Jeudi 17 septembre 2009.
MATHEMATIQUES. TS1 et TS2.
3h.
CALCULATRICE AUTORISEE.
EXERCICE 1. 6 points
On étudie l’évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois, 20 % des fourmis de la population A passent en B et 30 % des fourmis de la population B passent en A.
On notera u
net v v
nnle nombre de milliers de fourmis le mois n, respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est u
0= 230 milliers, en A et v v
0 0= 180 milliers, en B.
1. Calculer u
1et v v
112. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
u
n+1= 4 5 u
n+ 3
10 v
nv
n+1= 1 5 u
n+ 7
10 v
n3. On pose, pour tout entier naturel n, R
n= u
n+ v v
nnet T
n= −2u
n+ 3v v
nn.
a. Montrer que la suite (R
n) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b. Montrer que la suite (T
n) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
4. A l’aide de la résolution d’un système, en déduire une expression de u
net de v v
nnen fonction de n.
5. Calculer lim
n→+∞u
net lim
n→+∞v v
nn. Interpréter ce résultat.
EXERCICE 2. 7 points
Soit f la fonction définie par f(x) = x
−3 + 4
(x - 1)² .
Soit C
fsa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i
→; j
→) d’unités : 2 cm sur l’axe (O; i
→) et 1 cm sur l’axe (O ; j
→).
1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.
3. Soit D la droite d’équation y = x −3.
a. Montrer que D est asymptote à C
fen −∞ et +∞.
b. Etudier les positions relatives de C
fet D.
c. C
fa−t−elle d’autres asymptotes ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que pour tout x de D
f, la dérivée f ’ de f est du signe de (x - 3) (x - 1) . 5. Etudier les variations de f.
6. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution
αsur son domaine dont on donnera une valeur approchée à 10
−2près.
7. Déterminer une équation de la tangente (T) à C
fau point d’abscisse 2.
8. Construire D, (T) puis C
favec tous les éléments caractéristiques obtenus dans cette étude.
EXERCICE 3. 3 points
Sur feuille jointe… à rendre avec votre copie.
EXERCICE 4. 4 points
u est la suite définie par la donnée de u
0et pour tout entier naturel n : u
n+1= 1,02 u
n+ 500.
v est la suite définie pour tout naturel n par : v
n= u
n+ 25000.
1. Montrer que v est une suite géométrique.
2. En déduire v
nen fonction de v
0et n puis u
nen fonction de u
0et n.
3. Calculer, en fonction de n : S
n= v
0+ v
1+ v
2+ … + v
net S’
n= u
0+ u
1+ u
2+ … + u
nEXERCICE 3.
Compléter le tableau suivant :
Interprétation mathématique Interprétation graphique
x→lim+∞ f(x) = −2
la droite d’équation x = 1 est asymptote à Cf
la tangente à Cf au point A(1 ;2) est parallèle à la droite d’équation y = − x + 1
pour tout x de ]1 ; 3[, f(x) < 0
la droite d’équation y = 1 est asymptote à Cf en −∞
x→3lim- f(x) = −∞
x→+∞lim f(x) − (x − 3) = 0
Cf est située « en dessous » de la droite d’équation y = −x + 2 pour x ∈ [1 ; 6]
Cf intercepte trois fois l’axe des abscisses
f(x) = 3x − 1 + ε(x) avec lim
x→-∞ε(x) = 0
f(x) = 0 quand x = −1 ou x = 3
f ’(2) = 0
Exercice 1.
Chaque mois, 20 % des fourmis de la population A passent en B et 30 % des fourmis de la population B passent en A.
un et vvnn sont les nombres (en milliers) de fourmis le mois n, respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est u0 = 230 milliers, en A et vv00 = 180 milliers, en B.
