———————————–
Variable complexe
———————————–
Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie
Exercices Bruno Deschamps
I.— Séries entières.
Exercice.—Donner le rayon de convergence de la sérieX
anznlorsque a)anelen-ème chiffre de l’écriture décimale deπ.
b)anele nombre de chiffre de l’écriture décimale den.
c)anele nombre de diviseurs den d)an=
Z1 0
tne−tdt.
Exercice.—Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :
/X zn
√
n/X n!
2n!zn/X
(lnn)zn/X
(2 +in)zn/X(1 +i)n
n2n z3n/X
ln(1 + sin 1/n)zn/X a
√ nzn.
Exercice.—Soit (λn)n une suite complexe. Montrer que les séries entièresX
λnzn etX n
n2+n−2λnzn ont même rayon de convergence.
Exercice.—On considère une série entièreX
anznde rayon de convergencer.
a) Montrer que sir >0 alors la série entièreXan
n!zna pour rayon de convergence +∞.Que peut-on dire de rsiXan
n!zna un rayon de convergence fini ? b) Montrer que la série entièreX an
1 +|an|zna pour rayon de convergence max(1, r).
c)Quel ele rayon de convergence de la sérieX
|an|αznoùαdésigne un réel ? d) Montrer que le rayon de convergenceRde la sérieX
(a0+· · ·+an)znvérifie inf(1, r)≤R≤r
Exercice.—On considère deux séries entièresX
anzn etX
bnznde rayons de convergence respeifsr1
etr2. Montrer que le rayon de convergenceRde la série entièreX
anbnznvérifieR≥r1r2. A-t-on toujours égalité ?
Exercice.—Trouver l’unique série entière solution de l’équation différentielle x(4−x)y0−(x+ 2)y=−2
et déterminer son rayon de convergence. En déduire la valeur deX
n≥0
1 C2nn .
Exercice.—a) (Formule sommatoire d’Abel) Soit (an)n et (bn)n deux suites complexes. Pour tout entier n≥0, on poseAn=
Xn
k=0
ak. Montrer que pour toutn≥1, on a
n
X
k=0
akbk=
n−1
X
k=0
Ak(bk−bk+1) +Anbn
b) Avec les notations précédentes, montrer que si la suite (An)nebornée, que lim
n bn= 0 et queX
bn−bn+1 eabsolument convergente alors la sérieX
anbnconverge.
c) En déduire que si (λn)n e une suite réelle décroissante vers 0 alors pour tout θ ∈ R−2πZ la série Xeinθλnconverge.
d) Soit (λn)n e une suite réelle décroissante vers 0 telle que X
λn diverge. Montrer que le rayon de convergence de la sérieX
λnzne1 et que pour toutz∈C− {1},|z|= 1, la sérieX
λnznconverge. Donner un exemple rentrant dans cette situation.
e) Soitθ ∈R. Montrer que le rayon de convergence de la série entière Xcos(nθ)
n zn vaut 1. Etudier la convergence de cette série sur le cercle de convergence.
f) Même queion pour la série entièreXeiπ2n2 n zn.
Exercice.—(Théorème d’Abel-Dirichlet) SoitS(z) =X
anzn une série entière de rayon de convergence 0 < R < +∞. On suppose qu’il exie |z0| =R tel que X
anzn0 converge. Montrer que la série X anzn converge uniformément sur le segment complexe [0, z0]. En déduire notamment que lim
t→1−S(tz0) =S(z0).
Exercice.—a) Donner le développement en série entière en 0 des fonionsz7−→ −1
(z+ 1)2 etz7−→ 2 (z+ 1)3. Préciser les rayons de convergence ainsi que les domaines où les séries coincident avec les fonions.
b) Montrer que la fonionf :R−→Rdéfinie par
f(x) = e−1/x2six,0
= 0 six= 0 eC∞mais n’epas développable en série entière en 0.
Exercice.—On considère la fonion de la variable réelle f(x) =X
n≥0
e−nein2x
Montrer quef eC∞surRmais qu’elle n’epas développable en série entière en 0.
II.— Prolongement analytique, principe du maximum, zéros isolés.
