II - Vecteur dérivé en un point, fonctions de classe C

arcs paramétrés

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I (non trivial, c’est-à-dire de longueur strictement positive) de R et à valeurs dans un R-espace vectoriel E de dimension finie n (n entier, n ≥ 2). On rappelle que les notions de limite, de continuité, de négligeabilité pour les fonctions à valeurs dans E sont indépendantes du choix de la norme dans E.

II - Vecteur dérivé en un point, fonctions de classe C

1) Définitions

Définition :soitaun point de I, on dit quef estdérivable ena si et seulement si la fonction h→ 1

h· f(a+h)−f(a)

définie sur (−a+I)\ {0}, à valeurs dans E, admet une limite finie en 0.

Cette limite est alors appeléevecteur dérivé def enaet est notée f^′(a).

Notations : f^′(a)est aussi noté Df(a) ou df dt (a).

Théorème et définition :on dit quef admet undéveloppement limité à l’ordre 1 enasi et seulement s’il existe un vecteur v deE tel que :

f(a+h) =

h→0f(a) +h.v+o(h). Si un tel développement existe, il est unique.

Théorème :f est dérivable enasi et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre 1 en a, auquel cas ledit développement s’écrit :

f(a+h) =

h→0f(a) +h.f^′(a) +o(h).

Corollaire : toute fonction dérivable enaest continue en a(la réciproque est fausse).

Définition :soit aun point de I tel que I_a^′ =I∩[a,+∞[(resp. I_a^′′ =I∩]−∞, a]) ne soit pas réduit au point a.

On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction de f à I_a^′ (resp. à I_a^′′) est dérivable ena.

S’il existe, un tel vecteur dérivé s’appellevecteur dérivé à droite (resp. à gauche) def en aet est notée f_d^′(a) (resp. f_g^′ (a)).

Définition :soitJ un intervalle inclus dansI.

On dit que f est dérivable sur J si, et seulement si, la restriction de f à J est dérivable en tout point deJ.

Dans ce cas, f^′ :J →E, t→f^′(t) est appeléeapplication dérivée def surJ. L’application f^′ est aussi notée Df ou df

dt.

Définition :on dit que f est de classe C¹ sur I si et seulement si f est dérivable sur I et la fonction dérivée f^′ est continue surI.

On désigne parC¹(I, E) l’ensemble des fonctions de classeC¹ sur I à valeurs dansE.

2) Caractérisation à l’aide des composantes

Soit B= (e1, . . . , en)une base de E,f :I →E et(f1, . . . , fn) les fonctions coordonnées de f dansB,

∀x∈I f(x) =

n

k=1

fk(x).ek.

Théorème :soita∈I. f est dérivable en asi et seulement si toutes les composantes fk def dans la base Bsont dérivables en a.

Dans ce cas,f^′(a) =

n k=1

f_k^′ (a).ek (autrement dit, les applications coordonnées def^′ sont les dérivées des applications coordonnées de f).

Dém.provient du résultat analogue sur les limites.

Conséquence :cas d’une fonction f à valeurs complexes

f est dérivable ena ⇔ Ref etImf sont dérivables en a

⇔ f est dérivable en a.

Dans ce cas,D f = Df , Df = D (Ref) +i.D (Imf).

Exemple : f :I → Mn,p(R), t→(ai j(t)) est dérivable sur I si et seulement si toutes les fonctions ai j sont dérivables sur I. Dans ce cas : ∀t∈I f^′(t) = a^′_{i j}(t) .

3) Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème : on désigne parD(I, E) l’ensemble des fonctions dérivables surI à valeurs dans E.

1) Soit (f, g)∈(D(I, E))² et λ∈R. Les fonctionsf +g etλ f sont dérivables surI et : (f +g)^′=f^′+g^′ , (λ .f)^′ =λ. f^′.

2) D(I, E) est unR-espace vectoriel et la dérivation est linéaire deD(I, E) dansE^I. C¹(I, E) est unR-espace vectoriel.

3) Soit J un intervalle deR. Siϕ∈ D(J, I) etf ∈ D(I, E), alors

f ◦ϕest dérivable sur J et (f◦ϕ)^′ =ϕ^′. f^′◦ϕ . 4) Siϕ∈ C¹(J, I) etf ∈ C¹(I, E), alorsf ◦ϕ∈ C¹(J, E).

