DS du 19/01/09

Lundi 19 janvier 2009.

DS de Mathématiques. 1°S1 et S2.

Calculatrice autorisée.

4 heures.

Les exercices seront faits sur des feuilles séparées.

EXERCICE 1.

f est la fonction définie par f(x) = x − 3 + 4 (x - 1)²

C_f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i^→, j^→) unités : 2 cm sur l’axe (O; i^→) et 1 cm sur l’axe (O ; j^→).

1. Déterminer le domaine de définition D_f de f.

2. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.

3. Soit D la droite d’équation y = x −3.

a. Montrer que D est asymptote à C_f en −∞ et +∞.

b. Etudier les positions relatives de C_f et D.

c. C_f a−t−elle d’autres asymptotes ?

4. Montrer que pour tout x de D_f, la dérivée f ’ de f est définie par f ’(x) = (x - 3)(x² + 3) (x - 1)³ . 5. Etudier les variations de f.

6. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dont on donnera une valeur approchée à 10⁻² près.

7. Déterminer l’équation de la tangente (T) à C_f au point d’abscisse 2.

8. Construire D, (T) puis C_f avec tous les éléments caractéristiques obtenus dans cette étude.

9. En discutant suivant les valeurs du réel m, donner le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.

EXERCICE 2.

f est la fonction définie sur IR par : f(x) = x² + mx + p

x² − 2x + 2 , m et p étant deux réels.

1. Justifier que f est définie sur IR .

2. Déterminer les réels m et p pour que C_f , la courbe représentative de f, passe par le point A de coordonnées (2 ; 0) et admette au point B, d’abscisse 1, une tangente parallèle à la droite d’équation y = − 2x.

suite au dos …

EXERCICE 3.

Partie A :

f est la fonction définie sur IR, par f(x) = − x³ + 9

4 x. Etudier les variations de f et ses limites en –∞ et +∞.

Partie B :

Dans cette partie, D, x et h désignent des longueurs exprimées en mètres.

Lorsqu’on veut équarrir un tronc d’arbre de manière à donner à la poutre obtenue la plus grande

résistance possible à la flexion, on se garde bien de la faire de section carrée, mais toujours « plus haute que large ».

Si la base est x et la hauteur h, on montre en mécanique que la résistance est d’autant plus grande que xh² est grand.

On suppose que le diamètre D du tronc d’arbre mesure 1,5 mètres.

1. Expliquer pourquoi x² + h² = 9 4 .

2. Calculer xh² en fonction de x et donner l’ensemble des valeurs possibles de x.

3. En utilisant la partie A de l’exercice, trouver x et h de sorte que la poutre ait le maximum de résistance à la flexion.

EXERCICE bonus :

f est une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et f’’ + f = 0 (avec f’’ = (f’)’) montrer que f² + f’² est une fonction constante.

D x h

EXERCICE 4. à faire sur cette feuille et à rendre avec votre copie. NOM : Une utilisation de la dérivée seconde.

f est une fonction définie et dérivable sur IR , C_f est sa courbe représentative dans un repère (O ; i^→, j^→).

On suppose que f’ (la fonction dérivée de f) est aussi dérivable sur IR et on note f’’ sa fonction dérivée.

La tangente (T) à C_f au point A d’abscisse a, a pour équation y = f’(a)(x − a) + f(a).

La position de C_f par rapport à (T) nous est donnée par le signe de f(x) − y (on compare les ordonnées d’un point de C_f et d’un point de (T) de même abscisse x).

On pose g(x) = f(x) − y et donc g(x) = f(x) − f’(a)(x−a) − f(a).

1. Déterminer g’(x), g’ étant la fonction dérivée de g et g’’(x), g’’ étant la fonction dérivée de g’.

2. Calculer g(a) et g’(a).

3. Dans chacun des cas a, b, c complétez le tableau suivant et en déduire la position de C_f par rapport à (T).

a.

b.

c.

DS du 19/01/09. Corrigé.

EXERCICE 1.

