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1. Soit z un nombre complexe dont les parties réelles et imaginaires sont notées respectivement x et y.

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Academic year: 2022

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(1)

EXERCICE 2

1. Soit z un nombre complexe dont les parties réelles et imaginaires sont notées respectivement x et y.

z − 3iz − 3 + 6i = 0 ⇔ (x − iy) − 3i(x + iy) − 3 + 6i = 0 ⇔ x − iy − 3ix + 3y − 3 + 6i = 0

⇔ (x + 3y − 3) + i(−3x − y + 6) = 0

x + 3y − 3 = 0

−3x − y + 6 = 0 ⇔

y = −3x + 6

x + 3(−3x + 6) − 3 = 0 ⇔

y = −3x + 6

−8x + 15 = 0

 

 

x = 15 8 y = −3 × 15

8 + 6 ⇔

 

 

x = 15 8 y = 3

8

L’ensemble des solutions de l’équation proposée est

15 + 3i 8

.

2. Notons r la rotation de centre O et d’angle π

3 . L’expression complexe de r est z

= e

iπ/3

z ou encore z

= 1 2 (1 + i √

3)z.

On a alors

OAB équilatéral direct ⇔ OB = OA et −− OA, → − OB →

= π

3 ⇔ B = r(A)

⇔ z

B

= 1

2 (1 + i √

3)z

A

⇔ z

B

= 1

2 (1 + i √

3)(4 − 2i) ⇔ z

B

= (1 + i √

3)(2 − i)

⇔ z

B

= (2 + √

3) + i(2 √ 3 − 1).

z

B

= (2 + √

3) + i(2 √ 3 − 1).

3. a) et b) Soit M un point du plan distinct de D dont l’affixe est notée z.

arg(z − 2i) = π

4 + 2kπ, k ∈ Z ⇔

− → u , −− → DM

= π 4 + 2kπ.

L’ensemble (E) est la droite passant par D(0, 2) d’angle polaire π

4 privée de D ou encore la droite passant par D et de coefficient directeur 1, privée de D. (E) est donc la droite d’équation cartésienne y = x + 2 privée du point de coordonnées (0, 2).

On sait d’autre part que (F) est le cercle de centre D et de rayon 2.

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

b

( E ) ( F )

D

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c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

(2)

4. Soit M un point du plan dont l’affixe z est un nombre complexe distinct de −2. Soient G et H les points d’affixes respectives 1 et −2. On note tout d’abord que z 6 = −2 ⇔ z 6 = −2 ⇔ z 6 = −2 ⇔ z + 2 6 = 0 ⇔ |z + 2| 6 = 0. Par suite

|z

| = 1 ⇔

z − 1 z + 2

= 1 ⇔ |z − 1|

|z + 2| = 1

⇔ |z − 1| = |z + 2| et |z + 2| 6 = 0

⇔ |z − 1| = |z + 2| (car − 2 n’est pas solution de l’équation |z − 1| = |z + 2|)

⇔ |z − 1| = |z + 2| ⇔ |z − 1| = |z + 2| ⇔ |z − z

G

| = |z − z

H

|

⇔ GM = HM ⇔ M ∈ med[GH].

L’ensemble cherché est la médiatrice du segment [GH] c’est-à-dire la droite d’équation x = − 1 2 .

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