Théorème :soitL une application linéaire deE dans unR-espace vectoriel de dimension finieF. Sif ∈ D(I, E), alors L◦f est dérivable surI et(L◦f)^′ =L◦f^′.

Si, de plus, f ∈ C¹(I, E), alorsL◦f est de classeC¹ surI.

Théorème :soient E, F, G trois R-espaces vectoriels de dimension finie, B une application bilinéaire de F×Gdans E, f ∈ D(I, F) etg∈ D(I, G).

L’application h:t→B(f(t), g(t))de I dansE est dérivable surI et

∀t∈I h^′(t) =B f^′(t), g(t) +B f(t), g^′(t) . Applications :

1) SiE est unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et sif etgsont deux éléments deD(I, E), alors les applications(f|g) et f ²₂ sont dérivables surI avec

(f|g)^′ = f^′|g + f|g^′ et f ²₂

′

= 2 f|f^′ ( . ₂ étant la norme associée au produit scalaire).

2) SiE est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, f ∈ D(I, E)et∀t∈I, f(t) ₂ = 1, alors pour tout élémenttdeI, les vecteursf(t) etf^′(t) sont orthogonaux.

En effet, l’application :t−→ f(t) ²₂ est constante (égale à 1) surI, et sa dérivée est nulle surI.

3) Sif ∈ D(I, E) etλ∈ D(I,R), alors λ.f ∈ D(I, E) et (λ.f)^′ =λ^′.f+λ.f^′. Si, de plus,λne s’annule pas surI, alors 1

λ·f est dérivable surI et 1 λ·f

′

= 1

λ² · λ. f^′−λ^′. f . (L’application : R×E →E,(λ, x)→λ.xest bilinéaire).

4) SiA etB sont deux éléments deD(I,Mn(R)), alors AB∈ D(I,Mn(R))et (AB)^′ =A^′B+AB^′. (L’application : (A, B)→AB est bilinéaire surMn(R)).

5) Le résultat se généralise aux applications multilinéaires, notamment au déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base : si B est une base de E et si les fk, 1 ≤k ≤ n sont n applications dérivables deI dansE, alors

d

dtdetB f1(t), . . . , fn(t) =

n

k=1

detB f1(t), . . . , fk−1(t), f_k^′(t), fk+1(t), . . . , fn(t) .

4) Inégalité des accroissements finis (hors programme mais classique)

Soient · une norme sur E,f continue sur[a, b], dérivable sur]a, b[etM ≥0tel que, pour tout point t de]a, b[, l’on ait f^′(t) ≤M, alors

f(b)−f(a) ≤M.|b−a|

Dém. On peut supposer a < b. Soit ε > 0, g : t → f(t)−f(a) −(M +ε)t et u fixé dans ]a, b[.

La fonction g est continue sur le segment [u, b], elle admet donc un minimum atteint en un pointc de [u, b]. Montrons par l’absurde que c=b: supposons un instantc < b, alors f est dérivable encet, par définition def^′(c) et par continuité de la norme, je dispose de t∈]c, b[ (suffisamment proche dec) tel que

1

t−c · f(t)−f(c) −ε < f^′(c) ≤M d’où

f(t)−f(c) <(M+ε) (t−c) mézalor par l’inégalité triangulaire

g(t)≤ f(t)−f(c) + f(c)−f(a) −(M+ε)t < g(c)

ce qui contredit la définition de c. Doncc=bet en particulier g(b)≤g(u), cela pour tout u de ]a, b[, donc par continuité deg en a

g(b)≤g(a) c’est-à-dire f(b)−f(a) ≤(M +ε).(b−a) cela pour toutε >0, d’où le résultat en faisant tendre εvers 0.

Applications :

•Sif est continue surI, dérivable sur˚I, f estk-lipschitzienne surI si et seulement si f^′ ≤k ;

•Sif est continue surI, dérivable sur˚I,f est constante sur I si et seulement si f^′ est nulle sur˚I. Attention ! Les résultats de la forme “il existe c ∈ ]a, b[. . . ” (théorème de Rolle, théorème des

accroissements finis,. . . ) ne subsistent pas dans le cas des fonctions à valeurs vec- torielles. Par exemple, f : t → t−t², t²−t³ est dérivable de [0,1] dans R², vérifie f(0) =f(1) = (0,0) et pourtant f^′ ne s’annule pas. . .

II

II - Fonctions de classe C

1) Dérivées successives

Définition :on définit par récurrence les dérivées successives de f :f⁽⁰⁾ =f et, pourk ∈N^∗, on dit que f est k fois dérivable si f^(k−1) est dérivable surI et on notef^(k) = f^{(k−1) ′}.

