L58 [V2-VàC] – Développements limités

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Développements limités

58

Prérequis dérivation, fonctions trigonométriques Références [155], [156]

58.1

Introduction

58.1.1 Dérivée

R 58.1 Nous cherchons à approcher, localement, une fonction par un polynôme.

La définition suivante nous rappelle que nous savons déjà le faire en degré1.

Théorème 58.2 Soit I un intervalle, soit f: I → R, et soit x0 un point intérieur à I. On dit que f est dérivable en x0s’il existe un nombre a et une fonction ε vérifiant :

f(x₀+ h) = f(x₀) + ah + hε(h)

oùlimh→0ε(h) = 0.

R 58.3 Ici le polynôme d’approximation est P(h) = ah et le reste est hε(h). Graphiquement, ceci signifie que

l’on approche au voisinage de x0la courbe de f par sa tangente en x0.

58.1.2 Compléments

Définition 58.4 — Classe. _{Soit I un intervalle de R et soit f : I → R. On dit que f est de classe C}n

si f est n fois dérivable sur I et si ses n premières dérivées sont continues sur I.

R 58.5 Dans la définition précédente, n peut prendre la valeur ∞, avec une signification évidente.

Proposition 58.6 Soit P(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x+ a0 un polynôme. Alors P est de classe C∞_{sur R, noté P ∈ C}∞_{(R), et l’on a la formule de Taylor des polynômes :}

P(x) = P (n)₍₀₎ n! x n_{+ · · · + P}0_{(0) + P (0) =}Xn k=0 P(k)(0) k! x k_. Dv

• Démonstration de la proposition 58.6 — Un polynôme est dérivable, et sa dérivée est encore un polynôme. Ainsi tout polynôme est C∞_{. De plus, il est facile de voir que P}(k)_{(0) =}

58.2

Formules de Taylor

58.2.1 Formules de Taylor avec reste intégral

Théorème 58.7 Soit f: [a , b] → R une application de classe Cn+1_{. Alors :}

f(b) = f(a) + (b − a)f0(a) + · · · +(b − a)

n n! f (n)_{(a) +}Z b a (b − t)n n! f (n+1)_{(t) dt.} Dv

•Démonstration du théorème58.7—On procède par récurrence. Si n = 0 alors la formule devient :

f(b) = f(a) + Z b a (b − t)0 0! f(1)(t) dt = f(a) + Z b a f0(t) dt = f(a) + [f(b) − f(a)], et ainsi elle est vérifiée.

Hérédité Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un n donné, et que f soit de classe Cn+2_{. On peut alors intégrer par parties le reste d’ordre n :}

Z b a (b − t)n n! f(n+1)(t) dt =  −(b − t) n+1 n!(n + 1)f(n+1)(t) b a− Z b a − (b − t)n+1 n!(n + 1)f(n+2)(t) dt = (b − a)n+1 (n + 1)! f(n+1)(a) + Z b a (b − t)n+1 (n + 1)! f(n+2)(t) dt. Ainsi, nous obtenons bien la formule de Taylor avec un ordre supplémentaire.

•

Définition 58.8 — Partie principale, reste intégral. Le polynôme

f(a) + (b − a)f0(a) + · · · +(b − a)

n

n! f (n)_(a) est appelé partie principale, et l’intégraleRb

a (b−t)

n

n! f(n+1)(t) dt est appelée reste intégral d’ordre n.

58.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 58.9 Soit f: [a , b] → R une application de classe Cn+1_{, et soit M le maximum de}

  f(n+1)sur[a , b]. Alors :    f(a) − 

f(a) + (b − a)f0(a) + · · · +(b − a)

n n! f (n)_(a) ≤ M(b − a) n+1 (n + 1)! . Dv

58.2 Formules de Taylor 11

•Démonstration du théorème58.9—La formule de Taylor avec reste intégral permet de démarrer :    f(a) − 

f(a) + (b − a)f0(a) + · · · +(b − a)

n n! f(n)(a)    ≤      Z b a (b − t)n n! f(n+1)(t) dt      ≤ Z b a    (b − t) n n!       f(n+1)(t) dt ≤ M_n! Z b a (b − t) n_dt ≤ M_n!  −(b − t) n+1 n+ 1 b a ≤ M_n!(b − a) n+1 n+ 1 ≤ M(b − a) n+1 (n + 1)! .

