Mouvements à force centrale et dans des champs newtoniens 1. Mouvement à force centrale :
Un mobile de masse m est soumis de la part d'un point fixe O à une force centrale de forme : F = f(r) er. Montrer que le mouvement répond aux deux formules de Binet (voir cours).
En déduire l'expression de la force centrale F lorsque l'équation de la trajectoire est : a) r = a.expq b) r = p / (1+e cosq) avec p > 0.
R : a) f(r) = 1/r3 ; b) f(r) = 1/r2.
2. Mouvement d’un satellite terrestre :
On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6400 km et de masse M et la satellite à un point matériel(S, m). On suppose le référentiel géocentrique galiléen. G = 6,67.10-11u.s.i..
1°) Montrer que le moment cinétique Len O du satellite est une constante du mouvement. On utilise les coordonnées cylindriques (O, r, q, z) avec ez
tel queL Le z .
Montrer que le mouvement est plan et exprimer la quantité r²dq/dt en fonction de L et m. Comment nomme-t-on cette grandeur ?
2°) Méthode de Binet. On note C r ²q et l’on pose : u = 1/r.
Montrer que la vitesse du satellite peut s’écrire : du r v C e Cue
dq q
En exploitant la conservation de l’énergie mécanique, établir l’équation différentielle : ²
² ²
d u GM dq u C .
Montrer que l’équation polaire de la trajectoire peut se mettre sous la forme : e
o
r p
q q q
cos . ) 1
( .
Exprimer le paramètre p et l’excentricité e de cette trajectoire.
3°) Seconde méthode : vecteur excentricité. Montrer que le vecteur : v GmM e L
e q est une constante du mouvement (le vecteur v
étant la vitesse du satellite).
On choisit l’origine des angles polaires pour avoir q
e,eq
.Montrer que l’équation de la trajectoire peut se mettre sous la forme : q q
cos . ) 1
( e
r p
où e est la norme du vecteur excentricité. Tracer l’allure de cette trajectoire elliptique.
4°) Application : trajectoire du satellite Hipparcos. Ce satellite d’observations astronomiques devait être placé sur une orbite géostationnaire, à une altitude H = 36000 km. Un problème de mise à feu du moteur d’apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert.
L’utilisation des moteurs de positionnement a permis de le placer finalement sur une orbite elliptique de grande excentricité, son altitude variant entre h = 500 km(périgée) et H = 36000 km (apogée).
Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R. Calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
R : 1°) 2°) 3°) voir cours. 4°) h + R = p/(1+e) et H + R = p/(1-e) ; on tire p = 1,2.104 km et e = 0,72.
3. Vitesses de périhélie et d'aphélie :
La trajectoire de la Terre autour du Soleil est une ellipse d'excentricité e = 0,0167 et de demi-grand axe a = 1,50.1011 m. La durée de révolution est de T = 365,25 jours terrestres. Calculer les valeurs maximales et minimales de la vitesse de la Terre sur son orbite.
R : en utilisant l'équation polaire d'une ellipse on écrit les rayons des périhélie et aphélie
ra = a(1 + e) et rp = a(1 - e). Par la loi des aires : s/m = va.ra = vp.rp = C = 2(pab)/T. Les valeurs a,b,c et e caractérisant l'ellipse sont liées par : c² = a² - b² et e = c/a. D'où va et vp. A.N.: va = 29,4.103 m/s et vp = 30,4.103 m/s.
4. Durée d’une saison :
La Terre suit une orbite légèrement elliptique autour du Soleil, d’excentricité e = 0,0167. Sa vitesse de périhélie vaut vp = 30,4.103 m.s-1 et le paramètre p de sa trajectoire vaut p = 1,49.1011 m.On définit la saison « été » comme la durée séparant le passage de la Terre par la position de Solstice d’été SE et par la position d’équinoxe d’automne EA. Calculer précisément la durée de l’été. Comparer à la durée de l’hiver,
défini de façon analogue comme la durée séparant le passage de la Terre par la position de Solstice d’hiver SH et par la position d’équinoxe de printemps EP.