On désigne parD^k(I, E) l’ensemble des fonctionsk fois dérivables surI. Notations : f^(k)= D^k(f) = d^kf

dx^k.

Définition : a)Soit k∈N; on dit quef estde classe C^k surI si et seulement sif estk fois dérivable sur I etf^(k) continue surI.

b)f est dite de classe C^∞ si et seulement si elle est de classe C^k pour tout k de N, autrement dit indéfiniment dérivable sur I.

Notations : C⁰(I, E) : ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans E.

C^k(I, E) : ensemble des fonctions de classeC^k surI à valeurs dans E pour k∈N^∗. C^∞(I, E) : ensemble des fonctions de classe C^∞ sur I à valeurs dansE.

2) Opérations algébriques — Structures

Théorème :soitk∈N,f etg deux fonctions de I dansE etλ∈R.

sif etg sontk fois dérivables surI, alorsλ. f+g estk fois dérivable surI et : (λ .f +g)^(k)=λ .f^(k)+g^(k).

C^k(I, E) etC^∞(I, E) sont des sous-espaces vectoriels deC⁰(I, E).

Théorème :formule de Leibniz

Soit k∈N^∗,f :I →E etλ:I →R.

Sif et λsontkfois dérivables sur I, alorsλ .f est kfois dérivables sur I et (λ. f)^(k)=

k j=0

k

j λ^(j). f^(k−j).

Théorème :pour toutk∈N∪ {+∞},C^k(I,R) est une R-algèbre commutative.

Théorème :composée de fonctions de classe C^k

Soit k∈N∪ {+∞}etJ un intervalle deR.

Siϕ∈ C^k(J, I) etf ∈ C^k(I, E), alorsf ◦ϕ∈ C^k(J, E).

3) Formule de Taylor

Soient f : I → E, k fois dérivable sur I, et t ∈ I ; la formule de Taylor en t pour les fonctions de R dans R fournit des développements limités de toutes les applications coordonnées de f dans une base deE, ce qui permet d’écrire

f(t+h) =

h→0 k

j=0

h^j

j!f^(j)(t) +o h^k .

III

III - Arcs paramétrés

1) Notion d’arc paramétré

On appellearc paramétré de classeC^k tout coupleΓ = (I, F), oùI est un intervalle non trivial deRet F une application de classeC^k de I dansE,R-espace vectoriel de dimension 2 ou 3.

On appelle point de l’arc Γ = (I, F) tout couple(t, M) où t∈ I et M =F(t) (ditpoint mobile). On parle aussi dupoint de paramètre t. On peut parler du point M ou du pointF(t), mais attention aux ambiguïtés en cas de point multiple (lorsque le point M est atteint pour plusieurs valeurs de t, si F n’est pas injective. . . )

Lesupport de l’arc est lacourbe C={F(t), t∈I} (la trajectoire deF(t)).

Le point (t, M) est ditpoint régulier de l’arc si et seulement si F^′(t) =0,point birégulier de l’arc si et seulement si la famille (F^′(t), F^′′(t))est libre.

L’arc est dit régulier (resp. birégulier) si et seulement si tous ses points le sont.

Un point où F^′(t) =0 est ditpoint singulier, ou encorepoint stationnaire.

2) Demi-tangentes — Tangentes

Pourt∈I, on suppose l’existence del’entier fondamental p= min n∈N^∗/ F⁽ⁿ⁾(t) =0 . La formule de Taylor à l’ordrep appliquée àF en tdonne : F(t+h)−F(t) =

h→0

h^p

p! · F^(p)(t) +o(1) . Or le vecteur F(t+h)−F(t) dirige la demi-droite F(t)F(t+h) : pour tfixé et htendant vers 0⁺ (resp. 0⁻), cette demi-droite a donc comme position limite la demi-droite d’origineF(t) dirigée par le vecteur F^(p)(t) (demi-tangente). Si la limite est identique pour htendant vers 0 de part et d’autre, on parle dela tangente à Γen M =F(t).

En pratique, ce vecteur directeur de la tangente peut s’obtenir par calcul des dérivées successives deF, ou encore en utilisant l’unicité des développements limités.

3) Paramétrages admissibles

Soit Γ = (I, F) un arc paramétré de classeC^k (k≥1).

