LOGIQUE ET LOGIQUE ET PROGRAMMATION LOGIQUEPROGRAMMATION LOGIQUE

(1)

11

LOGIQUE ET LOGIQUE ET

PROGRAMMATION LOGIQUE PROGRAMMATION LOGIQUE

Nadia KABACHI Nadia KABACHI

Maître de Conférences Maître de Conférences

UFR d’Informatique UFR d’Informatique

Nadia.Kabachi@univ-lyon1.fr Nadia.Kabachi@univ-lyon1.fr

(2)

22

PLANPLAN

 INTRODUCTIONINTRODUCTION

 LOGIQUE DES PROPOSITIONSLOGIQUE DES PROPOSITIONS

 LOGIQUE DU PREMIER ORDRELOGIQUE DU PREMIER ORDRE

 PROLOGPROLOG

LE COURS DE LOGIQUE EST BASE SUR LE COURS DE NARENDRA JUSSIEN

(3)

33

Définition Définition

(4)

44

Historique Historique

(5)

55

Logique des propositions Logique des propositions

Notion de proposition

(6)

66

Notion de valeur de vérité

(7)

77

 Comment écrire les formules?Comment écrire les formules?

Aspects syntaxiques Aspects syntaxiques

 Comment déterminer la valeur de vérité d’une Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ?

formule ? Aspects sémantiquesAspects sémantiques

 Existe-t-il un lien entre logique et mathématique? Existe-t-il un lien entre logique et mathématique?

Aspects algébriques (Mr G. Boole) Aspects algébriques (Mr G. Boole)

 Comment démontrer (automatiquement) de nouveaux Comment démontrer (automatiquement) de nouveaux résultats ? Aspects déductifs

résultats ? Aspects déductifs

Étude du calcul propositionnel

Quatre étapes Quatre étapes

(8)

88

Aspects syntaxiques Les données

(9)

99

Aspects syntaxiques

F l’ensemble des formules du calcul propositionnel

K

(10)

1010

 Supprimer les parenthèses entourant les Supprimer les parenthèses entourant les variables

variables

 Tenir compte de la priorité des connecteurs Tenir compte de la priorité des connecteurs ordre standard : ¬,

ordre standard : ¬, ∧, ∨∧, ∨, →, ↔ , →, ↔

 Considérer qu’un opérateur unaire Considérer qu’un opérateur unaire

l’«emporte» toujours sur un opérateur binaire l’«emporte» toujours sur un opérateur binaire

Règles d’élimination des parenthèses

(11)

1111

Aspects sémantiques Valeurs de vérité

(12)

1212

Table de vérités

Aspects sémantiques

(13)

1313

Aspects sémantiques

(14)

1414

⁾? ?

( )

( p  q  p  q



p q ¬ p ¬ q p  q ¬ ( p  q ) (¬ p  ¬ q) F 0 0

0 1 1 0 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 1

 0 1 0

1

0 1

1 1 0

0 1 1 1

 0 1 0

1 0 1

0

1 1

1

1 0 0 1

 0 1 0

1 1 1 1 0 1

Calcul propositionnel

(15)

1515

 NB : on dit aussi que F est consistante. NB : on dit aussi que F est consistante.

Aspects sémantiques Formules particulières

(16)

1616

Aspects sémantiques Exemple : On considère : (¬p → q) ∧ (q ↔ r)

p q r ¬p ¬p → q q ↔ r (¬p → q) ∧ (q ↔ r) 00

00 00 00 11 11 11 11

00 00 11 11 00 00 11 11

00 11 00 11 00 11 00 11

11 11 11 11 00 00 00 00

00 00 11 11 11 11 11 11

11 00 00 11 11 00 00 11

00 00 00 11 11 00 00 11

(17)

1717

NB : on dit aussi que F est

NB : on dit aussi que F est inconsistante, inconsistante, contradictoire, ou encore insatisﬁable.

contradictoire, ou encore insatisﬁable.

(18)

1818

(19)

1919

 p → q et ¬p p → q et ¬p ∨∨ q sont tautologiquement q sont tautologiquement équivalentes. On peut donc écrire :

équivalentes. On peut donc écrire : ├

├ (p → q) ↔ (¬p (p → q) ↔ (¬p ∨∨ q). q).

