1 3th arg th

(1)

PanaMaths Septembre 2009

Simplifier :

1 3th arg th

3 th x x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +

Analyse

Une transformation simple de l’écriture de 1 3 th 3 th

x x +

+ permet d’identifier la tangente

hyperbolique d’une somme. On peut également procéder directement en utilisant l’expression de arg thx. Nous proposons les deux approches ci-dessous.

Résolution

1

^ère

approche

On a :

1 th 1 3 th 3

3 th 1 1th

3 x x

x x

+ = +

+ +

Comme la fonction tangente hyperbolique définit une bijection de dans l’intervalle

]

^{− +}^{1; 1}

[

^{et que}¹

3 appartient à cet intervalle, on peut affirmer qu’il existe un unique réel a tel que 1

3=tha. En d’autre terme, 1 arg th a= 3. Dans ces conditions, il vient :

( )

1 th

1 3 th 3 th th th

3 th 1 1th 1 th th

3

x x a x

x a

x x a x

+ = + = + = +

+ + + ×

On en déduit finalement : 1 3 th arg th

3 th

x x a

x

⎛ + ⎞ = +

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ .

(2)

PanaMaths Septembre 2009

Comme on a : 1 1

arg th ln

2 1

x x

x

⎛ + ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠, il vient :

1 4

1 1 1 3 1 3 1

arg th ln ln ln 2

1 2

3 2 1 2 2

3 3

a

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟=

⎜ − ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En définitive :

1 3 th 1

arg th ln 2

3 th 2

x x

x

⎛ + ⎞ = +

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

2

^ème

approche

A partir de arg th ¹ln ¹

2 1

x x

x

⎛ + ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠, on a :

( )

1 3 th

1 3 th 1 1 3 th 1 3 th 1 3 th

arg th ln ln

1 3 th

3 th 2 1 2 3 th 1 3 th

3 th

1 4 4 th 1 4 4 th 1 1 th

ln ln ln 2

2 3 th 1 3 th 2 2 2 th 2 1 th

1 1 1 th

ln 2 ln

2 2 1 th

x

x x x x

x

x x x

x x x x

x x

⎛ + + ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ + + +

⎛ ⎞= ⎜ + ⎟= ⎜ ⎟

⎜ + ⎟ + ⎜ + − + ⎟

⎝ ⎠ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

⎝ + ⎠

+ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − − ⎟⎠= ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎜⎝ − ⎟⎠

⎛ + ⎞

= + ⎜ −⎝ ⎠ ¹ln 2 arg th th

( )

2 1ln 2

2

x

= +

⎟

= +

On retrouve ainsi le résultat obtenu précédemment.

Résultat final

1 3 th 1

arg th ln 2

3 th 2

x x

x

⎛ + ⎞ = +

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

(3)

PanaMaths Septembre 2009

Complément

Pour tout réel α de

]

^{−∞ −}^{; 1}

[ ]

^∪ ^{+ + ∞}^1;

[

^{, on a :}

( )

( ) ( )

1 th

1 th 1 1 th 1 th 3 th

arg th ln ln

1 th

th 2 1 2 th 1 th

th

1 1 th

1 1 1 1 th

ln ln

2 1 1 th 2 1 1 th

1 1 1 1 th

ln ln

2 1 2 1 th

x

x x x x

x

x x

α αα α α

α α α α

α

α α α

α α

⎛ + + ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ + + +

⎛ ⎞= ⎜ + ⎟= ⎜ ⎟

⎜ + ⎟ + ⎜ + − + ⎟

⎝ ⎠ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠

+

⎝ ⎠

⎛ + + + ⎞ ⎛ + + ⎞

= ⎜⎜⎝ − − − ⎟⎟⎠= ⎜⎝ − × − ⎟⎠

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠=

( )

1 1

1 1 1 th

ln ln

2 1 1 2 1 th

arg th 1 arg th th arg th 1

x x

x

α α α

α

⎛ + ⎞

⎜ ⎟+ ⎛ + ⎞

⎜ ⎟ ⎜⎝ − ⎟⎠

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+