Ce qui était bien la majoration recherchée. •

R 58.10Cette formule permet de contrôler l’erreur commise lors de l’approximation de f(b) par la partie principale

(polynôme).

58.2.3 Formule de Taylor-Young

Théorème 58.11 Soit I = [α , β] un intervalle de R, soit a un point intérieur à I, et soit f : I → R une application de classe Cn+1_{. Alors :}

f(a + h) = f(a) + f0(a)h + · · · + f(n)(a)h

n

n! + h

n_{ε(h) avec lim}

h→0ε(h) = 0.

Dv

• Démonstration du théorème58.11—On écrit d’abord la formule de Taylor avec reste intégral pour b= a + h :

f(a + h) = f(a) + hf0_{(a) + · · · +}hn

n!f(n)(a) + Z a+h

a

(a + h − t)n

n! f(n+1)(t) dt. Ensuite, on note M le maximum de f(n+1) sur I, et on s’occupe du reste en reprenant la preuve du théorème58.9:      Z a+h a (a + h − t)n n! f(n+1)(t) dt     ≤ M |h|n+1 (n + 1)!. Ceci signifie bien que :

ε(h) := 1 hn



f(a + h) − 

f(a) + f0(a)h + · · · + f(n)(a)h

n

n! 

tend vers0 quand h tend vers 0, puisque |ε(h)| ≤ 1 |h|nM |h|n+1 (n + 1)! = M (n + 1)! |h| . •

R 58.12 Dans cette formule, on ne connaît pas explicitement le reste hnε(h). On sait juste qu’il tend plus vite vers

0 que hn_{, ce qui signifie que si h est petit, ce reste est négligeable.}

Définition 58.13 — Développement limité. Lorsqu’on a écrit une fonction grâce à la formule du théorème58.11, on dit que l’on a effectué un développement limité (DL) de f en a d’ordre n.

R 58.14

1. Le DL d’une fonction est unique.

2. Le ε(h) du reste est une notation générique : il signifie « une fonction qui tend vers 0 lorsque h tend vers0 ». Ce ε ne sera pas forcément le même d’une fonction à l’autre !

3. On veut souvent le DL d’une fonction en0 : la formule du théorème58.11devient alors : f(x) = f(0) + f0_{(0)x + · · · +}f(n)(0)

n! + xnε(x).

58.3

Opérations sur les développements limités

On peut obtenir assez facilement des DL de fonctions en les décomposant. On se contente de traiter des DL en 0.

58.3.1 Somme

Elle se fait naturellement. Par exemple, si

f(x) = 1 + x + 2x2_{− 5x}3+ x3ε(x) et g(x) = −x + x2+ x2ε(x)

alors

f(x) + g(x) = 1 + 3x2+ x2ε(x).

On ne peut obtenir qu’un DL d’ordre le plus faible des deux (ici d’ordre 2, alors que celui de f est d’ordre3).

58.3.2 Produit

Il suffit de multiplier classiquement les deux DL, en mettant dans le reste les termes de degrés supérieurs au plus faible des deux ordres. Prenons un exemple :

f(x) = x + x2+ x2ε(x) et g(x) = 2x + xε(x).

On obtient :

f(x)g(x) = (x + x2+ x2ε(x))(2x + xε(x))

= 2x2_{+ x}2_{ε(x) + 2x}3_{+ x}3_{ε(x) + 2x}3_{ε(x) + x}3_{ε(x)ε(x) = 2x}2_{+ x}2_ε(x). Attention ! Les ε ne sont pas les mêmes ! On ne développe pas les termes de degrés supérieurs à2.