(20)

2020

Équivalences tautologiques bien connues

(21)

2121

(22)

2222

(23)

2323

(24)

2424

Aspects syntaxiques Formes normales

 NB : si dans chaque Hi ﬁgurent toutes les variables ou NB : si dans chaque Hi ﬁgurent toutes les variables ou leur négation, on parle de forme canonique

leur négation, on parle de forme canonique

(25)

2525

Aspects syntaxiques Forme normale disjonctive

A faire pour le TD

(26)

2626

Aspects syntaxiques Forme normale conjonctive

A retenir : La forme normale conjonctive est aussi appelée forme A retenir : La forme normale conjonctive est aussi appelée forme

clausale clausale

(27)

2727

Aspects déductifs Notion de conséquence

NB : Une conséquence logique de est une tautologie∅

(28)

2828

Aspects déductifs Notion de conséquence

(29)

2929

Aspects déductifs Systèmes formels

(30)

3030

Aspects déductifs

Systèmes formels : Démonstrations et théorèmes

NB : Différence entre conséquence logique et démonstration

(31)

3131

Aspects déductifs Prise en compte d’hypothèses

NB : On dit aussi que J est un modèle de A.

(32)

3232

Aspects déductifs Principales règles d’inférences

(33)

3333

Propriétés d’un système formel : théorèmes

 Un système formel est Un système formel est correctcorrect ssi ssi si

si AA alors alors AA

– tout ce qui est démontrable est vraitout ce qui est démontrable est vrai

 Un système formel est Un système formel est completcomplet ssi ssi si

si AA alors alors AA

– tout ce qui est vrai est démontrabletout ce qui est vrai est démontrable

(34)

3434

Aspects déductifs Limites du calcul propositionnel

(35)

3535

Être plus proche du langage naturel

 NB : dans un langage du second ordre, on peut aussi quantiﬁer les NB : dans un langage du second ordre, on peut aussi quantiﬁer les relations et les fonctions

relations et les fonctions

(36)

3636

Calcul des prédicats Calcul des prédicats

 Comment écrire les formules ?Comment écrire les formules ?

– Aspects syntaxiquesAspects syntaxiques

 Comment déterminer la valeur de vérité d’une Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ?

formule ?

– Aspects sémantiquesAspects sémantiques

 Comment démontrer de nouveaux résultats ? Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects déductifs

Aspects déductifs

Logique du premier ordre Logique du premier ordre

(37)

3737

Une modélisation Une modélisation

– Les chandelles sont faites pour éclairerLes chandelles sont faites pour éclairer

– Quelques chandelles éclairent très malQuelques chandelles éclairent très mal

– Quelques objets qui sont faits pour éclairer le Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très mal

font très mal

) ( )

(

, chandelle x éclaireMal x

x 



) ( )

(

, chandelle x éclaire x

x 



) ( )

(

, éclaire x éclaireMal x

x 



Calcul des prédicats

(38)

3838

Syntaxe Syntaxe

Alphabet

(39)

3939

Syntaxe Syntaxe

Alphabet

(40)

4040

Vocabulaire Vocabulaire

 Les Les termestermes

– les les variables variables et les et les constantesconstantes sont des sont des termestermes – f(tf(t₁₁, …, t, …, t_n_n) est un terme si ) est un terme si

 les les tt_i_i sont des sont des termestermes

 ff est un symbole de est un symbole de fonctionfonction d’arité n d’arité n

 Les Les atomesatomes

– R(tR(t₁₁, …, t, …, t_n_n) est un atome si ) est un atome si

 les tles t_i_i sont des sont des termestermes

 RR est un symbole de est un symbole de relationrelation d’arité n d’arité n

(41)

4141

Formules Formules

 Un atome est une Un atome est une formuleformule

 Si Si FF et et GG sont des formules et sont des formules et xx une une

variable, alors les expressions suivantes variable, alors les expressions suivantes

sont des

sont des formulesformules

 ((FF))

– ((FF) )  (₍GG) et () et (FF) )  (₍GG) ) – ((FF) )  (₍GG) et () et (FF) )  (₍GG))

 x_x ( (FF) et ) et x_x ( (GG))

(42)

4242

Formules Formules

(43)

4343

(44)

4444

(45)

4545

(46)

4646

Occurrence d’une variable Occurrence d’une variable

 Une Une occurrenceoccurrence d’une variable d’une variable x x dans une dans une formule

formule FF est un est un endroitendroit où où xx apparaît dans apparaît dans FF sans être immédiatement précédée par sans être immédiatement précédée par  ou ou 

