée, et |z| ≤ R. Par conséquent R’ ≤ R.

Réciproquement, soit |z| < R ; choisissons r tel que |z| < r < R.

La suite (n(z / r)ⁿ⁻¹) tend vers 0, donc est bornée : n |z / r|ⁿ⁻¹ ≤ B.

Par conséquent, | na_n zⁿ⁻¹ |_≤ B.|a_n| rⁿ⁻¹ , suite elle-même bornée. Donc |z| ≤ R’ et R ≤ R’.

2) Soit |z₀| < r < R. Ecrivons : f(z) – f(z₀) = ( z – z₀ )

∑

^+∞

=

−

−

−

−+ + + +

1

0 1 0 2 0 2

1 ... )

(

n

n n n

n zn z z z z z

a .

∑

^+∞

=

−

−

−

−+ + + +

1

0 1 0 2 0 2

1 ... )

(

n

n n n

n zn z z z z z

a n’est pas une série entière, mais une série de polynômes.

Cette série est normalement convergente dans le disque |z| ≤ r, donc sa somme est continue dans ce disque, et en particulier en z₀.

Donc : lim_z→z0

∑

^+∞

=

−

−

−

−+ + + +

1

0 1 0 2 0 2

1 ... )

(

n

n n n

n zn z z z z z

a = 0 ¹

1

. ⁻

+∞

∑

= ⁿ n

nz

na , et l’on conclut aussitôt.

Corollaire 1 : f est indéfiniment C-dérivable dans D et ses C-dérivées s’obtiennent par dérivations terme à terme de la série ⁿ

n nz a .

0

∑

^+∞

=

: f^(k)(z) =

∑

^+∞

=k n

ann(n − 1) ... (n − k + 1).z^n−k =

∑

^+∞

= +

0 n

k

an (n + k).(n + k − 1) ... (n + 1).zⁿ . Corollaire 2 : expression différentielle des coefficients (MacLaurin) (∀n ∈ N) a_n =

! ) 0

)(

(

n f ⁿ

. Cette expression différentielle des coefficients est peu pratique, vu les mauvaises propriétés de la dérivation, mais elle permet néanmoins de retrouver le corollaire de la prop. 3.

3) Intégration complexe de Cauchy.

Définition : Soit γ : t ∈ [0, 1] →γ(t) ∈ D(0, R) un arc paramétré de classe C¹ tracé dans le disque ouvert de convergence. On appelle intégrale curviligne de f le long de γ , et on note :

∫

_γ f(z).dz =

∫

₀^1f(

^γ

^(t)).

^γ

^'(t).dt.

Proposition 5 : La série entière

∑

^+∞

=0 n

an

1

1

+

+

n zⁿ

a pour rayon de convergence R.

Si h(z) est sa somme, on a

∫

_γ f(z).dz = h(z₁) − h(z₀) , où z₀ = γ(0) et z₁ = γ(1) sont les extrémités de γ.

Il en résulte que

∫

_γ f(z).dz ne dépend que des extrémités de γ. Par suite :

Corollaire : Si γ est un lacet tracé dans D(0, R) ( i.e. γ(0) = γ(1) ), alors

∫

_γ f(z).dz = 0.

Remarque : Ce dernier résultat découle aussi de Riemann-Green : f(z).dz = f(z).(dx + i.dy) = P(x, y).dx + Q(x, y).dy. D’où ( yx, )

x

∂Q

∂ = i.f’(z) = ( yx, ) y

∂P

∂ _. Ces résultats s’étendent sans peine aux arcs continus et de classe C¹ par morceaux.

Proposition 6 : expression intégrale des coefficients.

(∀n ∈ N) (∀r ∈ ]0, R[) a_n = _n r . 2

π

1 ^{. 2πf(r.eiθ).e inθ.d}

θ

∫

0 ^{− .}

Preuve : Fixons r ∈ ]0, R[ et considérons la série trigonométrique : θ → f(r.e^iθ) =

∑

_{k≥0 ak.r}^k_.e^ikθ_.

Elle est normalement convergente, ainsi que f(r.e^iθ).e^−inθ. Une intégration terme à terme sur [0, 2π]

donne le résultat. Au fond, f(r.e^iθ) =

∑

_k≥0 a_k.r^k.e^ikθ est la série de Fourier de sa somme.