R : C = r².(dθ/dt) permet de tirer par intégration :
2
1
² t r d
C
q q
q
. C = rp.vp avrc rp = p / (1+ e).L’intégrale peut se calculer avec un développement limité (compte tenu de e << 1).
Δtété = 7,66.106 s et Δthiver = 7,99.106 s.
5. Masse de la Terre :
Le champ de gravitation à la surface de la Terre est g = 9,81 m/s², le rayon terrestre R = 6,40.10 6 m, la constante de gravitation universelle G = 6,672.10-11 u.s.i. En déduire la masse de la Terre supposée sphérique et homogène. Comparer le résultat obtenu avec celui déduit de l'étude du mouvement de la Lune : celle-ci, située à la distance a = 3,86.108 m du centre de la Terre effectue un tour complet autour de la Terre en environ 2,36.106 s (27 jours et 7 heures). On admet que le centre de la Terre peut être considéré comme l'origine d'un référentiel galiléen.
R : Par le th. de Gauss : m = gR²/G. Par l'étude du mouvement de la Lune : m = 4p²a3/kT². D'où m = 6,02.1024 kg.
6. Energie sur une orbite elliptique ; retour d'un satellite :
1°) Un satellite artificiel de la Terre de masse m est placé sur une orbite elliptique. Ecrire l'expression de son énergie mécanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonnée radiale r. Montrer que les coordonnées radiales ra et rp de l'apogée et du périgée sont racines d'une équation du second degré dont les coefficients s'expriment en fonction de l'énergie mécanique et de la constante des aires. En déduire l'expression de l'énergie mécanique en fonction du demi-grand axe a de l'ellipse et établir la relation : v² = go R².[(2/r) - (1/a)], où go est le champ de gravitation terrestre au sol et R le rayon terrestre.
2°) Le satellite est initialement situé sur une orbite circulaire de rayon ro ; déterminer sa vitesse vo. A son passage par un point A de l'orbite, on exerce sur le satellite dans la direction de son vecteur vitesse et de façon quasi instantanée une force qui le ralentit (rétro-fusées) ; déterminer la vitesse v1 qu'il doit prendre pour atteindre la Terre en un point B tel que l'angle (AOB) vaille p/2. Calculer la variation d'énergie cinétique subie par le satellite.
R : 1°) voir cours. ra et rp sont les racines de l'équation : Er² + G.m.Mterre.r - m.C²/2 = 0. 2°) orbite circulaire on a : r = ro = a, d'où vo par la relation précédente. En utilisant l'équation polaire de l'ellipse, avec p = R et e = 1 - R/ro ainsi que la relation précédente, on tire v1 = (go R3/ro2)1/2.
7. Trajectoire hyperbolique - fronde gravitationnelle :
Un vaisseau spatial V de masse m, a une vitesse vo lorsqu’il se trouve très éloigné d’un planète de masse M, centrée en O. On note b la distance entre la droite support de la trajectoire incidente et le point O.
1°) Exprimer le moment cinétique du vaisseau spatial par rapport à O, et montrer que c’est une constante du mouvement.
2°) Montrer que le vecteur excentricité :
² r
p e
GMm
s
est invariant. Etablir l’équation de la trajectoire suivie par le vaisseau à partir du produit scalaire r. où rest le vecteur position, et montrer que l’on obtient une trajectoire hyperbolique.
3°) Loin de O, la trajectoire se confond avec les asymptotes. Venant de la direction de la première asymptote, il repart dans la direction de la deuxième. Son vecteur vitesse a donc tourné d’un angle . On
SE SH
EA EP
prend la direction du vecteur excentricité comme axe (Ox). En écrivant la nullité de la projection du vecteur excentricité sur l’axe (Oy), en déduire la valeur de l’angle .
La sonde spatiale Voyageur 2, dans les années 1980, a profité de ce phénomène pour réaliser l’exploration des planètes lointaines du système solaire, en utilisant l’interaction gravitationnelle avec les planètes successivement rencontrées pour modifier sa trajectoire sans consommer de carburant.
R : Voir cours (force centrale). s = mvob. r = p/(1 + .cosq). tan(/2) = GM/bvo².