Exercice.—Etudier l’exience et l’unicité de fonions analytiques définies au voisinage de 0 et vérifiant pour tout entiern≥1 :
a)f 1
n
= 1 n3, b)f
1 n
= 1
2n+ 1, c)f 1
n
=f 1
2n
, d)f 1
n
=e−n, e) f
1 n
≤ 1 2n.
Exercice.—Soitf une fonion analytique sur un domaineD. Montrer que siK⊂Decompaalors f ne possède qu’un nombre fini de zéros surK. Donner un exemple où si l’on suppose jueKborné (resp.
fermé),f possède une infinité de zéros surK.
Exercice.—Soientf , g:D −→Cdeux fonions analytiques sur un domaineD. Montrer que sif g = 0 surDalorsf = 0 oug= 0 surD.
Exercice.—/ Montrer quez7−→Re(z) eune fonion qui n’eholomorphe en aucun point deC.
/ On considère une fonion analytiquef sur un domaineDet la foniong:z7−→Re(f(z)).
a) Montrer que la foniongpossède sur tout compaK⊂D, un maximum absolu.
b) Prouver que sig possède un maximum local surDalorsg econante (on pourra étudier la fonion exp(f)).
c) A-t-on le même résultat pour la fonionz7−→Im(f(z)) ?
Exercice.—On considère une fonion continuef :D(0,1)−→Cqui eanalytique surD(0,1).
/ On suppose quef = 0 surC(0,1).
a) Montrer que, surD(0,1),f ebornée et atteint ses bornes.
b) En déduire quef = 0 surD(0,1).
/ On se donne deux réels 0≤θ1< θ2≤2πet l’on suppose quef(eiθ) = 0 pour toutθ∈[θ1, θ2] (i.e.f = 0 sur l’arc du cercleC(0,1) compris entre les anglesθ1etθ2).
On considère un entierm≥1 tel que 2π/m≤θ2−θ1et l’on poseθ0= 2π/m. On pose alors, pour tout z∈D(0,1),
h(z) =f(eiθ0z)f(e2iθ0z)· · ·f(emiθ0z)
a) Montrer quehe une fonion continue surD(0,1) qui eanalytique surD(0,1). Que vauth(z) pour z∈C(0,1) ?
b) En utilisant l’exercice, montrer alors quef = 0 surD(0,1).
Exercice.—/ On considère une fonion analytiquef :C−→C. Montrer que si lim
|z|→+∞
|f(z)|= 0 alors f = 0.
/ En déduire que siP ∈C[X] eun polynôme non conant alorsP possède au moins une racine dansC (théorème de d’Alembert-Gauss).
Exercice .—a) Soit f une fonion analytique non conante sur un domaine U. On suppose quef possède un minimum local enz0∈U. Montrer quef(z0) = 0.
b) En déduire que sif eune fonion analytique qui ne s’annule pas sur un domaineU alors, pour tout réelR >0 et toutz0∈Utels queD(z0, R)⊂U, la fonionf atteint un maximum et un minimum surD(z0, R) et que ceci sont atteint sur le cercleC(z0, R).
Exercice.—Soitf une fonion analytique surD(0, R). Pour toutr < R, on pose M(r) = sup
|z|≤r
|f(z)|
Montrer que la fonionr7−→M(r) eune application croissante et continue sur [0, R[.Que penser def si Mn’epasriement croissante?
Exercice.—a) Soit f une fonion analytique non conante sur le disqueD(0, R). On suppose qu’il exie 0< r < Rtel que sur le cercle|z|=rla fonionf soit de module conant. Montrer quef possède un zéro dans le disqueD(0, r).
b) Soita1,· · ·, an∈Ctels que max{a1,· · ·, an}<1. On poseU =C− {a1,· · ·, an}et on considère la fonionh définie pourz∈U par
h(z) = Yn
k=1
1−zak z−ak
Montrer queheanalytique surU, queh(z),0 surD(0,1) et que|f(z)|= 1 pour tout|z|= 1. N’e-ce pas contradioire avec la queion a)?
