Les suites sont devenues un outil indispensable de l'analyse mais ne furent guère utilisées avant Cauchy.
La maîtrise de cet outil a été grandement facilitée par l'utilisation au dix neuvième siècle de la notation indicielle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite par une même lettre affectée d'un indice. Et aussi par le point de vue de Péano ( 1858 - 1932 ) qui définit une suite numérique comme une fonction de dans .
Dans ce chapitre, nous allons définir les suites géométriques et nous étudierons les propriétés de ces suites.
E1 Activité deux fois plus qu'hier…
N ° 1
1. Un milliardaire raconte : " J'étais jeune et sans argent. J'ai trouvé 0,50 € avec lesquels j'ai acheté des légumes que j'ai revendu le double du prix que je les avais payés. Le jour suivant, j'ai utilisé l'euro gagné le jour précédent pour acheter des légumes, que j'ai revendus le double du prix que je les avais payés. J'ai poursuivi ce commerce selon le même principe ; ainsi, chaque jour, ma recette était le double de celle du jour précédent. "
La recette était de 1 € le premier jour. Quelle était la recette le second jour ? le troisième jour ? 2. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 0,50 et pour tout entier naturel n,
un est la recette que le milliardaire a faite le n-ième jour.
A ) Compléter le tableau suivant :
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
0,50
B ) Comment passe t-on d'un terme à son suivant ? C ) Compléter le tableau suivant :
n 0 1 2 3 4 5 6
un
2n × u0
D ) Que remarque t-on ? 1 Définitions.
Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par un même nombre b appelé raison.
Pour tout entier naturel, on a un+1 = b ×××× un .
Soit b un nombre réel.
Une suite ( un ) est géométrique de raison b lorsque pour tout entier naturel n on a un+1 = b × un .
Exemples de suites géométriques : voir feuille annexe.
Soit la suite géométrique ( un ) de raison b = 4 et telle que u100 = 2. Calculer u101.
E2 Savoir calculer un terme d'une suite géométrique.
N ° 2 Soit la suite géométrique ( vn ) de raison 2,5 et telle que v5 = 7,5. Calculer v6. N ° 3 Soit la suite géométrique ( wn ) de raison 5 et telle que w51 = -10. Calculer w52. N ° 4 Soit la suite géométrique ( vn ) de raison 7 et telle que v6 = 23. Calculer v5.
N ° 5 Soit la suite géométrique ( un ) telle que u9 = 5 et u10 = 18 . Calculer la raison de cette suite.
2 Suite géométrique et situation.
Exemple :
Un propriétaire dit à son locataire : " Votre loyer annuel actuel est égal à 4 000 €.
Tant que vous resterez locataire, le loyer augmentera chaque année de 0,5 %. "
1. Quel sera le montant du loyer annuel dans un an ? dans deux ans ?
2. On pose L0 = 4 000 et on note Ln le loyer annuel ( en euros ) payé dans n années.
Démontrer que la suite ( Ln ) est une suite géométrique ; donner sa raison. Voir feuille annexe.
E3 Savoir démontrer qu'une suite est géométrique.
N ° 6
A ) La population d'une ville, qui était de 30 000 habitants en 2000, baisse de 5 % par an depuis cette date.
Combien y avait-il d'habitants en 2001 ? et en 2002 ?
B ) On note p0 la population en 2000 et pn la population n années plus tard c'est à dire en 2000 + n.
Démontrer que la suite ( pn ) est une suite géométrique et préciser sa raison.
N ° 7
A ) La population d'une ville, qui était de 100 000 habitants en 2001, augmente de 3 % par an depuis cette date.
Combien y avait-il d'habitants en 2002 ? et en 2003 ?
B ) On note p0 la population en 2001 et pn la population n années plus tard c'est à dire en 2001 + n.
Démontrer que la suite ( pn ) est une suite géométrique et préciser sa raison et son terme initial.
N ° 8
Un matériel industriel acheté 5 000 € perd 10 % de sa valeur en un an.
1. Quel sera sa valeur un an après l'achat ? deux ans après ?
2. On pose v0 = 5 000 et on note vn la valeur du matériel n années après l'achat.
Montrer que la suite ( vn ) est une suite géométrique ; préciser son premier terme et sa raison.
N ° 9.
Une population de bactéries double toutes les heures.
On observe un échantillon contenant initialement 100 000 bactéries.
1. Combien y aura t-il de bactéries au bout d'une heure ? au bout de deux heures ?
2. On pose u0 = 100 000 et on note un le nombre de bactéries n heures après le début de l'observation.
Montrer que la suite ( un ) est une suite géométrique ; donner sa raison et son terme initial.
3 Formule explicite : terme de rang n d'une suite géométrique.
Le terme général d’une suite géométrique de raison b et de premier terme u0 est donné par la formule un = u0×××× bn Le terme général d’une suite géométrique de raison b et de premier terme u1 est donné par la formule un = u1×××× bn-1
A ) Soit la suite géométrique ( un ) de raison b = 0,5 et de terme initial u0 = 10.
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u6.
Résolution : voir feuille annexe.
B ) On considère la suite géométrique ( un ) de terme initial u1 = 5 et de raison b = 3.
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u11.
E4 Savoir exprimer et calculer un terme de rang n d'une suite géométrique.
N ° 10
On considère la suite géométrique ( un ) de terme initial u0 = 4 et de raison b = 2.
Exprimer un en fonction de n. Calculer u15. N ° 11
On considère la suite géométrique ( vn ) de terme initial v1 = 7 et de raison b = 4,5.