8. Rentrée d’un satellite dans l’atmosphère :
Un satellite de masse m = 1 tonne, décrit une orbite circulaire autour de la Terre de masse M = 6.1024kg, de rayon 6400 km.
1°) La période du satellite est de 1h 30 mn. Calculer son altitude.
2°) Les couches raréfiées de l’atmosphère induisent une force de frottement f = -kv où k = cste.
a) donner l’équation différentielle du premier ordre d’évolution du moment cinétique.
b) En déduire que la trajectoire est plane.
c) Le frottement étant faible, montrer que s = so(1 – t/) en précisant la valeur de la constante de temps .
d) étant grand devant la période T, on admettra que la trajectoire est un cercle dont le rayon varie lentement avec le temps. Montrer que r = ro (1 – 2t/)
e) Lors de la mission Skylab, l’altitude du satellite diminuait de 14 km par jour. En déduire l’ordre de grandeur de . Donner la relation d’évolution de la vitesse en fonction de vo , et t.
f) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique d’un satellite en orbite circulaire. Evaluer la perte d’énergie sur un tour au début de la chute.
g) En admettant que cette énergie calorifique échauffe le nez du satellite, recouvert d’une protection thermique en surface, constituée d’une couche de céramique de masse 20 kg, de chaleur massique c = 5 kJ / kg, déterminer l’augmentation de la température sur une période.
R : H = 260 km. Par le TMC : ds / dt = -ks / m. D’où s = soexp(-t/) et faire un DL1. = 22000 h = 2,5 ans. E = -GMm/2r = (-GMm/2ro) (1 + 2t/) par un DL1. Sur la durée d’un tour t = T : E = 4260 kJ et donc T = 40 °C.
9. Satellite circulaire. Frottement dans la haute atmosphère.
Un satellite artificiel, de masse m, décrit autour de la Terre, supposée sphérique, de masse M, de rayon R, une orbite circulaire de rayon R + z. (z est l'altitude du satellite). On note go l'accélération de la pesanteur au niveau du sol.
1°) Déterminer : a) la vitesse du satellite, b) l'énergie mécanique totale du satellite, c) le module du moment cinétique so par rapport au centre de la Terre, d) la durée d'un tour, e) l'altitude zo pour laquelle le satellite qui tourne autour de la Terre dans le plan de l'équateur reste toujours au dessus du même point terrestre. (cas d'un satellite géostationnaire de télécommunication). Quelle est la durée d’une révolution ? Comparer à la période de révolution d’un satellite sur orbite basse.
2°) A la suite des interactions avec les hautes couches de l'atmosphère, le satellite est soumis à une force de frottement : f = k.m.v²/z ; opposée à la vitesse. On supposera que f est inférieure au poids mg du satellite, donc qu'au bout d'un tour, l'altitude ne subit qu'une petite variation z, le mouvement du satellite restant pratiquement circulaire, de rayon R + z. Exprimer :
a) la variation v de la vitesse en fonction de z et T, la période de révolution,
b) le coefficient k en fonction de R, z et z. Pourquoi la vitesse du satellite augmente-t-elle ? c) le travail des forces de frottement à chaque tour.
3°) La résultante des forces de frottement visqueux sur les couches supérieures de l'atmosphère est de forme f = fo.vn. (fo et n sont des constantes positives). Ces frottements entraînent une faible variation de l'altitude du satellite pendant le temps dt : dz = -Cdt (C est une constante positive).
Déterminer n et exprimer fo en fonction de m, C, go et et R.
R : 1°) (a) v = R(go/R + z)1/2 ; (b) E = -(1/2) mgo.R²/(R + z) ; (c) so = mR (go.(R + z))1/2 (d) T = 2p.(R + z)3/2 / RÖgo ;
(e) T(sat) = T(sidéral) = 86164 s donc z = (go T²R²/4p²)1/3 - R.
