Puissances et racine carrée

Puissances et racine carrée – Classe de Seconde

Puissances et racine carrée

1. Puissance d’un réel

Définition. Soit un réel un entier relatif. On pose

et

si . Si , on pose pour tout entier ,

Exemple









car est impair











Théorème. Pour tout réels et et tous entiers relatifs et , on a



;



(avec ) ;



;



.

Exemple













Démonstration.



Démontrons la première formule. Il faut distinguer trois cas : , et .



Si , on a

.

Puissances et racine carrée – Classe de Seconde



si , on a et par ailleurs , donc l’égalité est véri- fiée.



si , on a

. Or – , c’est-à-dire , donc d’après la première partie de la démonstration :



Démontrons la deuxième formule pour :

. On l’admet pour (petit exercice).



Démontrons la troisième formule pour et :

Dans le cas où ou , nous admettons le résultat.



Démontrons la dernière formule pour et :

2. Identités remarquables

Théorème. Pour tout réels et on a



;





.

Démonstration. Pour la première égalité, en utilisant la définition d’un carré et la double dis- tributivité, on a

Les deux autres égalités s’obtiennent de la même façon.

Exemple







La troisième identité sert fréquemment à factoriser une expression, par exemple :

Puissances et racine carrée – Classe de Seconde

3. Racine carrée



Racine carrée d’un réel positif

Étant donné un réel , il existe une unique solution positive à l’équation . On l’appelle racine carrée de et on la note .

Pour tout réel et réel a on donc :

. En particulier, si , et .

Exemple

Par définition, on a , ou encore .

Attention, si , la seconde égalité est fausse. Par exemple . Exemple

En utilisant la première identité remarquable

Cette expression ne peut pas écrite plus simplement.

Théorème. Pour tous réels positifs et , on a

et si ,

.

Démonstration. On a par définition de la racine carrée, et, d’après les proprié- tés des puissances,

Ainsi et sont des réels positifs dont le carré est . Ils sont donc égaux.

De même et

. Exemple

Ce théorème permet de simplifier les racines carrés dans certains cas :

Théorème. Pour tout réel , on a .

Démonstration. Pour tout réel , on a . En effet



si , on a , donc ;



si , on a , donc .

Ainsi est un réel positif dont le carré est . Par définition de la racine carrée, c’est donc

. Ainsi .

Puissances et racine carrée – Classe de Seconde

Exemple

et .

Théorème. Soit et deux réels positifs tels que . Alors .

Démonstration. Montrer que revient à montrer que .

Puisque , on a , donc . Ceci nous permet d’écrire, avec la troi- sième identité remarquable,

. Or , donc par la règle des signes, .



Résolution de l’équation

Théorème. L’équation admet



deux solutions si , à savoir et – ;



une solution si , à savoir ;



aucune solution si .

Démonstration. Un carré étant supérieur ou égal à 0, l’équation ne peut avoir de solu- tion si .

Si , l’équation , c’est-à-dire est une équation-produit dont l’unique solu- tion est .

Si , on peut l’écrire si bien qu’en utilisant l’identité remarquable

on a

Cette équation-produit conduit à ou . On trouve donc deux solutions : et .

Exemple



L’équation a pour ensemble de solutions .



L’équation a pour ensemble de solutions .