58.4 Développements limités usuels 13

58.3.3 Quotient

Au niveau BTS, cette méthode n’est pas exigible sans indications. Il faut effectuer une division par puissances croissantes des parties principales des deux DL. Voir le DL de la fonction tangente pour un exemple.

58.3.4 Intégration

On intègre terme par terme. Plus précisément, si

f(x) = a₀+ a₁x+ · · · + anxn+ xnε(x)

et si F est une primitive de f, alors

F(x) = F (0) + a0x+ a1x 2 2 + · · · + an xn+1 n+ 1+ x n+1_ε(x).

Voir le DL de la fonction logarithme pour un exemple. La preuve de cette affirmation se fait simple-ment en effectuant le DL de F par la formule de Taylor-Young.

58.3.5 Composition

Au niveau BTS, cette méthode n’est pas exigible sans indications. Pour obtenir un DL de f ◦ g, on substitue le DL de g dans celui de f. Voir la remarque sur (ln ◦ exp) dans le DL de la fonction logarithme pour un exemple.

58.4

Développements limités usuels

Seuls les DL en 0 sont au programme du BTS.

58.4.1 Exponentielle

Commeexp0 _{= exp et e}0 _{= 1, la formule de Taylor-Young donne (pour tout n) :} ex_{= 1 + x +} x2 2! + x3 3! + · · · + xn n! + x n_ε(x). 58.4.2 Logarithme On rappelle que : 1 1 + x = 1 − x + x2− x3+ · · · + (−1)n−1xn−1+ xn−1ε(x). On intègre tout ça et on obtient (en se souvenant queln(1 + 0) = 0) :

ln(1 + x) = x −x₂2 +x3 3 + · · · + (−1)n−1 xn n + x n_ε(x). On remarque que ln " 1 + t+t 2 2! + t3 3!+ · · · + tn n!+ t n_ε(t) !# = · · · = t + tn_ε(t)

en remplaçant x part+t_2!2 +t_3!3 + · · · +_ntn_! + tnε(t)dans la formule précédente (évident carln(et) = t).

58.4.3 Puissance

On peut calculer que :

[(1 + x)α_](n)_{= α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)}α−n_. La formule de Taylor-Young donne :

(1 + x)α_{= 1 + αx + · · · +} α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! x

n_{+ x}n_ε(x).

58.4.4 Fonctions trigonométriques

Les dérivées successives du (co)sinus, sont, soit un sinus, soit un cosinus. La formule de Taylor-Young donne : sin(x) = x −x_3!3 +x_5!5 + · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + x2n+1ε(x), cos(x) = 1 − x_2!2 +x_4!4 + · · · + (−1)n x2n (2n)! + x2nε(x). Remarquons que :

1. en intégrantcos(x), on obtient bien sin(x) ;

2. le DL desin(x) ne comporte que des puissances impaires (le sinus est impair !) ; 3. le DL decos(x) ne comporte que des puissances paires (le cosinus est pair !) ; 4. on retrouve la formule bien connuesin(x) ' x si x est petit ;

5. on pourrait retrouver ces DL à partir des formules d’Euler complexes.

Ensuite, par division euclidienne par puissances croissantes desin(x) et cos(x), on trouve : tan(x) = x + 1₃x3+ 2

15x5+31517 x7+ x8ε(x). Les calculs dans cette formule deviennent vite complexes. . .

58.5

Applications

58.5.1 Position relative de courbes

Les développements limités permettent de déterminer :

— la position relative d’une courbe par rapport à une de ses tangentes ; — la position relative d’une courbe par rapport à une autre.

Exemple 58.15 Soit la fonction f définie pour tout x ∈ ]−1 , +∞[ par : f(x) = x2− 5x + 5 ln(1 + x).

Étudier les positions relatives de Cf et de la parabole P d’équation y = −3₂x2 au voisinage du point

O.