2°) (a) v = - (p/T).z ; (b) par le th. du moment cinétique, on tire k = -zz/4p(R + z)² ;
(c) W = -2p kmgo R²/z = (1/2)mgo(R/R + z)².z , remarquons que W = E, qui se vérifie en différentiant l'expression de E.(l'énergie mécanique s'est tranformée en énergie thermique par frottements et est dissipée sous forme de chaleur).
3°) En écrivant que E = W et en utilisant des relations précédentes, on tire : f = -(mC/2goR²).v3.
10. Passage d'une orbite basse à une orbite géostationnaire :
1°) Exprimer les vitesses d'un satellite de la Terre à ses passages par l'apogée et le périgée de sa trajectoire en fonction des coordonnées radiales de ces deux points.
2°) Application : Le satellite est placé sur une orbite circulaire à l'altitude de 300 km. Déterminer sa vitesse. On fait varier brusquement celle-ci dans la direction tangentielle ; déterminer la variation de vitesse nécessaire pour que l'orbite devienne une ellipse d'apogée située à 42000 km du centre de la Terre.
Au passage à l'apogée, on communique au satellite une variation de vitesse afin que que son orbite devienne circulaire et de rayon 42000 km ; déterminer la nouvelle variation de vitesse.
On prendra : go = 10 m/s² et R = 6,4.106 m comme rayon terrestre. Faire un schéma présentant les positions relatives des trois orbites mentionnées.
R : 1°) voir exercice 6 (1°). On tire va = (2GMrp / ra.(ra + rp))1/2 et de même vp = (2GMra / rp.(ra + rp))1/2.
2°) Les vitesses du satellite sur les trajectoires circulaires de rayons ra et rp sont respectivement :
v'a = (GM/ra)1/2 et v'p = (GM/rp)1/2 . Puisque ra < rp on a v'p < vp et va < v'a. Les variations des vitesses cherchées sont : vp - v'p sur l'orbite circulaire basse pour passer sur l'orbite elliptique et v'a - va pour passer de l'orbite elliptique à l'orbite circulaire haute.
11. Lancement raté d'un satellite.
Le lancement d'un satellite terrestre de masse m sur une orbite circulaire a été manqué : au point de mise en orbite, le vecteur vitesse Vo a bien le module correspondant à une orbite circulaire de rayon ro, mais il fait l'angle avec la direction orthoradiale prévue. L’orbite effective est alors une ellipse d’quation polaire : r = p / (1 + e.cosq)
1°) a) Calculer la vitesse Vo en fonction de la constante de gravitation G et de la masse terrestre M.
b) On donne la deuxième formule de Binet : u er d
u u d
C
²
² ²
² q
avec u = 1/r.
Calculer le paramètre p de l’orbite elliptique obtenue.
2°) L’énergie d’une orbite elliptique vaut E = -GMm / 2a où a est le demi grand axe de l’ellipse. On précise que a = p / (1- e²). Calculer e, et déterminer ainsi les coordonnées radiales du périgée et de l'apogée de la trajectoire en fonction de ro et . Calculer les vitesses de périgée et d’apogée. On prendra la demi- doite (OA) comme origine des angles polaires.
3°) On rappelle l’expression du vecteur excentricité :
² r
p e
GMm
s , vecteur invariant dont la norme est
égale à e. Retrouver la valeur d’excentricité obtenue au 2°).
4°) Calculer la période To attendue si la mise en orbite circulaire avait réussi. Comparer à la période T effectivement obtenue.
R : 1°) par la RFD : Vo = (GM/ro)1/2.
p = C²/GM (par la 2° formule de Binet) soit comme C = s / m = roVocos, p = rocos². 2°) Calculer E vues les conditions initiales. On déduit a = ro d’où e = |sin|.
autre méthode : En dérivant l'équation polaire par rapport au temps, et compte tenu des conditions initiales et de C = r²q. : e.sinqo/p = -tan/ro par ailleurs l'équation polaire donne : e.cosqo = (1/p) - (1/ro) = tan²/ro. D'où e = | sin |.
En utilisant l'équation polaire de l'ellipse : ra = p/(1 - e) et rp = p/(1 + e).
C = ra.va = rpvp = roVo.cos d’où va et vp. 4°) 3° Loi de Kepler. T et To identiques.
