Examen 2 (solutions)(pas fini!) 201-NYB Calcul Int´ egral

Examen 2 (solutions)(pas fini!) 201-NYB Calcul Int´ egral

14 d´ ecembre 2007 Professeur : Dimitri Zuchowski

Question 1.

a) Z

xe

dx = xe

− Z

e

dx = xe

− e

+ C u = x dv = e

dx du = dx v = e

b)

Z x + 3

(x − 1)(x + 5) dx A

x − 1 + B

x + 5 = A(x + 5) + B(x − 1)

(x − 1)(x + 5) = x + 3 (x − 1)(x + 5)

=

Z 2

3(x − 1) + 1

3(x + 5) dx x = 1 ⇒ A = 2

3 et x = −5 ⇒ B = 1 3 2 ln |x − 1|

3 + ln |x + 5|

3 + C

c) Z

csc

x cot

x dx = Z

csc

x cot

x csc x cot x dx u = csc x

= Z

csc

x(csc

x − 1) csc x cot x dx = − Z

u

(u

− 1) du du = − csc x cot xdx

− u

7 + u

5 + C = − csc

x

7 + csc

x 5 + C

d) I =

Z

e

sin x dx = −e

cos x + 5 Z

e

cos x dx u = e

dv = sin xdx du = 5e

dx v = − cos x

= −e

cos x + 5

e

sin x − 5 Z

e

sin x dx

u = e

dv = cos xdx du = 5e

dx v = sin x

= −e

cos x + 5e

sin x − 25I

⇒ I = −e

cos x + 5e

sin x

26 + C

1

page 2 Examen 2 (solutions)(pas fini!)

e)

Z x

√

4 − 2x

dx =

Z 2

sin

θ cos θdθ 2

cos θ

x = 2 sin θ

√ 2 dx = 2 cos θ

√ 2 dθ p 4 − 2x

= 2 cos θ

= 2 Z

sin

θdθ = 2 Z

(1 − cos

θ) sin θdθ = −2 Z

(1 − u

)du

= −2 cos θ + 2 cos

3 + C = − p

4 − 2x

+

p (4 − 2x

)

3 · 2

+ C u = cos θ du = − sin θ

f) Z

x

arctan(x

) dx y = x

, dy = 2xdx

= 1 2

Z

y arctan(y) dx = 1 2

y

arctan y

2 − 1

2

Z y

1 + y

dy

u = arctan y dv = ydy du = dy

1 + y

v = y

2

= x

arctan x

4 − 1

4 Z

1 − 1 1 + y

dy

= x

arctan x

4 − x

4 − arctan x

4 + C

g) Z

sin

(2x) cos

x dx = 1 2

Z

sin

(2x)(1 + cos(2x)) dx u = cos(2x)

= 1 2

Z

sin

(2x)(1 + cos(2x)) sin(2x) dx du = 2 sin(2x)dx

= 1 2

Z

(1 − cos

(2x))(1 + cos(2x)) sin(2x) dx

= 1 4

Z

(1 − u

)(1 + u) du = 1 4

Z

1 + u − u

− u

du cos(2x)

4 + cos

(2x)

8 − cos

(2x)

12 − cos

(2x) 16 + C

Calcul Int´ egral – 201-NYB – Hiver 2007

Examen 2 (solutions)(pas fini!) page 3

h) Z

p e

− 4 dx = Z √

u

− 4 u du =

Z 2

tan θ sec θ tan θdθ 2 sec θ

u = e

du = e

dx u = 2 sec θ du = 2 sec θ tan θ

√

u

− 4 = 2 tan θ

= 2 Z

sec

θ − 1dθ

= 2 tan θ − 2θ + C = p

e

− 4 − 2 arctan

√ e

− 4

2

! + C

i) ^x

3

− 2x

+ x + 3

(2 + x

)(x + 1)

= A

(x + 1) + B

(x + 1)

+ Cx + D

x

+ 2 = A(x + 1)(x

+ 2) + B(x

+ 2) + (Cx + D)(x + 1)

(2 + x

)(x + 1)

En posant x = −1, on a que −1 − 2 − 1 + 3 = −1 = B(1 + 2) d’o` u B = −

.

x

− 2x

+ x + 3 = A(x

+ x

+ 2x + 2) − 1/3(x

+ 2) + C(x

+ 2x

+ x) + D(x

+ 2x + 1)

= (A + C)x

+

A − 1

3 + 2C + D

x

+ (2A + C + 2D)x +

2A − 2 3 + D

En isolant C et D de la premi` ere et derni` ere ´ egalit´ e, on obtient C = (1 − A) et D = 11

3 − 2A

et en remettant ¸ ca dans la troisi` eme ´ egalit´ e on obtient

2A + (1 − A) + 2 11

3 − 2A

= −3A + 25

3 = 1 = ⇒ A =

= ⇒ C = −

= ⇒ D = −

. Z x

− 2x

+ x + 3

(2 + x

)(x + 1)

dx =

Z 22

9(x + 1) − 1

3(x + 1)

− 13x + 11 (x

+ 2) dx

= 22 ln |x + 1|

9 + 1

3(x + 1) − 13 ln |x

+ 2|

2 − 11

√ 2 arctan x

√ 2

+ C

j)

Z 1 + cos x

e

dx = −(1 + cos x)e

2 + 1

2 Z

e

sin xdx

u = 1 + cos x dv = e

dx du = − sin xdx v = − e

2 mais I =

Z

e

sin xdx = − e

sin x

2 + 1

2 Z

e

cos xdx

u = sin x dv = e

dx du = cos xdx v = − e

2

− e

sin x

2 + 1

2

− e

cos x

2 − 1

2 I

= . . .

u = cos x dv = e

dx du = − sin xdx v = − e

2

Calcul Int´ egral – 201-NYB – Hiver 2007