1. u1 = 0,8 × 230 + 0,3 × 180= 238 ou u1 = 230 −10020 ×230 + 10030 ×180= 238 v
v11 = 0,2 × 230 + 0,7 × 180 = 172 ou vv11 = 180 + 10020 ×230 − 10030 ×180 = 172
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 4 5 un + 310 vn
vn+1 = 1 5 un + 7
10 vn
le mois n, il y a un fourmis dans la fourmilière A et vvnn fourmis dans la fourmilière B
20 % des fourmis de la population A passent en B : il en passe 0,2 un en B et en A, il en reste 0,8 un 30 % des fourmis de la population B passent en A : il en passe 0,3 vvnn en A et en B, il en reste 0,7 vvnn On a donc : un+1 = 0,8 un + 0,3 vvnn = 45un + 103 vvnn et vvn+n+11 = 0,2 un + 0,7 vvnn = 15un + 107 vvnn
3. On pose, pour tout entier naturel n, Rn = un + vvnn et Tn = −−−−2un + 3vvnn .
a. Rn = un + vvnn ddoonncc RRn+n+11 == un+1 + vvnn++11 = =45un + 103 vvnn ++ 15un + 107 vvnn
=
= 55un + 1010vvnn == uunn ++ vvnn == RRnn
la suite (Rn) est constante et ∀ n ∈ IN, Rn = R0 = u0 + vv00 = 410
b. Tn = −2un + 3vvnn ddoonncc TTnn++11 == −2un+1 + 3vvnn++11 == -85un + 10-6vvnn ++ 35un + 2110vvnn
= =− − uunn ++ 32vvnn = ½ (−2un + 3vvnn) ) == ½½ TTnn
la suite (Tn) est géométrique de raison q = ½ et de premier terme T0 = −2×230 + 3×180 = 80 donc Tn = 80( ½ )n 4. En déduire une expression de un et de vvnn en fonction de n.
on obtiendra un et vvnn en résolvant le système :
{
RTnn = u = −2un + vn + 3vvnn vnn2 Rn + Tn = 2un + 2vvnn −2un + 3vvnn = 5 vvnn donc vvnn = 25Rn + 15Tn = 164 + 16( ½ )n 3 Rn − Tn = 3un + 3vvnn + 2un − 3vvnn == 55 uunn ddoonncc uunn == 35Rn − 15Tn = 246 − 16( ½ )n
5. Calculer lim
n→→→+→∞ un et lim
n→→→→+∞ vvnn. Interpréter ce résultat.
quand n → +∞, ( ½ )n → 0 car 0 < ½ < 1 et donc limn→+∞ un = 246 et lim
n→+∞ vvnn = 164
Au bout d’un nombre assez grand de mois, les populations des deux fourmilières vont se stabiliser, autour de 246 milliers d’individus pour A et 164 milliers pour B.
Exercice 2.
f est la fonction définie par f(x) = x − 3 + 4 (x - 1)²
Cf est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i→ ; j→) (unités : 2 cm sur l’axe (O; i→) et 1 cm sur l’axe (O ; j→)).
1..Déterminer le domaine de définition de f.
f(x) existe à condition que (x−1)² ≠ 0 c’est à dire x ≠ 1 donc Df = ]−∞ ;1[ ∪ ]1 ; +∞[
2..Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.
limites en ±±±±∞∞∞∞ : quand x →±∞, (x −1)² → +∞ donc 4
(x - 1)²→ 0 quand x → −∞, x − 3 → −∞ donc par addition, limx→→→→-∞∞∞∞ f(x) = −−−−∞∞∞∞ quand x → +∞, x − 3 → +∞ donc par addition, lim
x→→→→+∞∞∞∞ f(x) = +∞∞∞∞ limite en 1 : quand x → 1, (x − 1)² → 0+ donc 4
(x - 1)²→ +∞ et x − 3 →−2 donc par addition, lim
x→→→→1 f(x) = +∞∞∞∞ 3..Soit D la droite d’équation y = x −−−−3.
a. cours : D est asymptote à Cf en −−−−∞∞∞∞ et +∞∞∞ à condition que f(x) ∞ −−−− (x −−−− 3) tende vers 0 quand x →→→→ ±±±± ∞∞∞ ∞ or f(x) − (x − 3) = 4
(x - 1)² et on a vu que limx→∞
4
(x - 1)² = 0 donc D est bien asymptote à Cf en −−−−∞∞∞ et +∞∞ ∞∞∞.
b. cours : Les positions relatives de Cf et D sont données, dans Df par le signe de f(x) −−−− (x −−−− 3) c’est à dire de 4 (x - 1)² or, pour tout x de Df, 4
(x - 1)² > 0 donc Cf est toujours au dessus de D.
c. Cf a aussi pour asymptote la droite d’équation x = 1 car limx→1 f(x) = +∞.
