EXERCICES SUITES. en fonction de n Exercice 2 Donner, en fonction de n, l expression du terme général de la suite u définie par.

1

EXERCICES SUITES

Exercice 1

Soit la suite

 

u_n définie par u₀4 et ₁ 1

, 2

n 2

n

n u

 u

   

¥ 

1) Montrer que la suite

 

u_n est bien définie et que  n ¥,u_n2 On considère désormais la suite

 

v_n définie par  n ¥,v_nln



u_n2



2) Déterminer la nature de la suite

 

^v_n , en déduire l’expression de u_n en fonction de n Exercice 2

Donner, en fonction den , l’expression du terme général de la suite

 

u_n définie par 1) u₀0, et  n ¥,u_n12u_n1

2) u₀0, et ₁ 1

, 2

n n

n u_ u 

 ¥  Exercice 3

Soient les suites

 

un et

 

vn définies par u₀1,v₀2 et , pour tout entier natureln , u_n13u_n2v_n et v_n12u_n3v_n

1) Montrer que la suite



u_nv_n



est constante

2) Montrer que la suite

 

u_n est une suite arithmético-géométrique 3) En déduire l’expression de u_n puis dev_n en fonction d en Exercice 4

Donner l’expression du terme général de la suite réelle

 

u_n définie par : 1) u₀1,u₁0 , et  n ¥,u_n24u_n14u_n

2) u₀1,u₁ 1 , et  n ¥, 2u_n23u_n1u_n 3) u₀1,u₁2, et  n ¥,u_n2u_n1u_n

4) u₀1,u₁1, et  n ¥,u_n22cos

 

 u_n1u_n0 où  ¡ Exercice 5

Donner l’expression du terme général de la suite complexe

 

u_n définie par :

0 0, 1 1 4

u  u   i , et  n ¥,u_n2 



3 2i u



_n1 



5 5i u



_n Exercice 6

Donner l’expression du terme général de la suite réelle

 

u_n définie par :

0 1, 1 2

u  u  , et  n ¥,u_n2 u_n1u_n On commencera par montrer que  n ¥,u_n0 Exercice 7

Soit une suite

( )

un n_Î¥qui converge vers 0.

Montrer qu’à partir d’un certain rang, on a u_n² £ u_n . Exercice 8

Soient

 

an et

 

bn deux suites réelles convergentes.

Soit

 

cn une suite telle que :  N ¥, n N a, _nc_nb_n. Montrer que la suite

 

cn est bornée.

2 Exercice 9

Calculer la limite de la suite

u

de terme général : cos

n

u n

 n

, ( )

( )

²

( ) (

^*

)

1

2 3 1

, , 1 , et dans

2 3 1 2

n n n n n

n

n n n n n n n n n

n a b

u u u n n u a b

a b

n

⁺

+

- +

- -

= = = - + - =

+ - + + ¡

Exercice 10

Soit l’ensemble

 

1ⁿ 2 _*

A n

n n

 

  

 

 

   

¥ 1) Montrer que A est majoré et minoré

2) Monter queA admet un plus grand élément et le déterminer

3) Montrer que A admet une borne supérieure et une borne inférieure et les déterminer Exercice 11

Soit l’ensemble^A

 

^{1n 1 n *}

n

 

 

 

   ¥ 

Démontrer que l’ensemble A possède une borne supérieure et une borne inférieure et les déterminer Exercice 12

On se propose d’étudier la suite

 

u_n , définie par la donnée de u₀0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n :

u

_n+1 =

2

1

2 u

n +

.

1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 £

u

_n £ 1.

b) Étudier les variations de la suite (

u

_n).

c) Déduire des questions précédentes que la suite (

u

_n) converge et donner sa limite.

2) Pour tout entier naturel n, on pose

v

_n =

1

-

u

_n.

a) Pour tout entier naturel k, exprimer

v

_k -

v

_k+1 en fonction de

v

_k. b) Simplifier, pour tout entier naturel n non nul, la somme

å

^-

=¹ - + 0

1

) (

n k

k

k

v

v

.

c) Donner pour finir la nature de la suite de terme général ²

0 n

n k

k

S v







ainsi que la valeur de la limite de cette suite.

Exercice 13

On définit les deux suites

 

a_n et

 

b_n parb₀a₀0,  n ¥,a_n1 a b_{n n} et ₁ 2

n n

n

a b

b_ 

 Montrer que ces deux suites sont bien définies et convergent vers la même limite.

Exercice 14

Soient deux suites

( )

un n_Î¥et

( )

vn n_Î¥deux suites à valeurs dans

[ ]

^{0,1 .}

On suppose que lim _{n n} 1

n u v

®+¥ = . Montrer que les deux suites convergent vers 1.

Exercice 15

1) Etudier la convergence de la suite

 

un n_¥* définie par : ₂

1 n n

k

n k

u  n k

 



 2) Etudier la convergence de la suite

 

un n_¥* définie par : ₂

1

1 ⁿ

n k

u kx

n 





   ^{où x¡}

3 Exercice 16

Soit

 

u_n une suite monotone. On suppose que

 

u_n admet une sous suite convergente.