 Une occurrence Une occurrence libre libre de de xx dans dans F F est est définie :

définie :

(47)

4747

Occurrence libre Occurrence libre

(48)

4848

Caractéristiques des variables Caractéristiques des variables

 Une variable est dite Une variable est dite librelibre dans une formule dans une formule F F si elle a au moins une occurrence libre si elle a au moins une occurrence libre

(sinon on dit qu’elle est

(sinon on dit qu’elle est liéeliée))

 Une formule n’ayant pas de variable libre Une formule n’ayant pas de variable libre est dite

est dite closeclose

(49)

4949

(50)

5050

Suite en TD

(51)

5151

Notion de substitution

(52)

5252

Aspects sémantiques Aspects sémantiques

 InterprétationInterprétation

 Formules universellement validesFormules universellement valides

 Le théorème de HerbrandLe théorème de Herbrand

 Principe de résolution adapté au calcul Principe de résolution adapté au calcul des prédicats

des prédicats

(53)

5353

Vers la notion de modèle Vers la notion de modèle

(54)

5454

Vers la notion de modèle Vers la notion de modèle

 Soit Soit LL le langage du calcul des prédicats le langage du calcul des prédicats

– une une interprétation interprétation de de L L c’est la donnée de :c’est la donnée de :

 un ensemble un ensemble E E non vide appelé non vide appelé ensemble de baseensemble de base

 pour chaque symbole de prédicat pour chaque symbole de prédicat R R d’arité d’arité nn, d’un sous-ensemble , d’un sous-ensemble R’ R’ de Ede Eⁿⁿ

 pour chaque symbole de fonction pour chaque symbole de fonction ff d’arité d’arité nn, d’une application , d’une application f’ f’

de de EEⁿⁿ vers vers E E (y compris pour les constantes)(y compris pour les constantes)

– on peut alors calculer la on peut alors calculer la valeurvaleur de tout terme clos (c’est de tout terme clos (c’est un élément de

un élément de EE))

– on peut donc associer une on peut donc associer une valeur de vérité valeur de vérité à tout atome à tout atome et donc par extension à toute

et donc par extension à toute formule closeformule close

(55)

5555

Exemple d’interprétation Exemple d’interprétation

 xxyyz (P(x,y) z (P(x,y)  Q(y,z) Q(y,z)  R(x,z)) R(x,z))

 xxy ( (M(x,y) y ( (M(x,y)  P(x,y) P(x,y)  Q(x,y)) Q(x,y))

 M(a,b) M(a,b)  P(c,b) P(c,b)  P(d,a) P(d,a)  P(e,c) P(e,c)

 E = E =

 P’ =P’ =

 a’ =a’ =

anne b’ = bernard c’ = charles d’ = didier e’= éric

est le père de

M’ = est la mère de Q’ = est un parent de R’ = est le grand-père de

{ anne, bernard, …}

(56)

5656

Modèle Modèle

NB : on dit aussi que F est une tautologie.

(57)

5757

Preuve et démonstration Preuve et démonstration

 Comment Comment prouverprouver une formule du calcul une formule du calcul des prédicats ?

des prédicats ?

– Prouver qu’elle est vraieProuver qu’elle est vraie

 passer en revue passer en revue toutes les interprétations !toutes les interprétations !

– Prouver qu’elle est fausseProuver qu’elle est fausse

 trouvertrouver une interprétation qui invalide la formule une interprétation qui invalide la formule

(58)

5858

Toutes les interprétations ? Toutes les interprétations ?

 Une représentation utile des formulesUne représentation utile des formules

– forme forme clausaleclausale

 Un théorème qui simplifie la vieUn théorème qui simplifie la vie

– théorème de théorème de HerbrandHerbrand

 Principe de résolution pour le calcul des Principe de résolution pour le calcul des prédicats

prédicats

– vers une automatisation des démonstrationsvers une automatisation des démonstrations

(59)

5959

Transformation de formule Transformation de formule

 Forme normale Forme normale prénexeprénexe

– quantificateurs quantificateurs enen tête tête de la formulede la formule

– formule sous forme formule sous forme normale conjonctivenormale conjonctive

 Forme standard de Forme standard de SkolemSkolem

– formule sous forme formule sous forme normale prénexenormale prénexe – quantificateurs existentiels quantificateurs existentiels précédantprécédant

quantificateurs universels quantificateurs universels

Toute formule du calcul des prédicats est équivalente à une formule sous forme standard de Skolem