EXERCICE 2. f est la fonction définie par f(x) = x − 3 + 4 (x - 1)²

C_f est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i^→ ; j^→) (unités : 2 cm sur l’axe (O; i^→) et 1 cm sur l’axe (O ; j^→)).

1. Déterminer le domaine de définition de f.

f(x) existe à condition que (x−1)² ≠ 0 c’est à dire x ≠ 1 donc D_f = ]−∞ ;1[ ∪ ]1 ; +∞[

2. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine.

en ±±±±∞∞∞∞ : quand x → ±∞, (x −1)² → +∞ donc 4

(x - 1)² → 0

quand x → −∞, x − 3 → −∞ donc par addition, lim_{x→→→-∞→} f(x) = −−−−∞∞∞ ∞ quand x → +∞, x − 3 → +∞ donc par addition, lim_{x→→→→+}

∞ f(x) = +∞∞∞∞ en 1 : quand x → 1, (x − 1)² → 0⁺ donc 4

(x - 1)² → +∞

et x − 3 → −2 donc par addition, lim_{x→→→→1} f(x) = +∞∞∞ ∞ 3. Soit D la droite d’équation y = x −−−−3.

a. Montrer que D est asymptote à CCCC_f en –∞∞∞ et +∞∞ ∞∞. ∞

cours : D est asymptote à CCCC_f en −−−−∞∞∞ et +∞∞ ∞∞ à condition que f(x) ∞ −−−− (x −−−− 3) tende vers 0 quand x →→→→ ±±±± ∞∞∞ ∞ or f(x) − (x − 3) = _{(x - 1)²}⁴ et on a vu que limx→∞^{(x - 1)²4} = 0

donc D est bien asymptote à CCCC_f en −−−−∞∞∞∞ et +∞∞∞∞. b. Etudier les positions relatives de CCCC_f et D.

cours : Les positions relatives de CCCC_f et D sont données par le signe de f(x) −−−− (x −−−− 3) f(x) − (x – 3) = _{(x - 1)²}⁴

or, pour tout x de D_f , _{(x - 1)²}⁴ > 0 donc C_f est toujours au dessus de D.

c. CCCC_f a−t−elle d’autres asymptotes ?

C_f a aussi pour asymptote la droite d’équation x = 1 car limx→1 f(x) = +∞.

4. Montrons que pour tout x de DDDD_f , la dérivée f’ de f est définie par f’(x) = (x - 3)(x² + 3) (x - 1)³ . f est une fonction rationnelle donc f est dérivable sur son domaine D_f .

f’(x) = (x − 3)’ + (_{(x - 1)²}⁴ )’= 1 − (4)(2)(x - 1)

(x - 1)⁴ = 1 − 8

(x - 1)³= (x - 1)³ - 8

(x - 1)³

= [(x-1) - 2][(x-1)² + (x-1)2 + 2²]

(x-1)³ = (x - 3)(x² + 3)

(x - 1)³ car (a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

donc f’(x) = (x - 3)(x² + 3)

(x - 1)³

5. Etudier les variations de f.

f’(x) = (x - 3)(x² + 3)

(x - 1)³

dans D_f : x² + 3 > 0 et (x − 1)² > 0

donc f’(x) a le signe de x - 3

x - 1 (qui s’étudie comme le signe du trinôme (x−3)(x−1) dans ]−∞ ; 1[, f’(x) > 0 donc f est de −∞ à +∞

dans ]1 ; 3[, f’(x) < 0 donc f est de +∞ à f(3) = 1 dans ]3 ; +∞[, f’(x) > 0 donc f est de 1 à +∞

bilan : voir tableau de variation …(facultatif, il n’est pas demandé …)

6. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution αααα dont on donnera une valeur approchée à 10⁻⁻⁻⁻² près.

la forme de la question nous indique qu’il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

cours :

si f est définie, dérivable et strictement monotone sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b) alors l’équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]

Dans ]1 ; +∞[, f(x) ≥ 1 donc l’équation f(x) = 0 n’a pas de solution.

