Programmation logique

Logique formelle &

Programmation logique

∃ ⇒ ∀

Dr. St ´ephane Lengrand,

Stephane.Lengrand@Polytechnique.edu

Cours 0 :

Motivation, Introduction

2

Introduction au cours Pr ´esentations

Pourquoi ce cours vous int ´eresse : – Vous vous destin ´es `a ˆetres ing ´enieurs. . .

. . .en Info, Electronique et Automatique – N ´ecessairement, vous allez faire des erreurs

parce que vous ˆetes humains ! parce que d’autres en ont fait avant vous ! – Certains bugs co ˆutent plus que d’autres

Crash d’Ariane 5, 04/06/1996 : 500 millions d’euros

Oui mais pourquoi la logique ?

– D ´eveloppement personnel : Ing ´enieurs de qualit ´e

⇐

^Rigueur

⇐

^Logique – Science pour la fiabilit ´e des syst `emes :

Logique a produit desoutilspour l’assurance de la qualit ´e

M ´ethodes formelles

. . . `a base de math ´ematiques – Intelligence Artificielle

Vous vous dites : est-ce que c¸a en vaut les efforts ?

D ´eveloppement personnel : Oui, pour vous

Intelligence artificielle : Oui, la logique en est la base

M ´ethodes formelles :

Ca d ´epend, elles sont co ˆuteuses, mais n ´ecessaires dans 2 cas – quand beaucoup d’argent est en jeu

(cf Ariane, transactions financi `eres, cryptographie) – quand des vies humaines sont en jeu

(cf syst `emes embarqu ´es, pilotes automatiques, ligne 14-Meteor)

5

Sur ce cours En 3 `eme ann ´ee : vous devez ˆetre autonomes

6 6 6 6

APPRENDRE COMPRENDRE

Contr ˆole : Droit aux documents. Pas aux livres.

Pas plus facile, prend du temps, de l’ ´ecoute

Venir me voir = votre responsabilit ´e M’interrompre = votre responsabilit ´e

Contact :Stephane.Lengrand@Polytechnique.edu

Page web :

http ://www.lix.polytechnique.fr/

∼

lengrand/

6

Sur ce cours, suite Transparents disponibles en pdf sur mon site web

Ne contient pas toutes les infos (par ex : les d ´emonstrations)

= ⇒

en TDs ou en livres :

– Logique pour l’informatique : introduction `a la d ´eduction automatique, Serenella Cerrito (Ed. Vuibert) (23,75 eur -Amazon) – Logique math ´ematique, tome 1 & 2,

Ren ´e Cori et Daniel Lascar (Ed. Dunod) (38,95 eur) – Introduction `a la logique : Th ´eorie de la d ´emonstration,

Karim Nour, Ren ´e David et Christophe Raffalli (Ed. Dunod) (30,88 eur) – Proof Theory and Automated Deduction, Jean Goubault-Larrecq et Ian

MacKie (Kluwer Academic Publisher) (48,57 eur)

– ce qu’il y a de disponible dans la biblioth `eque locale

La logique, c¸a vient d’o `u ? C’est vieux (Aristote, Socrate, . . .).

V ´erit ´e : confrontation avec la r ´ealit ´e.

Depuis. . .

– diversification des disciplines math ´ematiques

– ´eloignement de plus en plus important d’une r ´ealit ´e tangible

XIX `eme si `ecle, crise logique. Les math ´ematiques : quoi, comment ? – quelle est la th ´eorie universelle qui unifie les math ´ematiques ? – comment raisonne-t-on pour tirer des conclusions de cette th ´eorie ?

– Axiomes – D ´emonstration

Grossi `erement, quelques noms et contributions Boole (1815-1864): alg `ebres de Boole, bool ´eens,. . .c¸a vous dit qq chose ? Frege (1848-1925):

bases -imparfaites- de la th ´eorie des ensembles, formalismes logiques, . . . Hilbert (1862-1943): 23 probl `emes ouverts, meta-math ´ematiques,. . . Zermelo (1871-1953): th ´eorie des ensembles moderne, avec Fraenkel Russell (1872-1970):

c ´el `ebre pour son paradoxe trouv ´e chez Frege, Principia Mathematica Brouwer (1881-1966): constructivisme

Goedel (1906-1978): th ´eor `emes d’incompl ´etude

Church (1903-1995): fonctions et calcul, th ´eor `emes d’ind ´ecidabilit ´e. . . Gentzen (1909-1945): th ´eor `emes de coh ´erence et formalismes logiques

9

M ´eta-math ´ematiques Les math ´ematiques =

outils et m ´ethodes pour ´etudier rigoureusement des objets Et si l’objet d’ ´etude ´etait le fonctionnement des maths elles-m ˆemes ? ? ?

= ⇒

Meta-math ´ematiques

Grande avanc ´ee :v ´erit ´e

= ⇒

prouvabilit ´e

Une propositionP est-elle vraie ?

⇓

Une propositionP est-elle prouvable ?

10

Questions meta-math ´ematiques

– Existe-t-il un langage ad ´equat pour parler de toutes les math ´ematiques ? OUI: langage des pr ´edicats = langage du 1er ordre

– Qu’est-ce qu’une d ´emonstration / preuve / deduction ? Toujours pas d’accord. Raisonnement par l’absurde ? ou pas ? Brouwer, Heyting, Kolmogorov,. . .le refusent

ensuite, questions de pr ´esentations (calcul des s ´equents,. . .) – Existe-t-il une collection d’axiomes (si possible la plus petite) `a partir

desquelles se d ´eduisent toutes les maths ?