Exercice.—On utilise ici l’exercice précédent pour montrer qu’une fonion entière de module conant sur le cercle unité een fait une fonion monomiale. Soitf :C−→Cune telle fonion.
a) Montrer que le résultat evrai sif(z),0 pour toutz∈D(0,1).
b) On suppose quef s’annule au moins une fois dansD(0,1) et on notea1,· · ·, anles zéros def dansD(0,1) comptés avec multiplicité. Juifier que lesaksont bien en nombre fini.
c) Pour toutz∈C− {a1,· · ·, an}on pose
g(z) =f(z) Yn
k=1
1−zak
z−ak
Montrer que l’on peut prolongergen une fonion entière qui ne s’annule pas dansD(0,1).
d) Montrer quegeconante.
e) En déduire queak= 0 pour toutk= 1,· · ·, n. Prouver finalement quef emonomiale.
Exercice.—Pourm≥1, on considère des fonions analytiquesf1,· · ·, fm:D−→Csur un domaineD.
Montrer que la fonion|f1|2+· · ·+|fm|2econante si et seulement si chaquefi econante.
Montrer que l’on a la même équivalence si l’on remplace|f1|2+· · ·+|fm|2par|f1|+· · ·+|fm|.
Exercice .— / (Lemme de Schwarz) On pose D = D(0,1) et l’on considère une fonion analytique f :D−→Ctelle que
f(0) = 0
∀z∈D,|f(z)|<1
a) Montrer que, pour toutz∈D, on a|f(z)|<|z|(on pourra appliquer l’exercice). En déduire quef0(0)≤1.
b) Montrer que s’il exiez0 ∈D− {0}tel que|f(z0)|=|z0|alors il exiec∈Utel quef(z) =czpour tout z∈D.
/ (Application à l’étude des automorphismes du disque unité). Soitf :D−→Dun automorphisme, c’e- à-dire une bijeion telle quef etf−1soient analytiques.
a) On suppose quef(0) = 0. En considérantf−1, montrer quef(z) =czpour un certainc∈U. b) Soitb∈D. Montrer que la fonion
ϕb:z7−→ z+b 1 +bz
eun automorphisme deD. Identifier sa réciproque et calculerϕb(0).
c) En déduire la forme de tous les automorphismes deD.
Exercice.—SoitDun domaine etf :D−→Dune fonion analytique telle quef◦f =f. Montrer quef esoit conante soit égale à l’identité.
(Ind. On pourra utiliser le théorème de l’application ouverte qui assure que sif n’epas conante alors, pour tout ouvertU ⊂D,f(U) eun ouvert.)
III.— Théorie de Cauchy.
Exercice.—Soitf une fonion holomorphe surD(0,1). Montrer que la fonion g : D(0,1) −→ C
z 7−→ f(z) eholomorphe.
Exercice.—On définit une fonionf :C−→Cen posant ( f(z) = exp(−1/z4) siz,0
f(0) = 0 a) Déterminer le domaine d’holomorphie def.
b) Déterminer les pointsz=x+iy∈Coù les équations de Cauchy sont vérifiées.Qu’en conclure ? Exercice.—SoitF(z) =X
n≥0
anznune série entière convergente pour|z|< R. Pour tout 0< r < Ret 0≤θ≤ 2πon pose :
U(r, θ) =Re(f(reiθ)) V(r, θ) =I m(f(reiθ)) a) Montrer que, pour toutn≥1, on a :
an= 1 πrn
Z2π 0
U(r, θ)e−inθdθ= i πrn
Z2π 0
V(r, θ)e−inθdθ b) En déduire que, sif(0) eréel, on a, pour|z|< r:
f(z) = 1 2π
Z2π 0
U(r, θ)r+ze−iθ r−ze−iθdθ c) On considèref(z) = 1
2+a1z+· · ·+anzn+· · ·une série entière convergente dans le disque|z|<1 telle que Re(f(z))≥0 dans ce disque. Montrer que pour toutn≥1, on a|an| ≤1.
Exercice.—Déterminer les fonions analytiquesf qui vérifient pour toutx, y∈R2:
/Re(f(x+iy)) =x(1 +x) +y2 (1 +x)2+y2.
/Re(f(x+iy)) =ex(xcosy−ysiny).