Exprimer vn en fonction de n. Calculer v4. N ° 12
Calculer la raison b de la suite géométrique ( vn ) telle que v0 = 4 et v2 = 20.
N ° 13
On considère la suite géométrique ( un ) de raison 6 telle que u4 = 6480. Calculer u0. N ° 14
Calculer la raison b de la suite géométrique ( vn ) telle que v1 = 3 et v4 = 81.
N ° 15
On considère la suite géométrique ( un ) de raison 4 telle que u6 = 512. Calculer u1. E5 Activité : des suites et des points.
N ° 16
On considère la suite géométrique ( un ) de terme initial u0 = 1 et de raison b = 2.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère l'ensemble des points de coordonnées Pn ( n ; un ).
Calculer u1 , u2 , u3 , et u4.
Placer dans le repère les points P0 , P1 , P2 , P3 , et P4. Que remarque-t-on ? 4 Représentation graphique.
Soit ( un ) une suite géométrique de raison b avec b > 0 et différent de 1.
Soit l'ensemble des points Pn ( n ; un ) représentant la suite ( un ) dans le plan rapporté à un repère.
Alors tous les points Un ( n ; un ) sont situés sur une courbe dite exponentielle ; cette courbe n'est pas une droite.
E6 Savoir exploiter une représentation graphique.
N ° 17
Le plan est rapporté à un repère ( O ; →i , →j ).
Les points d'abscisses entières ou nulles de la courbe exponentielle Γ représentent une suite géométrique ( un ).
Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u2. N ° 18
Le plan est rapporté à un repère ( O ; →i , →j ).
Les points d'abscisses entières ou nulles de la courbe exponentielle Γ représentent une suite géométrique ( vn ).
Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme v1.
N ° 17 N ° 18 5 Sens de variation.
Soit ( un ) une suite géométrique de raison b avec 0 < b < 1.
Alors la suite ( un ) est une suite strictement décroissante. ( la courbe descend ).
Autrement dit : pour tout entier n, un > un+1.
Soit ( un ) une suite géométrique de raison b avec b > 1
Alors la suite ( un ) est une suite strictement croissante. ( la courbe monte ).
Autrement dit : pour tout entier n, un < un+1.
Soit ( un ) une suite géométrique de raison b avec b = 1.
Alors la suite ( un ) est une suite constante. ( les points sont situés sur une droite horizontale ).
Autrement dit : pour tout entier n, un = un+1.
E7 Savoir déterminer le sens de variation.
N ° 19.
Déterminer le sens de variation de la suite représentée dans le n ° 17.
N ° 20.
Déterminer le sens de variation de la suite représentée dans le n ° 18.
N ° 21 Soit la suite géométrique ( un ) de raison b = 8 et telle que u100 = 11.
Déterminer le sens de variation de ( un ).
N ° 22 Soit la suite géométrique ( un ) de raison b = 0,75 et telle que u4 = 15.
Déterminer le sens de variation de ( un ).
0 1
1
0 1
1
E8 Trouver le premier terme qui franchit un seuil donné et le rang de ce terme.
N ° 23.
Soit la suite géométrique ( un ) de terme initial u0 = 2,8 et de raison b = 1,1.
1. Justifier que la suite ( un ) est strictement croissante.
2. a ) Calculer u1 , u2 , u3 et u4.
b ) A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer le premier terme de la suite qui est supérieur à 45 000 ; préciser le rang de ce terme.
3. Réinvestissement : on considère la suite géométrique ( vn ) de terme initial v1 = 2000 et de raison b = 0,25.
a ) Justifier que la suite est strictement décroissante.
b ) Déterminer, par le calcul, le rang k du premier terme de la suite qui est inférieur ou égal à 0,000002.
E9 Problèmes divers.
N ° 24.
On place un capital égal à 1000 € au taux annuel de 10 % à intérêts composés, ce qui signifie que, chaque année, le capital acquis augmente de 10 %. On pose K0 = 1 000 et on note Kn le capital ( en euros ) acquis au bout de n années ( avec n entier naturel non nul ).
A ) Montrer que K1 = 1 100 et K2 = 1 210.
B ) Démontrer que la suite ( Kn ) est une suite géométrique ; donner son terme initial et sa raison.
C ) Exprimer Kn en fonction de n.
D ) En déduire le capital acquis au bout de 10 ans.
N ° 25.
1. On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 5 et de raison a = 2.
A ) Justifier que le terme de rang n est un = 5 + 2n.
B ) Calculer u1 , u2 , u3 et u4. ( détailler vos calculs ).
C ) Pour calculer les termes de la suite à la calculatrice, aller dans le menu TABLE.
Entrer y = 5 + 2 X puis ranger de 0 à 10 avec un pas de 1.
Ecrire un tableau des valeurs pour n variant de 0 à 9.
D ) Calculer u200 et vérifier avec votre calculatrice.
2. On considère la suite géométrique ( vn ) de terme initial v0 = 200 et de raison b = 0,5.
A ) Justifier que le terme de rang n est vn = 200 × 0,5n. B ) Calculer v1 , v2 , v3 et v4. ( détailler vos calculs ).
C ) Pour calculer les termes de la suite à la calculatrice, aller dans le menu TABLE.
Entrer y = 200 × 0,5 X puis ranger de 0 à 10 avec un pas de 1.
Ecrire un tableau des valeurs pour n variant de 0 à 9.
D ) Calculer u20 et vérifier avec votre calculatrice.