Remarque : Cette expression intégrale est très souple, et permettrait de pousser plus avant la théorie (cf pb sur le sujet). En particulier, si l’on veut un équivalent de (a_n) , on peut utiliser la méthode de Laplace. Cela est déjà intéressant si f est un polynôme.

Exercice 2 : Exprimer sous forme intégrale le coefficient a_n du terme en xⁿ du polynôme (1 + x + x²)ⁿ. En trouver un équivalent et un développement asymptotique (Laplace).

Exercice 3 : Soit D = { z ∈ C ; |z| < 1 }, f une fonction continue D _→ C, et qui est somme d’une série entière dans D : (∀z ∈ D) f(z) =

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a . 1) Montrer que, pour tout r ∈ ]0, 1[

∑

^+∞

=0

². 2 n

n r n

a = ²¹

π

^{. 2π f(r.eiθ).²d}

θ

∫

0 ^.

2) En déduire que

∑

^+∞

=0

²

n

an < +∞ et que

∑

^+∞

=0

²

n

an = ²¹

π

^{. 2π f(eiθ).²d}

θ

∫

0 ^.

3) Que dire de f si f(z) = 0 pour tout z tel que |z| = 1 ?

Exercice 4 : Soient D = { z ∈ C ; |z| < 1 }, FFFF l’ensemble des fonctions continues f : D _→ C, et qui sont de plus somme d’une série entière sur D : (∀z ∈ D) f(z) =

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a . 1) Montrer que (∀f ∈FFFF_{) an =}

π

2

1 ^{2πf(eiθ).e inθ.d}

θ

∫

0 ^{− .}

2) Montrer que FFFF , muni de la norme uniforme, est complet.

3) Montrer que l’espace vectoriel des polynômes est dense dans FFFF _.

5. Propriétés de la somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

Dans ce §, nous supposons la variable réelle. Soit

∑

^{a .nxn}une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme f(x). On se propose d’étudier les propriétés de f dans l’intervalle ouvert ]−R, R[.

Il suffirait certes d’appliquer les résultats précédents, mais ceux-ci sont hors programme.

Proposition 1 : 1) La série entière ¹

0

.

. ⁻

+∞

∑

= ⁿ n

nx a

n a même rayon de convergence que ⁿ

n nx a .

0

∑

^+∞

=

. 2) f est de classe C¹ dans ]−R, R[ , et : f'(x) =

∑

^+∞

= + +

1

1. ).

1 (

n

n xn

a

n .

3) f est indéfiniment dérivable dans ]−R, R[, ses dérivées s’obtenant par dérivation terme à terme : f^(k)(x) =

∑

^+∞

=k n

ann(n − 1) ... (n − k + 1).x^n−k =

∑

^+∞

= +

0 n

k

an .(n + k).(n + k − 1) ... ( n + 1).xⁿ . Preuve : 1) repose sur un lemme plus général :

Lemme : Pour tout α, les séries

∑

_n≥0 a_n.xⁿ et

∑

_n≥1 n^α.a_n.xⁿ ont même rayon de convergence.

Quitte à échanger les deux séries, on peut supposer α > 0. Notons R et R’ les rayons respectifs.

Comme | a_n.xⁿ | ≤ n^α | a_n.xⁿ | l’absolue convergence de la seconde série implique celle de la première, d’où R’ ≤ R. Si R = 0, R = R’ = 0. Sinon, soit 0 < x < R, et x < r < R. On a n^α.| a_n.xⁿ | ≤ | an.rⁿ | àpcr.

Comme

∑

_n≥0 |a_n.rⁿ| converge,

∑

_n≥0 n^α.|a_n.xⁿ| converge. Ainsi, R ≤ R’. cqfd.

2) Les deux séries

∑

_n≥0 a_n.xn et

∑

_n≥0 (n + 1).a_n+1.xn convergent uniformément sur tout segment inclus dans dans ]−R, R[ . Le théorème de dérivation terme à terme des séries conclut.

3) S’en déduit par récurrence.

Corollaire : expression différentielle des coefficients (Mac-Laurin) (∀n ∈ N) an =

! ) 0

)(

(

n f ⁿ

. 6. Étude de la somme près du cercle d’incertitude.²

Incertitude, ô mes délices, Vous et moi nous nous en allons Comme s'en vont les écrevisses, À reculons, à reculons.