Dans ]−∞ ;1[, f est définie, dérivable et strictement croissante de −−−−∞∞∞∞ à +∞∞∞∞ donc l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α.

par balayage avec la calculatrice on obtient : f(−0,14) < 0 et f(−0,13) > 0 donc < α < soit α ≈≈≈≈−−−−0,13 7. Déterminer l’équation de la tangente (T) à CCCC_f au point d’abscisse 2.

(T) a pour équation y = f’(2)(x−2) + f(2)

or f’(2) = −7 et f(2) = 3 donc (T) a pour équation y = −−−−7x + 17

8. Construire D, (T) puis CCCC_f avec tous les éléments caractéristiques obtenus dans cette étude.

9. En discutant suivant les valeurs du réel m, donner le nombre de solutions de l’équation f(x) = m.

Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d’intersection de C_f avec la droite d’équation y = m.

x −∞ 1 3 +∞

f ’(x) + − 0 +

f (x)

−∞

+∞ +∞

1

+∞

On obtient :

Valeurs de m Nombre de solutions m < 1 une

m = 1 Deux (0 et 3) m > 1 Trois

EXERCICE 2.

f est la fonction définie sur IR par : f(x) = x² + mx + p

x² −−−− 2x + 2 , m et p étant deux réels.

1. Justifier que f est définie sur IR .

f(x) existe à condition que x² − 2x + 2 ≠ 0

ce trinôme ayant pour discriminant ∆ = −4 il ne s’annule pas et donc f est définie sur IR.

2. Déterminer les réels m et p pour que CCCC_f , la courbe représentative de f, passe par le point A(2 ; 0) et admette au point B, d’abscisse 1, une tangente parallèle à la droite d’équation y = −−−− 2x.

Il y a deux inconnues, m et p mais on nous donne deux informations qu’il va falloir exploiter.

« C_f passe par le point A de coordonnées (2 ; 0) » signifie que f(2) = 0

« C_f a, au point B, d’abscisse 1, une tangente parallèle à la droite d’équation y = − 2x » signifie que f’(1) = −2 COURS : − la tangente à C_f au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur f’(1)

− deux droites parallèles (non parallèles à l’axe (O ; j^→)) ont le même coefficient directeur Calculons f’(1) : f est rationnelle donc dérivable sur son domaine IR

f’(x) = (2x+m)(x²-2x+2) - (x²+mx+p)(2x-2)

(x²- 2x + 2)² (cette écriture est suffisante pour calculer f’(1)) donc f’(1) = 2 + m on a alors f’(1) = −2 ⇔ 2 + m = −2 ⇔ m = −−−−4

de plus, f(2) = 0 ⇔ 4 + 2m + p = 0 ⇔ p = −2m−4 et comme m = −4, p = 4 f est donc la fonction définie par f(x) = x²- 4x + 4

x²- 2x + 2 = (x - 2)² x²- 2x + 2 EXERCICE 3.

Partie A :

f est la fonction définie sur IR, par f(x) = − x³ + 9

4 x. Etudier les variations de f.

f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR.

f’(x) = − 3x² + 9 4 = (3

2 − 3x)( 3

2 − 3x) dans IR, f’(x) a le signe du trinôme (3

2 − 3x)( 3

2 − 3x) dont les racines sont 3

2 et − 3 2

c'est à dire x

f'(x) | |

−∞ −

- 3/2 0

+

3/2 0

−

+∞ on en déduit le tableau de variation de f :

en –∞ et +∞ f(x) a même limite que –x³ donc lim_x→-∞ f(x) = +∞ et lim_x→+∞ f(x) = −∞

Partie B :

Dans cette partie, D, x et h désignent des longueurs exprimées en mètres.

Lorsqu’on veut équarrir un tronc d’arbre de manière à donner à la poutre obtenue la plus grande résistance possible à la flexion, on se garde bien de la faire de section carrée, mais toujours « plus haute que large ».

