L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚14 Variables al´ eatoires discr` etes
Exercice 194 : On lance un d´e cubique ordinaire jusqu’`a obtenir un 6 et on appelleX le nombre de lancers n´ecessaires.
1. D´eterminer la loi deX,E(X) et V(X).
2. D´eterminer le plus petit entierntel queP(X ≤n)≥0,99.
Exercice 195 : Le nombre d’appels t´el´ephoniques re¸cus par heure par un standardiste est mod´elis´e par une variable al´eatoireX suivant une loi de Poisson de param`etre 7.
1. Rappeler l’expression de la loi de X.
2. Calculer la probabilit´e d’avoir au moins 5 appels par heure.
3. Calculer le nombre moyen d’appels par heure.
Exercice 196 : Un automobiliste doit d´evisser dans le brouillard les boulons d’une roue de sa voiture. Il utilise une croix dont les quatre extr´emit´es sont des cl´es de taille diff´erente, indiscernables au toucher.
1. Il proc`ede au hasard, sans m´ethode. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre d’essais r´ealis´es jusqu’`a ce qu’il trouve la bonne cl´e. Donner la loi deX, son esp´erance et sa variance.
2. Il proc`ede cette fois au hasard, mais en ´eliminant les extr´emit´es d´ej`a test´ees. SoitY la variable al´eatoire
´
egale au nombre d’essais r´ealis´es jusqu’`a ce qu’il trouve la bonne cl´e. Donner la loi deY, son esp´erance et sa variance.
Exercice 197 : Soit X une variable al´eatoire suivant une loi g´eom´etrique de param`etre p, avec p ∈]0,1[.
CalculerP(X > k) pour toutk∈N.
Exercice 198 : SoitX une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ >0. Montrer que la variable al´eatoireY = 1
X+ 1 admet une esp´erance et la calculer.
Exercice 199 : Soit X une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) telle que X(Ω) = N et v´erifiant :
∀k∈N∗ P([X =k]) = 4
k P([X =k−1]).
Montrer queX suit une loi de Poisson dont on d´eterminera le param`etre.
F Exercice 200 : Soit X une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) telle que X(Ω) ⊂ N. On d´efinit la variable al´eatoireY par :
( Y =X siXest impair Y = X
2 siXest pair.
1. D´eterminer la loi deY siX suit une loi de Poisson de param`etreλ >0.
1
2. D´eterminer la loi deY siX suit une loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[.
F Exercice 201
1. (a) Soitλ >0. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral λ2k
(2k)! converge et que
+∞
X
k=0
λ2k
(2k)! = eλ+e−λ
2 .
(b) SoitX une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etreλ >0.
i. Calculer
+∞
X
k=0
P([X = 2k]).
ii. X a-t-elle plus de chance d’ˆetre paire ou impaire ?
2. Reprendre les questions de 1.(b), en supposant cette fois que X suit une loi g´eom´etrique de param`etre p∈]0,1[.
2