On dit que ϕest unchangement de paramètre admissible sur Γsi et seulement si ϕest un

C^k-difféomorphisme d’un intervalle J deRdans I (c’est-à-dire que ϕest une bijection de classe C^k de J dans I dont la dérivée ne s’annule pas ;ϕ⁻¹ est alors une bijection de classeC^k deI dans J).

Dans ce cas, on dit que l’arc paramétré(J, G), où G=F◦ϕest un paramétrage admissible deΓ.

Les deux arcs ont le même support, c’est laloi horaire de parcours de la trajectoire qui change.

(J, G) est dit de même orientation que Γsi et seulement si ϕest strictement croissante (on dit parfois que l’arc(J, G) est parcouru “dans le sens destcroissants”).

4) Caractère géométrique de certaines notions

Soit (J, G) un paramétrage admissible de Γ = (I, F), avecG=F◦ϕ.

On vérifie facilement par récurrence que, pourn∈N_k,t∈I etu∈J,

t=ϕ(u)⇒Vect F^′(t), F^′′(t), . . . , F⁽ⁿ⁾(t) = Vect G^′(u), G^′′(u), . . . , G⁽ⁿ⁾(u) . À tout point (t, M) deΓ, on associe, s’ils existent,les entiers fondamentaux p, q définis par

p= min n∈N^∗/ F⁽ⁿ⁾(t) =0 et q= min n > p / F^(p)(t), F⁽ⁿ⁾(t) libre .

La droite M + Vect F^(p)(t) est la tangente en (t, M) à Γ ; si t = ϕ(u), M = F(t) = G(u), p est aussi égal à min n∈N^∗/ G⁽ⁿ⁾(u) =0 et les droites M + Vect F^(p)(t) , M + Vect G^(p)(u) sont confondues : la notion de tangente est indépendante du paramétrage admissible choisi.

De même, dans le cas des courbes planes, pour la classification des points selon les parités de p, q :

•sip est impair,q pair : pointordinaire ;

•sip est impair,q impair : pointd’inflexion ;

•sip est pair,q impair : point de rebroussement de première espèce ;

•sip est pair,q pair : point de rebroussement de seconde espèce.

De même, bien entendu, pour les notions de point régulier (p= 1), birégulier (p= 1et q = 2).

IV

IV - Courbes planes en coordonnées cartésiennes

Soit Γ = (I, F) un arc paramétré de classeC^k,F(t) étant caractérisé, pour t∈I, par ses coordonnées x(t), y(t) dans un repère cartésien O; i, j deE.

1) Utilisation de

y^′(t) dirige la tangente et doncm(t) est le coefficient directeur de ladite tangente.

En un point stationnaire (p >1), la formule de Taylor donne x^′(t+h) =

h→0

h^p−1

(p−1)!· x^(p)(t) +o(1) et y^′(t+h) =

h→0

h^p−1

(p−1)! · y^(p)(t) +o(1) . Par conséquent, m(t+h)−→

h→0

y^(p)(t)

x^(p)(t) (±∞si x^(p)(t) = 0, car dans ce cas y^(p)(t) = 0).

Cette limite est encore le coefficient directeur de la tangente au point stationnaire M = F(t). Cette remarque peut rendre service lorsque le quotient m(t) se simplifie.

Remarquons enfin que, lorsquex^′(t) = 0,m^′(t)est du signe de[F^′(t), F^′′(t)] =x^′(t)y^′′(t)−x^′′(t)y^′(t): son annulation est une condition nécessaire et suffisante pour que F(t) ne soit pas birégulier. C’est en particulier une condition nécessaire pour queF(t) soit un point d’inflexion.

2) Branches infinies

Soit t0∈R, adhérent à I.

a) Asymptote parallèle à l’un des axes Si lim

t→t0

x(t) =aet lim

t→t0

y(t) =±∞,Γ admet l’asymptote d’équationx=a(position←sgn (x(t)−a)).

Si lim

t→t0

y(t) =bet lim

t→t0

x(t) =±∞,Γ admet l’asymptote d’équationy=b(position←sgn (y(t)−b)).

b) Recherche d’une asymptote “oblique”

Attention ! L’étude suivante n’a lieu d’être que six(t)−→

t→t0

±∞et y(t) −→

t→t0

±∞ !

•Si lim

t→t0

y(t)

x(t) =±∞,Γadmet unebranche parabolique de direction asymptotique Oy.