Si la base est x et la hauteur h, on montre en mécanique que la résistance est d’autant plus grande que xh² est grand.

x −∞ − 3/2 3/2 +∞

f ’(x) − 0 + 0 − f (x) +∞

−3 3/4

3 3/4

−∞

D x h

On suppose que le diamètre D du tronc d’arbre mesure 1,5 mètres.

1. Expliquer pourquoi x² + h² = 9 4 .

La section de la poutre étant un rectangle, on applique Pythagore dans l’un des triangles rectangles : on a alors D² = x² + h² et comme D = 3

2 , x² + h² = 9 4

2. Calculer xh² en fonction de x et donner l’ensemble des valeurs possibles de x.

D’après 1., h² = 9

4 − x² donc xh² = x(9

4 − x²) = − x³ + 9

4 x = f(x) x > 0 car c’est un distance et x < 3

2 car c’est le diamètre du tronc. Donc x ∈ ]0 ; 3 2 [ remarque : en toute rigueur on pourrait interdire la valeur de x pour laquelle x = h et si x > h, alors x devient h et h devient x …

x² + h² = 9/4 donc x = h quand 2x² = 9/4 c'est à dire x² = 9/8 d’où x = 3/2 2 car x < 0 On obtient alors x ∈ ]0 ; 3/2 2 [ ∪ ]3/2 2 ; 1.5[

3. En utilisant la partie A de l’exercice, trouver x et h de sorte que la poutre ait le maximum de résistance à la flexion.

Il faut trouver la valeur de x qui rend maximale f(x) sur ]0 ; 3 2 [

D’après l’étude de f faite à la partie A, on obtient f(x) (et donc xh²) maximale pour x = 3 2 . On a alors h² = 9

4 − ( 3

2 )² = 9/4 – 3/4 = 6/4 = 3/2 d’où h = 3 / 2 EXERCICE bonus :

f est une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et f’’ + f = 0 (avec f’’ = (f’)’) montrer que f² + f’² est une fonction constante.

Pour montrer que f² + f’² est une fonction constante on va calculer sa dérivée.

(f² + f’²)’= (f²)’ + (f’²)’= 2ff’ + 2f’(f’)’= 2ff’ + 2f’f’’= 2f’(f + f’’)

or f + f’ = 0 donc (f² + f’²)’= 0 ce qui prouve que f² + f’² est une fonction constante.

EXERCICE 4.

Une utilisation de la dérivée seconde.

f est une fonction définie et dérivable sur IR , C_f est sa courbe représentative dans un repère (O ; i^→, j^→).

On suppose que f’ (la fonction dérivée de f) est aussi dérivable sur IR et on note f’’ sa fonction dérivée.

La tangente (T) à C_f au point A d’abscisse a, a pour équation y = f’(a)(x − a) + f(a).

La position de C_f par rapport à (T) nous est donnée par le signe de f(x) − y (on compare les ordonnées d’un point de C_f et d’un point de (T) de même abscisse x).

On pose g(x) = f(x) − y et donc g(x) = f(x) −−−− f’(a)(x−−−−a) −−−− f(a).

1. Déterminer g’(x), g’ étant la fonction dérivée de g et g’’(x), g’’ étant la fonction dérivée de g’.

g(x) = f(x) − f’(a)(x−a) − f(a) donc g’(x) = f’(x) – f’(a) (a, f(a) et f’(a) sont des constantes …) donc g’’(x) = f’’(x)

2. Calculer g(a) et g’(a). g(a) = f(a) − f’(a)(a−a) − f(a) = 0 et g’(a) = f’(a) – f’(a) = 0

3. Dans chacun des cas a, b, c complétez le tableau suivant et en déduire la position de CCCC_f par rapport à (T).

a.

On en déduit que C_f est « en dessous » de (T) b.

On en déduit que C_f est « au dessus » de (T) c.

On en déduit que : pour x ≤ a, C_f est « en dessous » de (T) pour x ≥ a, C_f est « au dessus » de (T)