Guillaume Apollinaire, Le bestiaire Soit

∑

^{a .nzn}une série entière de rayon R > 0, de somme f(z). Nous nous proposons d’étudier la série sur le cercle d’incertitude Γ = { z ; |z| = R } lorsque R est fini, ou au voisinage de ce cercle dans tous les cas. Cependant, ces résultats, étant hors programme, sont présentés en exercices.

Lorsque R est fini, on peut toujours, à homothétie près, se ramener à R = 1. Etudier la convergence de la série

∑

^{a .nzn} pour z ∈ Γ , c’est étudier la convergence de la série trigonométrique

∑

_n≥0 a_n.Rⁿ.e^inθ pour θ réel. Vaste sujet !… Il peut y avoir convergence absolue en tout point de Γ (il y a alors convergence normale sur le disque |z| ≤ R et il est inutile de recourir à la limite radiale d’Abel), ou convergence simple en certains points de Γ, voire aucun. L’outil est la transformation d’Abel :

2 Les § 6.1 et 6.2 sont à réserver à une seconde lecture.

Proposition : Soit

∑

_n≥0 a_n.v_n une série à éléments dans C.

• Si Vn =

∑

= n

k

vk 0

, on a :

∑

= n

k k kv a

0

. = a_n.V_n −

∑

⁻

=¹ +−

0

1 ).

(

n

k

k k

k a V

a (1)

• Si Vp,q =

∑

= q

p k

vk , on a :

∑

= q

p k

k kv

a . = a_q.V_p,q −

∑

⁻

=¹( +1− ). , q

p k

k p k

k a V

a (2)

6.1. Étude d’une série entière sur le cercle d’incertitude.

Exercice 1 : Soit

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a une série entière de rayon de convergence R fini.

Montrer que l’ensemble C = { z ∈ Γ ;

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a converge } est un FFFF_{σδ de Γ.}

[ Indication : montrer que C =

I U I U

1 1

≥ ≥ ≥ ≥

k n p n q n

{ z ∈Γ ; | a_p.z^p + … + a_q.z^q |_≤ k 1_}.

]

Exercice 2 : Montrer que si la série

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a diverge en z₀ ∈ Γ, elle ne converge uniformément sur aucune partie de |z| ≤ R admettant z₀ comme point d’accumulation.

Les exercices suivants montrent différents types de comportement sur le cercle d’incertitude.

Exercice 3 : 1) Domaine de convergence de la série entière

∑

≥1 n

n

n z ?

2) Montrer que, pour toute partie finie non vide F du cercle trigonométrique U, il existe une série entière convergente en tout point de U−F , divergente en tout point de F.

Exercice 4 : On considère la série entière

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a , où : a_n =

p

1 _{si n = 3}^p _{, a}

n = − p

1 si n = 2.3^p (p ≥ 1) , a_n = 0 sinon.

Montrer qu’elle a 1 pour rayon de convergence, et que les ensembles C et U−C sont denses dans U.

[

Indication : Considérer les points exp(iπ. _ba 3

2 ) et exp(iπ. a_b 3

1

2 + _{) , où a ∈ Z , b ∈ N*.}

]

Exercice 5 : On considère la série entière

∑

^+∞

=2

. ! n

nzn

a , où a_n−1 =

[

n n

ln

]

. _n

n

i n 2 ( 1)

) 1 (

− + −

π ^. 1) Rayon de convergence de la série ?

2) Montrer que pour z = exp(2iπθ) , θ∈ Q , la série diverge.

3) Montrer que pour z = exp(2iπ/e) , la série converge.

4) En déduire que les ensembles C et U−C sont denses dans U.

Exercice 6 : Rayon de convergence de la série

∑

_n≥1 z^[√n]/n ? Montrer que cette série converge en tout point de U (distinguer les cas z = 1, z ≠ 1), mais ne converge absolument en aucun point de U.

Exercice 7 : Une série de Pringsheim.

Soit la série entière

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a , où a₁ = 1, a₂ = − 2 1 _{, et a}

n = n n

m

ln .

) (−1

où m = [ log2 n ] , si n ≥ 3.

1) Pour m ≥ 1, on pose c_m =

∑

⁻

=

+ 1 2

2

1

ln .

1

m

n m n n^.