Exercice.—Trouver toutes les fonionsf(x+iy) =P(x, y) +iQ(x, y) holomorphes surC, vérifiant
∂P
∂x(x, y) =ex((x+ 1) cosy−ysiny)
Exercice.—Soitf une fonion holomorphe dans domaineD. Pour toutz=x+iy∈D, on pose f(x+iy) =P(x, y) +iQ(x, y)
oùP etQsont les seuls fonions de deux variables réelles à valeurs réelles satisfaisant cette égalité. On poseF(x, y) =|f(x+iy)|2. Montrer que l’on a surD:
∂2F
∂x2 +∂2F
∂y2 = 4|f0(z)|2
En déduire qu’il ne peut exier de couple de fonions holomorphes non conantesf etgtel queRe(g(z)) =
|f(z)|.
Exercice.—a) Soitf une fonion analytique sur un domaineUqui contient le demi-plan{z∈C/Im(z)≥ 0}. Montrer que sif ebornée surU et prend des valeurs réelles surR, alorsf econante. (Ind. Con- sidérerf(z).)
b) Soitf une fonion entière, à valeurs réelles surR, et à valeurs imaginaires pures suriR. Montrer que pour toutz∈C,f(−z) =−f(z). (Ind. Commencer par montrer quef(z) =f(z) puis considérerg(z) =−f(−z).) Exercice.—Soienta, b∈C,a,b. Soitf une fonion entière bornée. En calculant
Z
γR
f(z)
(z−a)(z−b)dzoù γR:t∈[0,1]→Re2iπt(R >max(|a|,|b|)), montrer quef econante (théorème de Liouville).
Exercice.—Soientf etgdeux fonions entières telles que, pour toutz∈C,|f(z)| ≤ |g(z)|. En utilisant le théorème de Liouville, montrer quef etgsont proportionnelles.
Exercice.—a) Montrer quez7−→ z
1 +z2 ne possède pas de primitive sur{z∈C/|z|>1}mais en possède une sur{z∈C/|z|<1}.
b) Montrer quez7−→ 1
1 +z2 possède des primitives sur{z∈C/|z|>1}et sur{z∈C/|z|<1}. En possède-t-elle surC− {±i}?
Exercice.—Soit f une fonion entière vérifiant, pour toutz∈C,|f(z)| ≤Me|z| avecM ∈R+. Montrer que|f(0)| ≤Met que, pour toutn≥1,
|f(n)(0)| n! ≤M
e n
n
En déduire que|f(n)(0)|=O(
√ 2πn).
Exercice.—SoitU=C− {iy,|y| ≥1}.
a) Montrer qu’il exie une unique fonion holomorphef surU telle quef(0) = 0 etf0(z) = 1 1 +z2. b) Montrer que cette fonion edéveloppable en série entière en 0.
c) Aurait-on pu remplacerU parC− {±i}dans la queion a)?
Exercice.—Dans le plan affine et euclidien on considère l’ellipseEd’équation cartésienne X2 a2 +Y2
b2 = 1.
a) On considère le lacetγ1:t∈[0,2π]−→acost+ibsint. Montrer qu’il s’agit d’une paramétrisation deE. b) Prouver qu’il exie une unique fonionρ: [0,2π]−→]0,+∞[ telle queγ2:t∈[0,2π]−→ρ(t)eitsoit une paramétrisation deE.
c) Calculer Z
γi
dz
z pouri= 1,2.
d) En déduire les valeurs des intégrales Z2π
0
dt
a2cos2t+b2sin2t et Z 2π
0
sintcost a2cos2t+b2sin2tdt
IV.— Fon ions usuelles.
Exercice.—) Préciser l’ensemble desz∈Ctels que 1 +iz 1−iz∈R−.
) On définitf(z) = 1 2ilog
1 +iz 1−iz
.
a) Déterminer le domaine d’holomorphieU def. b) Montrer que, pour toutz∈U, on a tanf(z) =z.
c) Prouver que, pour tout|z|<1, on af(z) =X
n≥0
(−1)nz2n+1 2n+ 1.
Exercice.—On considère un domaineDsimplement connexe etϕ:D−→Cune fonion analytique.
) On suppose queϕne s’annule pas surD.
a) Montrer que la fonionz7−→ϕ0(z)
ϕ(z) possède une primitive surD.
b) En déduire qu’il exie une fonion analytiqueψ:D−→Ctelle que exp(ψ(z)) =ϕ(z) pour toutz∈D.
