1. a. Il s'agit d'une simple vérication. On développe et ordonne d'abord le crochet de droite, on obtient :

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Corrigé DM 7 29 juin 2019

Problème 1

1. a. Il s'agit d'une simple vérication. On développe et ordonne d'abord le crochet de droite, on obtient :

2(a

²

+ b

²

+ c

²

) − 2(ab + ac + bc) Quand on multiplie par a + b + c , on obtient :

2(a

³

+ b

³

+ c

³

) + 2(ab

²

+ ac

²

+ ba

²

+ bc

²

+ ca

²

+ cb

²

)

− 2(a

²

b + abc + ca

²

+ ab

²

+ b

²

c + abc + abc + bc

²

+ c

²

a)

= 2(a

³

+ b

³

+ c

³

) − 6abc b. Dans la relation précédente, en remplaçant a par a

¹³

, b par b

¹³

, c par c

¹³

, on obtient

(tout est > 0 )

a + b + c = 3(abc)

¹³

+ terme positif avec des puissances 1 3 De même, en remplaçant a par a

⁻¹³

, b par b

⁻¹³

, c par c

⁻¹³

, on obtient

1 a + 1

b + 1

c = 3(abc)

⁻¹³

+ terme positif avec des puissances − 1 3 Cela prouve les inégalités demandées.

2. Les deux inégalités de la question précédentes se reformulent en : 3

1

a

+

¹_b

+

¹_c

≤ (abc)

¹³

≤ a + b + c 3

Il s'agit de la comparaison classique entre moyennes harmonique, géométrique et arith- métique.

Les suites sont bien dénies car chaque nouveau terme est strictement positif ce qui permet la poursuite du processus. La comparaison des moyennes montre par récurrence

que ∀ n ≥ 1 : c

n

≤ b

n

≤ a

n

3. Montrons que (c

n

)

n∈N

et (a

n

)

n∈N

sont adjacentes.

Preuve de la croissance de (c

_n

)

_n∈_N

.

c

n

≤ b

n

≤ a

n

⇒



 



 

 1 a

n

≤ 1

c

n

1 b

n

≤ 1

c

n

⇒ c

n+1

= 3

1 a_n

+

_b¹

n

+

_c¹

n

≥ c

n

Preuve de la décroissance de (a

n

)

n∈N

.

c

n

≤ b

n

≤ a

n

⇒

( c

n

≤ a

n

b

n

≤ a

n

⇒ a

n+1

= a

n

+ b

n

+ c

n

3 ≤ a

n

Majoration de la diérence.

b

n

≤ a

n

⇒ a

n+1

= a

n

+ b

n

+ c

n

3 ≤ 2a

n

+ c

n

3 D'autre part c

n+1

≥ c

n

donc

a

n+1

− c

n+1

≤ 2a

n

+ c

n

3 − c

n

= 2

3 (a

n

− c

n

).

On en déduit que (a

n

− c

n

)

_n∈N

est majorée par une suite géométrique de raison

²₃

< 1 . Elle converge donc vers 0 par le théorème d'encadrement.

Il est alors évident, d'après le théorème d'encadrement encore, que (b

n

)

_n∈N^∗

converge vers la limite commune de (a

n

)

n∈N

et (c

n

)

n∈N

.

4. Le point essentiel dans les deux questions suivantes est la formule a

_n+1

c

_n+1

= a

_n

b

_n

c

_n

(a

_n

+ b

_n

+ c

_n

)

a

n

b

n

+ b

n

c

n

+ c

n

a

n

(1)

a. En particulier, si a

_n

c

_n

= b

²_n

, la formule devient a

n+1

c

n+1

= b

³_n

(a

n

+ b

n

+ c

n

)

a

n

b

n

+ b

n

c

n

+ b

²_n

= b

²_n

Comme tout est positif, lorsque a

₁

c

₁

= b

²₁

on obtient a

₂

c

₂

= b

²₁

= b

²₂

et la relation se propage par récurrence, la suite des b

_n

est alors constante. Les trois suites convergent vers b

1

qui est la moyenne géométrique de a

1

et c

1

.

b. On va montrer que si a

₁

c

₁

< b

²₁

, la suite des b

_n

est décroissante. Remarquons que b

³₂

= a

1

b

1

c

1

< b

³₁

⇒ b

2

< b

1

.