(60)

6060

Mise sous forme normale prénexe Mise sous forme normale prénexe

(61)

6161

 Éliminer les connecteurs Éliminer les connecteurs  et et 

 Transporter les Transporter les  devant les atomes devant les atomes

– en utilisant (en utilisant ( F F  F) et les lois de De Morgan F) et les lois de De Morgan

 Transporter les quantificateurs en tête de la Transporter les quantificateurs en tête de la formule

formule

 Ne pas hésiter à renommer les variables Ne pas hésiter à renommer les variables pour pouvoir utiliser les propriétés des

pour pouvoir utiliser les propriétés des quantificateurs.

quantificateurs.

(62)

6262

Transport des quantificateurs Transport des quantificateurs

^^x ^F ^ ^^x ^^F



F x 



^^x ^F  



 

^F ^H 

x H

x F

x

H F

x H

x F

x

























F x y F

y x

F x y F

y x













si H ne contient aucune occurrence de x

   

^^^x^x ^F^F ^^^H^H ^^ ^^^x^x^F^F^^^H^H ^^^x^x ^H^H ^^ ^H^H

(63)

6363

(64)

6464

En TD

(65)

6565

Forme de Skolem Forme de Skolem

NB : lorsque les quantiﬁcateurs universels précèdent les quantiﬁcateurs existentiels, on parle de forme de Herbrand

(66)

6666

Inversion de

Inversion de  et de et de  Skolemisation

Skolemisation

 Lorsqu’on aLorsqu’on a

 on remplace on remplace yy par une fonction par une fonction gg qui à qui à x x associe

associe yy

y x

f y

x 

 ( )

) ( )

(x g x

f x

g 



Skolemisation = expliciter l’implicite

NB : On dit aussi qu’on « Skolémise » la variable y

(67)

6767

Forme standard de Skolem Forme standard de Skolem

(68)

6868

Une représentation utile des Une représentation utile des

formules : Forme clausale formules : Forme clausale

 ^p⁽^x^, ^y⁾ ^q⁽^z^, ^y^, ^x⁾

z y

x   

 ^^p⁽^a^, ^y₁⁾ ^; ^q⁽^z₁^, ^y₂^,^a⁾

(69)

6969

En TD

(70)

7070

(71)

7171

Univers de Herbrand Univers de Herbrand

NB : si aucune constante n’apparaît dans C, on pose H⁰= {a}.

(72)

7272

(73)

7373

(74)

7474

(75)

7575

(76)

7676

Théorème de Herbrand Théorème de Herbrand

 ThéorèmeThéorème Un ensemble Un ensemble SS de clauses est de clauses est insatisfaisable

insatisfaisable si et seulement si il existe un si et seulement si il existe un ensemble

ensemble S’ S’ d’instances de base d’instances de base insatisfaisable

insatisfaisable

 CorollaireCorollaire Un ensemble de clauses est Un ensemble de clauses est satisfaisable

satisfaisable si et seulement si tout ensemble si et seulement si tout ensemble fini

fini d’instances de base est satisfaisabled’instances de base est satisfaisable

(77)

7777

Principales applications du théorème Principales applications du théorème

de Herbrand de Herbrand

 Preuve qu’une formule est universellement Preuve qu’une formule est universellement valide → on montre que sa négation est

valide → on montre que sa négation est insatisﬁable.

insatisﬁable.

 Validation de raisonnement → on montre Validation de raisonnement → on montre que les prémisses et la négation de la

que les prémisses et la négation de la

conclusion forment un ensemble de clauses conclusion forment un ensemble de clauses

insatisﬁable insatisﬁable

(78)

7878

(79)

7979

(80)

8080

(81)

8181

(82)

8282

(83)

8383

(84)

8484

(85)

8585

(86)

8686

(87)

8787

Principe de résolution pour le calcul Principe de résolution pour le calcul

des prédicats des prédicats

NB : c’est le théorème de Herbrand qui nous permet ces transformations

(88)

8888

(89)

8989

(90)

9090

(91)

9191

Principe de résolution Principe de résolution

(92)

9292

(93)

9393

(94)

9494

(95)

9595

(96)

9696

(97)

9797

(98)

9898

(99)

9999

(100)

100100

(101)

101101

(102)

102102