) En déduire que, pour tout entierk≥1, et tout pointz0∈D tel queϕ(z0),0, il exie un voisinageU de z0et une fonionf analytique surU tels queϕ=fksurU.
) On suppose queϕ s’annule en un unique pointz0∈D et l’on notek l’ordre de ce zéro. Montrer qu’il exie une fonion analytiquef :D−→Ctelle queϕ(z) =f(z)kpour toutz∈D.
Exercice.—(Dilogarithme) On considère la série entièref(z) =Xzn n2.
a) Déterminer le rayon de convergence R de cette série et montrer qu’elle converge uniformément sur D(0, R). En déduire quef(1) =−2f(−1).
b) Exprimerf0en fonion de fonions usuelles.
c) Montrer qu’il exie une conanteatelle que, si|z|<1 et|z−1|<1, alors f(z) +f(1−z) =a−(logz) log(1−z) c) Montrer quea= (log 2)2+X
n≥1
1
n22n−1 =X
n≥1
1 n2 =π2
6 . Exercice.—En intégrant la fonionf(z) = eiz
z+a (a >0) sur la frontière du carré dont les sommets ont pour affixes : 0, R,(1 +i)R, iR(avecR >0), montrer que
Z+∞ 0
sinx x+adx=
Z+∞ 0
e−ax x2+ 1dx En déduire la valeur de
Z+∞ 0
sinx x dx.
V.— Séries de Laurent, résidus.
Exercice.—Trouver les singularités isolées des fonions suivantes et déterminer le type de leur singu- larité.
a) z
sinz, b) cotanz−1
z, c) 1
z2−1cos πz
z+ 1, d)z(e1/z−1)
Exercice.—Soitf une fonion holomorphe dans un ouvert privé des pointsz1,· · ·, zl qui sont les pôles d’ordrenk≥1 def.Que peut-on dire de la fontionf(z)(z−z1)n1· · ·(z−zl)nl?
Exercice.—Déterminer les développements en séries de Laurent de la fonionf(z) = 1
z2−1 dans B(0,1) = {z∈C/|z|<1}
C(1; 0,2) = {z∈C/0<|z−1|<2} C(−1; 0,2) = {z∈C/0<|z+ 1|<2} C(0; 1,+∞) = {z∈C/1<|z|<+∞}
Exercice.—Trouver les pôles et les résidus correspondant des fonions suivantes a)z7−→ ez2
z2n+1, b)z7−→cotan(πz), c)z7−→ 1 sin(z2). Exercice.—) Montrer que la sérieX
n≥1
1
(z−n)2 définit une fonion méromorphe surCque l’on notera g1(z).
) On considère les fonions
g(z) =g1(z) +g1(−z) + 1 z2 et
f(z) = π
sinπz 2
Montrer quef etg sont méromorphes surC1-périodique. Préciser leurs pôles ainsi que la partie polaire de leur développement en série de Laurent en 0.
) Montrer quef−gse prolonge en une fonion entière bornée.Qu’en déduire?
) En déduire la valeur deX
n≥1
1 n2.
Exercice.—Calculer par la méthode des résidus les intégrales généralisées Z+∞
0
cosax 1 +x2dxet
Z +∞ 0
xsinx 1 +x2dx.
(Ind. On pourra dans les deux cas intégrer une certaines fonion analytique sur le lacetγR=γ0∨γ1 où γ0:t∈[−R, R]7−→tetγ1:t∈[0, π]7−→Reit.)
Exercice.—Calculer Z
γε,R
eiz
z dzoùγε,R=γ0∨γ1∨γ2∨γ3oùγ0:t∈[ε, R]7−→t,γ1:t∈[0, π/2]7−→Reit, γ2:t∈[R, ε]7−→it,γ3:t∈[π/2,0]7−→εeit. En déduire la valeur de
Z +∞ 0
sinx x dx.
![Soit f définie par f(x) = 1°) Montrer que f définit une bijection de l’intervalle ]1, +[ sur un intervalle à préciser. Soit alors g la bijection réciproque de f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)