58.6 Pour finir : un exercice de BTS 15 58.5.2 Calcul de limites Exemple 58.16 Calculer : lim x→0+ sin x x2 et x→+∞lim  1 + 1 x x .  Dv •Solution — 1. sin x x2 = x₋x3 6 + o x3
x2 = 1 x− x 6 + o(x) −−−−→x→0+ +∞. 2. _ 1 + 1 x 2 = exln(1+1_x) = ex 1_x−12(x1) 2 +(1 x) 2 ε(x)
_{= e1−}1 2x+1xε(x)

Or, quand x → +∞,x1 → 0. Donc :

 1 + 1 x x = e1−1 2x+x1ε(x)−−−−−→ x→+∞ e 1_{= e.} •

58.6

Pour finir : un exercice de BTS

Soit la fonction f définie sur l’intervalle]0 , +∞[ par

f(x) = (x − 1)2+ 2 ln x.

1. Déterminer, en posant X = x − 1, le développement limité de f(x), d’ordre 3, au voisinage de x= 1.

2. (a) Déterminer, au voisinage de x= 1, une équation de la tangente T à la courbe représenta-tive C de la fonction f au point d’abscisse1.

(b) Etudier la position relative de la courbe C et de la tangente T au voisinage de x= 1. 3. Etudier, la position relative de la courbe C et de la parabole P d’équation :

y= (x − 1)2.

4. Représenter graphiquement la courbe C, la tangente T et la parabole P dans un repère ortho-normal.

Dv

•Correction de l’exercice —

1. En posant X= x − 1, soit x = X + 1, on obtient :

Quand x tend vers1 alors X tend vers 0 et le cours donne, au voisinage de 0, le dévelop-pement limité d’ordre3 suivant :

ln(1 + X) = X −X₂2 +X3 3 + X3ε(X) avec limX→0ε(X) = 0, on en déduit f(x) = g(X) = X2+ 2  X−X 2 2 + X3 3  + 2X3_{ε(X) avec lim} X→0ε(X) = 0 f(x) = g(X) = 2X +2X 3 3 + 2X3ε(X) avec limX→0ε(X) = 0.

On revient à la variable initiale x : f(x) = 2x − 2 +2 3(x − 1)3+ 2(x − 1)3ε0(x − 1) avec limx→1ε 0_{(x − 1) = 0} = 2x − 2 + 2₃(x3_{− 3x}2_{+ 3x − 1) + 2(x − 1)}3_ε0_{(x − 1)} = −8₃+ 4x − 2x2₊2 3x3+ 2(x − 1)3ε0(x − 1) avec limx→1ε 0_{(x − 1) = 0.}

2. (a) Il suffit d’appliquer le cours pour déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse X = 0 : y = 2X, soit, en revenant à la variable initiale :

y= 2x − 2.

(b) Au voisinage de0, étudier la position relative de la courbe représentative de la fonc-tion f et de la tangente à cette courbe en X = 0 revient à étudier le signe du premier terme qui succède à2X dans le développement limité précédent, c’est-à-dire le signe de X3

3 =(x−1)

3

3 . Au voisinage de1,

— la courbe est en dessous de la tangente si x <1 ; — la courbe est au-dessus de la tangente si x >1.

3. Pour déterminer la position relative de la courbe et de la parabole donnée dans le texte, il suffit d’étudier le signe de la différence f(x) − (x − 1)2 _{= 2 ln x. La méthode ici}

est générale et pas seulement au voisinage de1. Même au voisinage de 1, elle serait plus simple que celle d’utiliser le développement limité et permet, peut-être, d’éviter des erreurs de calculs.

— Si x ∈ ]0 , 1[, ln x < 0, la courbe est en dessous de la parabole ; — si x ∈ ]1 , +∞[, ln x > 0, la courbe est au dessus de la parabole ; — si x= 1, ln x = 0, la courbe et la parabole se coupent.

4. On appelle C la courbe représentative de la fonction f, P la parabole et T la tangente à Cau voisinage de x= 1.

58.6 Pour finir : un exercice de BTS 17

C P

T

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