Montrer que

 

u_n est convergente.

Exercice 17

Soit

 

u_{n n1}la suite harmonique définie par :

1

1, 1

n n

k

n u

 k

  



1) Montrer que ₂ 1

1, ^{n n} 2

n u u

    2) Prouver que lim _n

n u

  

Exercice 18

On définit deux suites

 

u_{n n1}et

 

v_{n n1} par :

0

1

!

n n

k

u  k





^{et vnun}_{n n}¹ _!

Montrer que ces deux suites sont convergentes vers la même limite.

Exercice 19

Etudier la convergence de la suite

 

un n_¥*définie par :

 

1

1, 1

n k n

k

n u

k



  





Indication : on montrera que les suites

 

u2p p *

¥ et



u2p_1



p

¥ sont adjacentes Exercice 20

Soit

 

u_n et

 

v_n deux suites réelles telles que , ₁ 2

n n

n

u v

n u _ 

 ¥  et ₁ 2

n n

n

u v

v _ 



En introduisant la suite complexe de terme généralz_nu_niv_n, montrer que les suites

 

un et

 

vn

sont convergentes et déterminer leur limite.

Exercice 21

1) Montrer que, pour tout entier naturel

n

non nul, l’équationxⁿ+ - =x 1 0admet une unique solution dans

] ^0,

^+¥

[

2) Montrer que" În ¥^*, x_n <1 et que la suite

( ) ^x

_{n nÎ¥}^*est strictement croissante 3) Montrer qu’il est impossible que la suite

( ) ^x

_{n nÎ¥}^*converge vers un réel

^L

^Î

[ [ ^0,1

4) Conclusion Exercice 22

Classer les suites dont les termes généraux sont les suivants, par ordre de négligeabilité : 1) 1 1₂ ln n ln n₂ 1

, , , ,

n n n n n ln n 2)

2

2 n

n, n , nln n, n ln n, ln n Exercice 23

Trouver un équivalent simple aux suites

 

u_n suivantes et donner leur limite :

2 2

5

n 1

n n

u n n

 

  ,

3 2

2 1

n 1

n n

u n

 

  , un



n³ln n e



^{ n 1}



^{2 1}



n 1 ln n

u n

 

 ,

2 3 2

1 1

n

n n

u

n n

  

  , u_n n 3 n , u_ne^ne^2n

4

3 2

2

1

n 2

n n

u ln n n

 

 

2 2

2 1

n 1

n ln n

u n

 

  2 3

n

n n n

n! e

u 

 

Exercice 24

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 1

On considère la fonction

f

_ndéfinie, pour tout réel

x

, par

f

n

( ) x

=

x

⁵+

nx

-

¹

1) Etudier les variations de

f

_n

2) En déduire que, pour tout entier

n

³

1

, il existe un unique réel

u

_ntel que

f

n

( ) u

n =

⁰

3) Montrer que 1

un

£n, en déduire que la suite

( ) ^u

_{n nΥ}^*est convergente et donne sa limite 4) Calculer lim _n

n nu

®+¥ et en déduire que 1 un

: n 5) Déterminer un équivalent simple de 1

un

n- lorsque

n

est au voisinage de l’infini Exercice 25

Soit

n

un entier strictement positif et

f

_nla fonction définie sur¡par

f

n

( ) x

=

xe

^x-

n

pour tout

x

réel 1) Montrer que l’équation

f

n

( ) x

=

⁰

admet une unique solution réelle noyée

u

_net que cette

solution est strictement positive

2) Montrer que pour

n

³

3

, on a

¹

^£

^u

_n ^£

^ln ( ) ⁿ

3) Montrer que pour tout

n

strictement positif,

^ln ( ) u

n +

u

n =

^ln ( ) n

4) Montrer que n

^ln ( )

n

u n

®+¥:

5) Donner un équivalent de

u

n-

^ln ( ) n

lorsque

n

tend vers+¥

Exercice 26

1) Montrer que, pour tout entier naturel n , l’équation

x+ln( )x =n

possède une unique solution u

_n

dans ] ^0,

^+¥

[

2) Montrer que la suite ( ) u

n n_Î¥

est croissante et diverge vers

+¥

3) Montrer que u

_n :

n puis que u

_n-

n

:-

ln( ) n 4) Montrer que u

n = -

n ^{ln( )} n

+

o ( ^ln ( ) n )

Exercice 27

On considère la suite

 

Sn n_¥* définie par : ^*

1

, 1

n n

k

n S

k



 ^¥ 



1) Montrer que ^{1, 1 2}



¹



¹

n 1 n n

n n

     



2) En déduire la limite de la suite

 

Sn n_¥*

3) On pose désormais u_nS_n n .Démontrer que la suite

 

un n_¥* converge 4) En déduire un équivalent simple de S_n

5

6