Il s'agit donc de montrer que a

n

c

n

< b

²_n

pour tous les entiers n . La relation (1) peut encore s'écrire a

n+1

c

n+1

= f (a

n

c

n

) avec

f : x → ux

x + v , u = b

_n

(a

_n

+ b

_n

+ c

_n

), v = a

_n

b

_n

+ b

_n

c

_n

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1307C

(2)

MPSI B Année 2013-2014 Corrigé DM 7 29 juin 2019

La fonction f est croissante car elle peut s'écrire f (x) = u − uv

x + v et que tout est strictement positif. Alors :

a

n

c

n

< b

²_n

⇒ a

n+1

c

n+1

= f (a

n

c

n

) < f (b

²_n

) = b

²_n

puis :

b

³_n+1

= a

n+1

b

n+1

c

n+1

< b

³_n

⇒ b

n+1

< b

n

Le raisonnement est analogue lorsque a

1

c

1

> b

²₁

et conduit à une suite décrois- sante.

Problème 2

1. Il s'agit d'une application immédiate des propositions relatives aux opérations sur les fonctions admettant des limites nies.

2. La fonction racine carrée est continue dans R

⁺

. D'après les propriétés de la fonction partie entière, elle est réglée. Les points de discontinuités de f

r

sont les x tels que r √

x soit entier c'est à dire tous les x de la forme

n

²

r

²

avec n ∈ N Pour chaque point de discontinuité, le saut est +1 .

3. La question précédente permet de former les discontinuités de chaque fonction : fonction discontinuités coecient

f

a

2 8 2

f

_b

1 ( √

2 − 1)

²

-1

f

c

1 4 9 -1

On range les points de discontinuité par ordre croissant : 1 < 2 < 4 < 1

( √

2 − 1)

²

< 8 < 9

Entre deux discontinuités, la fonction g est constante. À chaque traversée d'une dis- continuité, la fonction f

r

correspondante augmente de 1. On obtient le graphe de g en partant de l'origine et en reportant les sauts en tenant compte du signe et du coecient (voir gure 1).

1 −1

1 2 4

1 (

√

(2)−1)²

8 9

Fig. 1: graphe de g

4. Par dénition d'une partie entière : r √

x − 1 < f

r

(x) ≤ r √ x

En combinant ces inégalités avec les coecients pour les trois fonctions, il vient : 2(a √

x − 1) − b √ x − c √

x <g(x) < 2a √

x − (b √

x − 1) − (c √ x − 1) (2a − b − c) √

x − 2 <g(x) < (2a − b − c) √ x + 2

Mais 2a − b − c = 0 et g(x) ∈ Z donc − 2 < g(x) < 2 entraîne g(x) ∈ {− 1, 0, 1 }.

5. L'ensemble des points de discontinuité de g est l'union des ensembles de points de discontinuité de f

a

, f

b

, f

c

. Ces ensembles sont (d'après la question 2.) :

2p

²

, p ∈ Z

q

²

3 − 2 √

2 , q ∈ Z

r

²

, r ∈ Z Ils sont deux à deux disjoints car √

2 ,

³₂

− √ 2 et √

2 − 1 sont irrationnels. On peut alors appliquer le résultat de linéarité du saut démontré en question 1. On en déduit qu'en un point de discontinuité de f

a

, le saut est +2 alors qu'en un point de discontinuité de f

_b

ou f

_c

le saut est − 1 .

2

(3)

MPSI B Année 2013-2014 Corrigé DM 7 29 juin 2019

6. Raisonnons en distinguant plusieurs cas et en exploitant le fait que g ne prend que les valeurs − 1 , 0 et 1 avec des sauts +2 ou − 1 et qu'aucun des trois ensembles de discontinité n'est majoré (il existe donc des discontinuités de chaque type après un réel arbitraire) :

Si g(A) = − 1 , le premier saut de discontinuité est forcément +2 . La fonction prend alors la valeur +1 . Le saut suivant est obligatoirement − 1 et la fonction g prend alors la valeur 0 .

Si g(A) = 0, le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur − 1 et on se retrouve dans le cas précédent.

Si g(A) = +1 , le premier saut de discontinuité est forcément − 1 . La fonction prend la valeur 0 et on se retrouve dans le cas précédent.

La fonction g prend donc les trois valeurs sur tout intervalle [A, + ∞ [ .

3