4..f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition. Calculons la dérivée f’ de f..
f’(x) = (x − 3)’ + ( 4
(x - 1)² )’= 1 − (4)(2)(x - 1)
(x - 1)4 = 1 − 8
(x - 1)3 = (x - 1)3 - 8
(x - 1)3 = [(x-1) - 2][(x-1)² + (x-1)2 + 2²]
(x-1)3 = (x - 3)(x² + 3) (x - 1)3 donc f’(x) = (x - 3)(x² + 3)
(x - 1)3 = (x - 3)(x² + 3) (x - 1)²(x - 1)
dans Df : x² + 3 > 0 et (x − 1)² > 0 donc f’(x) a le signe de x - 3 x - 1 5..Etude des variations de f.
On vient de voir que f’(x) a le signe de x - 3
x - 1 (qui s’étudie comme le signe du trinôme (x−3)(x−1)) dans ]−∞ ; 1[, f’(x) > 0 donc f est de −∞ à +∞
dans ]1 ; 3[, f’(x) < 0 donc f est de +∞ à f(3) = 1 dans ]3 ; +∞[, f’(x) > 0 donc f est de 1 à +∞
bilan : voir tableau de variation …
6..Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution αααα dont on donnera une valeur approchée à 10−−−−2 près.
la forme de la question nous indique qu’il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
cours : si f est définie, dérivable et strictement monotone sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b) alors l’équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]
Dans ]1 ; +∞[, f(x) ≥ 1 donc f(x) ≠ 0.
Dans ]−∞ ;1[, f est définie, dérivable et strictement croissante de −−−−∞∞∞∞ à +∞∞∞ ∞ donc l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α.
de plus f(−0,14) < 0 et f(−0,13) > 0 donc < α < soit αααα ≈≈≈≈−−−−0,13 7..Déterminer l’équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 2.
(T) a pour équation y = f’(2)(x−2) + f(2) or f’(2) = −7 et f(2) = 3 donc (T) a pour équation y = −−−−7x + 17 8..Construire D, (T) puis Cf avec tous les éléments caractéristiques obtenus dans cette étude.
x −∞ 1 3 +∞
f ’(x) + − 0 + f (x)
−∞ +∞ +∞
1 +∞
Exercice 3.
Interprétation mathématique Interprétation graphique
x→+∞lim f(x) = −2 la droite d’équation y = −2 est asymptote à Cf en +∞
x→1lim f(x) = -∞ ou limx→1 f(x) = +∞ la droite d’équation x = 1 est asymptote à Cf f ’(1) = −1 la tangente à Cf au point A(1 ;2) est parallèle à la droite
d’équation y = − x + 1
pour tout x de ]1 ; 3[, f(x) < 0 sur ]1 ; 3[, Cf est en dessous de l’axe des abscisses x→-∞lim f(x) = 1 la droite d’équation y = 1 est asymptote à Cf en −∞
x→3lim- f(x) = −∞ la droite d’équation x = 3 est asymptote à Cf x→+∞lim f(x) − (x − 3) = 0 la droite d’équation y = x – 3 est asymptote à Cf en +∞
dans [1; 6], f(x) – ( −x + 2) ≤ 0 Cf est située « en dessous » de la droite d’équation y = −x + 2 pour x ∈ [1 ; 6]
L’équation f(x) = 0 a trois solutions Cf intercepte trois fois l’axe des abscisses f(x) = 3x − 1 + ε(x) avec limx→-∞ ε(x) = 0 la droite d’équation y = 3x − 1 est asymptote à Cf en −∞
f(x) = 0 quand x = −1 ou x = 3 Cf coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses −1 et 3 f ‘(2) = 0 la tangente à Cf au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des
abscisses
signe de f(x) − g(x) Position de Cf par rapport à Cg
Exercice 4.
