Diffusion inverse pour l’´equation de Helmholtz
Propos´e par : Habib Ammari- Ecole Polytechnique - habib.ammari@polytechnique.fr On consid`ere l’´equation de Helmholtz
φ00(x, k) +k2(1 +q(x))φ(x, k) = 0, x∈R.
On suppose queq∈ C02([0,1]),i.e.,qest deux fois diff´erentiable partout etq(x) = 0, ∀x /∈ [0,1] et que q(x)>−1 pour tout x∈R. On pose n(x) =p
1 +q(x) et on note parn0et parn1le maximum et le minimum den, respectivement et on suppose quen0>0.
Pour toutk∈C, on consid`ere les solutionsφ+(x, k) etφ−(x, k) de l’´equation de Helmholtz de la forme
φ+(x, k) =φinc+(x, k) +φscat+(x, k), φ−(x, k) =φinc−(x, k) +φscat−(x, k),
o`u φinc+(x, k) =eikx et φinc−(x, k) =e−ikx, φscat+(x, k) etφscat−(x, k) sat- isfont les conditions, dites de radiation :
φscat(0, k) +ikφscat(0, k) = 0, φscat(1, k)−ikφscat(1, k) = 0.
φinc+etφinc− sont des ondes incidentes etφscat+etφscat− sont des ondes diffract´ees.
Montrer qu’il existe deux nombres complexesµ+(k) etµ−(k) tels que φscat(x, k) =µ+(k)e−ikx, ∀x≤0,
φscat(x, k) =µ−(k)eikx, ∀x≥1.
On note C+={k∈C,=m(k)≥0}. Pour toutk∈C+, on d´efinit les fonc- tions d’imp´edance p+(x, k) et p−(x, k) respectivement associ´ees aux fonctions φ+(x, k) etφ−(x, k) par les formules
p+(x, k) = φ0+(x, k) ikφ+(x, k) p−(x, k) =− φ0−(x, k) ikφ−(x, k)
Montrer que pour toutk∈C+, p+(x, k) =p+(x,−k), p−(x, k) =p−(x,−k).
Le probl`eme de diffusion inverse consiste `a d´eterminer le potentielq`a partir de la connaissance de la fonction d’imp´edance p+(0, k) pour tout k∈R. I.M.
Gel’fand et B.M. Levitan (1951) ont d´emontr´e que{p+(0, k), k∈R}d´etermine d’une mani`ere uniqueq dans une classe de fonctions plus large queC02([0,1]).
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L’objet de ce projet est de reconstruire (approximativement) le potentiel q(x), x ∈ [0,1], `a partir de la fonction d’imp´edance p+(0, kj) pour un nombre fini de fr´equences kj = jh, j = −M, . . . , M, pour une constane h > 0. La m´ethode d´ecrite ci-dessous est due `a Y. Chen et V. Rokhlin (1992).
SoitGk: [0,1]×[0,1]→Cla fonction de Green du probl`eme aux limites ψ00(x, k) +k2ψ(x, k) = 0,
ψ0(0, k) +ikψ(0, k) = 0, ψ0(1, k)−ikψ(1, k) = 0.
Montrer que le probl`eme aux limites
ψ00(x, k) + (k2+η(x))ψ(x, k) =f(x, k), ψ0(0, k) +ikψ(0, k) = 0,
ψ0(1, k)−ikψ(1, k) = 0,
avecf : [0,1]×C→C, est ´equivalent `a l’´equation int´egrale
ψ(x, k) =− Z 1
0
Gk(x, t)η(t)ψ(t, k)dt+g(x, k) avec
g(x, k) = Z 1
0
Gk(x, t)f(t, k)dt.
Montrer que la fonction de Green de l’´equation de Helmholtz ψ00(x, k) +k2ψ(x, k) = 0,
avec les conditions de radiation
ψ(0, k) +ikψ(0, k) = 0, ψ(1, k)−ikψ(1, k) = 0, est donn´ee par
Gk(x, t) = 1 2ik
( eik(t−x), x≤t, eik(x−t), x≥t.
On pose x(t) =
Z x
0
n(τ)dτ, S(t) = (1 +q(x(t)))−1/4, η(x) = S00(t)
S(t) − n0(x) 2(n(x))2, etg(t) =f(x)/S(t).
Soitφ:R×C→Csolution de
φ00(x, k) +k2(1 +q(x))φ(x, k) =f(x), x∈R.
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Montrer que la fonction ψ(t, k) = φ(x(t), k)/S(t) satisfait l’´equation de Schr¨odinger
ψ00(t, k) + (k2+η(t))ψ(t, k) =g(t), t∈R. Montrer que
p+(x, k) =n(x) ψ+0 (t, k)
ikψ+(t, k)− n0(x) 2ikn(x), p−(x, k) =−n(x) ψ−0 (t, k)
ikψ−(t, k)+ n0(x) 2ikn(x), o`uψ+(t, k) =φ+(x(t), k)/S(t) etψ−(t, k) =φ−(x(t), k)/S(t).
Montrer que
n(x) = lim
a→+∞
1 2a
Z a
−a
p+(x, k)dk,
q0(x) = lim
a→+∞
2
ia(1 +q(x)) Z a
−a
kp+(x, k)dk,
n(x) = lim
a→+∞
1 4a
Z a
−a
(p+(x, k) +p−(x, k))dk,
q0(x) = 2
π(1 +q(x)) Z ∞
−∞
(p+(x, k)−p−(x, k))dk.
On consid`ere le syst`eme d’´equations diff´erentielles
p0a+(x, k) =−ik(p2a+(x, k)−(1 +qa(x))), (1) p0a−(x, k) =ik(p2a−(x, k)−(1 +qa(x))), (2) qa0 = 2
π(1 +qa(x)) Z a
−a
(pa+(x, z)−pa−(x, z))dz, (3) avec les conditions aux limitespa+(0, k) =p+(0, k), pa−(0, k) = 1, qa(0) = 0.
Montrer que|q(x)−qa(x)| →0 lorsquea→+∞pour toutx∈[0,1].
Montrer que la discr´etisation en la variablekdes ´equations (1)-(3) aux points kj =jh, h =a/M, j =−M, . . . , M, conduit au syst`eme de 2M + 3 ´equations diff´erentielles
p0h+(x, kj) =−ikj(p2h+(x, kj)−(1 +qh(x))) p0h−(x, kj) =ikj(p2h−(x, kj)−(1 +qh(x))) qh0(x) = 4h
π (1 +qh(x)) M−1
X
j=1
<e(ph+(x, kj)−ph−(x, kj))
+12
<e(ph+(x,0)−ph−(x,0)) +<e(ph+(x, a)−ph−(x, a))
avec les conditions initialesph+(0, kj) =p+(0, kj), ph−(0, kj) = 1, qh(0) = 0.
Impl´ementer un sch´ema de Runge-Kutta d’ordre 4 pour r´esoudre ces ´equations diff´erentielles.
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Impl´ementer l’algorithme d´ecrit pr´ec´edemment pour recontruire la distribu- tion Gaussienneq(x) =e−((x−1/2)/σ)2,o`uσ= 14p
log10(e) est choisie telle que q= 0 (avec une double pr´ecision) en dehors de [0,1], `a partir dep+(0, ja/M), j=
−M, . . . , M.
Etudier la convergence de l’approximation du potentiel´ q en fonction de la fr´equencea.
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