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Puissances et racine carrée – Exercices

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Puissances et racine carrée – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier

Puissances et racine carrée – Exercices

Puissances

1 Simplifier ( et sont des réels non nuls).

a. b.

c. d.

e.

2 Simplifier, sans calculatrice.

a. b.

c.

d.

3 Quel est le plus grand nombre : ou ?

4 Dans l’algorithme suivant, désigne un réel et un entier naturel.

Pour de 1 à Retourner

1. Exécuter l’algorithme à la main avec et . 2. Que se passe-t-il pour ?

3. Quel est le rôle de cet algorithme ?

On a programmé l’algorithme suivant sous Python en une fonction puissp qui prend en argument un réel et un en- tier naturel .

def puissp(a,n):

p=1

for k in range(1,n+1):

p=a*p return p

4. Que renvoie puissp(3,2) ? puissp(3,0) ?

5. On souhaite étendre cette fonction aux exposants entiers négatifs en utilisant la fonction puissp.

Compléter le script Python suivant.

def puiss(a,n):

if

return puissp(a,n) else:

return

Développement, factorisation

5 Préciser si les expressions suivantes sont sous formes développées, factorisées ou autres.

a. b.

c. d.

e.

6 Développer les expressions suivantes.

a.

b.

c.

d.

e.

7 Factoriser les expressions suivantes.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

8 Développer les expressions suivantes.

a.

b.

c.

d.

9 Factoriser les expressions suivantes.

a.

b.

c.

d.

10 Les identités remarquables permettent d’effectuer mentalement quelques calculs a priori difficiles.

1. En écrivant , calculer (sans calcula- trice donc !).

2. Calculer de même, avec des identités remarquables, , , et .

11 Soit la fonction définie sur par

1. Déterminer les formes développée et factorisée de . 2. Choisir la forme la plus adaptée pour calculer les

images de , , et .

12 Développer et simplifier

a. b.

13 Vérifier l’égalité suivante

14 Vérifier l’égalité suivante

Racines carrées 15 Simplifier, sans calculatrice.

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

16 Simplifier, sans calculatrice.

a. b. c.

d. e. f.

17 Simplifier, sans calculatrice.

a. b. c.

(2)

Puissances et racine carrée – Exercices – Seconde – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier 18 Dans l’algorithme suivant, désigne un réel positif.

Tant que Retourner

1. Exécuter l’algorithme à la main avec . 2. Quel est le rôle de cet algorithme ?

19 Développer les expressions suivantes.

a. b.

c. d.

20 Vrai ou faux ? Justifier.

a. Pour tous réels positifs et , on a . b. Pour tous réels positifs et , on a . c. Pour tout réel , on a .

d. existe si .

21 Résoudre les équations suivantes.

a. b.

c. d.

22 Résoudre les équations suivantes.

a. b.

c. d.

23 Résoudre les équations suivantes.

a. b.

c. d.

24 Comparer sans calculatrice et dans chacun des cas suivants.

a. et b. et c. et d. et e. et

f. et

25 Vrai ou faux ? Justifier.

a. Pour tout réel , on a . b. Pour tout réel , on a . c. On a

.

d. Pour tout réel strictement positif,

. 26 Montrer que .

27 Montrer que

.

28 Montrer que pour tout entier naturel , on a

29 Montrer que

est un nombre entier.

30 Parmi et , lequel de ces deux nombres est le plus grand ? Calculatrice interdite.

31 Une voiture roule sur route sèche à la vitesse (en m⋅s-1) au moment où le conducteur appuie brusquement sur le frein. On montre en physique que la distance de freinage (en m) parcourue par ce véhicule avant l’arrête complet est donnée par

où est la gravité (G = 9,81 m⋅s-2) et le coefficient de frottement du pneumatique ; il est toujours compris entre 0 et 1. Sur route sèche et lorsque le pneu est en bon état, on considère qu’il est de 0,65, ce que nous ferons dans la suite.

1. Calculer la distance nécessaire à un véhicule roulant à 90 km⋅h-1 pour qu’il s’arrête.

2. Montrer que si la vitesse est exprimée en km⋅h-1, la distance d’arrêt est approximative égale à

3. Que peut-on dire de la distance d’arrêt quand la vitesse est doublée ?

4. À quelle vitesse doit rouler un véhicule pour qu’il mette 150 m à s’immobiliser ?

32 Approximation rationnelle de

Voici un algorithme qui permet de déterminer une valeur approchée de par un rationnel à près.

Tant que Retourner

1. Compléter le tableau suivant jusqu’à l’arrêt de l’algorithme. On complètera la première ligne par des rationnels.

2

oui

Donner une approximation rationnelle de avec (au moins) 10 chiffres exacts après la virgule.

2. De façon plus générale, voici algorithme qui permet d’avoir une approximation rationnelle de à près.

partie entière de Tant que Retourner

Cet algorithme définit une fonction que l’on appellera approx( ).

Que vaut approx( , ) ? approx( , ) ? Et enfin approx( , ) ?

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