•Si lim

t→t0

y(t)

x(t) = 0,Γadmet une branche parabolique de direction asymptotiqueOx.

•Si lim

t→t0

y(t)

x(t) =a∈R^∗,Γadmet une branche infinie avec direction asymptotique d’équation y=ax.

∗ Si en outre lim

t→t0

y(t)−a·x(t) = ±∞, Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique d’équation y=ax.

∗ Si en outre lim

t→t0

y(t)−a·x(t) =b∈R,Γadmetl’asymptote d’équationy=ax+b. La position de la courbe par rapport à cette asymptote s’obtient par l’étude du signe de y(t)−ax(t)−b, éventuellement par l’entremise d’un développement limité.

3) Points multiples

Pour améliorer la qualité du tracé, il est souhaitable de préciser – s’il en existe – lespoints doubles : cherchert ett^′ distincts dans I tels que x(t) =x(t^′)

y(t) =y(t^′) .

4) Plan d’étude globale

•Penser à restreindre si possible l’intervalle d’étude (arguments de périodicité, parité, symétrie,. . . ).

Commencer par réduire l’amplitudede l’intervalle, avant de le “couper en deux” après avoir fixé son centre.

•Étudier les variations des deux fonctions x ety.

•Préciser la nature des points stationnaires, les tangentes en ces points et la position de la courbe par rapport à ces tangentes.

•Préciser les branches infinies et la position de la courbe par rapport aux asymptotes éventuelles.

•Ébaucher le tracé de la courbe.

•Options : points doubles, points d’inflexion.

Exemples:

a)Astroïde : x(t) =acos³t

y(t) =asin³t ; b)







x(t) = 2t+ 1 t² y(t) =t²+ 1

t² c)Cardioïde : x(t) =a(2 cost+ cos 2t)

y(t) =a(2 sint+ sin 2t)

V

V - Longueur d’un arc de classe C

1) Définition

Soit Γ = ([a, b], F) un arc paramétré de classe C¹ (oùa < b).

E est muni d’une norme · .

Lalongueur deΓ (relativement à · ) est ℓ(Γ) =

b a

F^′(t) dt.

2) Exemples avec la norme euclidienne canonique

•dans le plan : ellipse : t→(acost, bsint); cardioïde : t→(2 cost+ cos 2t,2 sint+ sin 2t)

•dans l’espace : hélice circulaire : t→ rcost, rsint, p 2π ·t

VI

VI - Enveloppe d’une famille de droites (complément hors programme)

Étant donnée une famille de droites(Dt)_t∈I d’un plan, on cherche une courbe tangente à chacune des Dt ,t∈I. Si chaque Dt est donnée par une équation cartésienne dans un repère O; i, j

Dt/ u(t)x+v(t)y+w(t) = 0,

on cherche un arc Γ paramétré parF :t→(x(t), y(t)), de classeC¹ sur I, telle que, pour tout t dans I,Dt soit la tangente àΓ enF(t) ; on en déduit lacondition nécessaire :

∀t∈I u(t)x(t) +v(t)y(t) +w(t) = 0 (1) u(t)x^′(t) +v(t)y^′(t) = 0 (2) .

(L’égalité(1)traduit le fait queF(t)est un point deDt, l’égalité(2)le fait que le vecteurF^′(t)appar- tient à la direction deDt : siF^′(t)n’est pas le vecteur nul, ces deux égalités montrent réciproquement que Dt est la tangente à Γ au pointF(t).)

Dans le cas particulier où les fonctions u, v, w sont de classeC¹ sur I, on obtient, en dérivant (1)et en retranchant (2), la nouvelle condition nécessaire :

∀t∈I u(t)x(t) +v(t)y(t) +w(t) = 0 (Et) u^′(t)x(t) +v^′(t)y(t) +w^′(t) = 0 (E_t^′) .

Si en outre, uv^′−u^′v ne s’annule pas surI, on en déduit (x(t), y(t))par résolution d’un système de Cramer. Dans ce cas favorable, les fonctions x, y ainsi définies sont de classe C¹ (cf. les formules de Cramer) et en tout point régulier de l’arc paramétré par F :t →(x(t), y(t)), Dt est la tangente à Γ au point F(t) ! (On obtient(2) en dérivant (Et)et en retranchant (E^′_t) . . . )

Exemple : enveloppe de la famille des droites(AB)oùAsur l’axeOxetBsur l’axeOyvérifientAB=a constante positive donnée (cf. une échelle glissant le long d’un mur).