Th ´eorie des ensembles, Zermelo-Fraenkel : 9 “axiomes” (ou sch ´emas)

Frege : pour chaque propri ´et ´e

P

, autorise la construction

{x | P (x)}

Paradoxe :

Soit

F = {x | x / ∈ x}

. Est-ce que

F ∈ F

ou est-ce que

F / ∈ F

?. . .

Questions meta-math ´ematiques, suite

– Etant donn ´e une proposition

P

, existe-t-il toujours soit une preuve de

P

soit une preuve de

¬P

? (in)compl ´etude1

NON(Goedel)

– Les math ´ematiques peuvent-elles d ´emontrer qu’elles ne se contredisent

pas ? (in)compl ´etude2

NON(Goedel)

– Existe-il un algorithme qui r ´eponde OUI s’il existe une preuve de

P

, qui

r ´eponde NON sinon ? (in)d ´ecidabilit ´e

NON(Church, Turing)

Ces trois r ´eponses datent des ann ´ees 30.

Questions?

13

Cours 1 :

Syntaxe, S ´emantique, Logique propositionnelle

14

Pas de pens ´ee sans langage Prenons les math ´ematiques comme objet d’ ´etude

(faisons des meta-math ´ematiques !), et analysons leur structure ! Unepropositionexprime, dans un langage syntaxique, quelque chose (qui a un sens).

structure `a base de symboles qui permet d’exprimer qq chose =syntaxe, signification de cette expression =s ´emantique

signifiant = syntaxe,signifi ´e = s ´emantique

Niveau meta (transparent subtile, mais pas vital) Pendant longtemps: monde r ´eel fournit un cadre pour la s ´emantique, on v ´erifiait qu’une proposition ´etait vraie ou fausse par confrontation avec le r ´eel.

Maintenant: objets math ´ematiques trop abstraits (voyez-vous des nombres complexes dans la rue ?)

= ⇒

s ´emantique donn ´ee par le niveau meta-math ´ematique Se placer / raisonner dans une logique X pour ´etudier la logique Y.

Exemples:

X = l’arithm ´etique de P ´eano

= ⇒

s ´emantique `a base d’entiers X = th ´eorie des ensembles

= ⇒

s ´emantique `a base d’ensembles Remarque: le niveau meta-math ´ematique ´etant syntaxique, finalement il n’y a jamais que de la syntaxe (s ´emantique = syntaxe du niveau meta)

Clivage syntaxe/s ´emantique `a deux niveaux Une proposition parle d’objets (d’ ´etudes).

Niveau objet: les structures syntaxiques

4

^et

IV

d ´esignent le m ˆeme objet s ´emantique.

Niveau proposition: les structures syntaxiques

(x ∈ y) ∧ (x ∈ z)

et

(x ∈ z) ∧ (x ∈ y)

ont la m ˆeme s ´emantique.

17

Syntaxe de la logique propositionnelle En logique propositionnelle : pas d’objets !

– desvariables propositionnelles

p, q, r, . . .

d ´esignent des propositions quelconques

– desconnecteurs

∧

(et)

∨

(ou)

⇒

(implique),

¬

(non-),. . .construisent des propositions complexes `a partir de propositions simples, ou sont des constantes logiques

⊤

(vrai)

⊥

(faux),. . .

Une mani `ere rapide d’ ´ecrire les r `egles de construction des propositions :

A, B, C, . . . ::= p | (A ∧ B) | (A ∨ B) | (A ⇒ B) | (¬A) | ⊤ | ⊥

On appelle c¸a une d ´efinitioninductive

Propositions = chaˆınes de symb ˆoles bien-parenth ´es ´ees, ou arbres ? les 2 visions sont ´equivalentes

18

S ´emantique de la logique propositionnelle Pour donner une s ´emantique aux propositions, il faut

– un ensemble

B

dans lequel on va interpr ´eter les propositions.

– une s ´emantique pour chaque connecteur

⋆

^, c’est- `a-dire une fonction

f

⋆de

B

ⁿdans

B

(n= 2pour les connecteurs binaires,n= 1pour les connecteurs unaires,n= 0pour les constantes, . . .)

Pour que la s ´emantique de

∧, ∨, . . .

corresponde `a notre intuition, il faut que

B

soit unealg `ebre de Boole

Exemple d’alg `ebre de Boole:

B

est l’ensemble des parties d’un ensemble

X

(quelconque), avec

f

^∧

(x, y) = x ∩ y f

⊤

= X f

^¬

(x) = x

f

∨

(x, y) = x ∪ y f

⊥

= ∅

Autre exemple d’alg `ebre de Boole : les bool ´eens

L’ensemble des bool ´eens

B = {

T

,

F

}

`a 2 ´el ´ements.

x y

f

∧

(x, y)

T T T

T F F

F T F

F F F

x y

f

∨

(x, y)

T T T

T F T

F T T

F F F

x y

f

⇒

(x, y)

T T T

T F F

F T T

F F T

x

f

¬

(x)

T F

F T

f

⊤

()

T

f

⊥

()

F

S ´emantique de la logique propositionnelle Une fois que l’on s’est donn ´e ces fonctions, on peut alors calculer l’interpr ´etation dans

B

des propositions

Un param `etre : l’interpr ´etation

I

des variables propositionelles

p, q, r, . . .

, ditevaluation.Exempleavec les bool ´eens :

I(p) =

^{T ou}

I(p) =

^F.

L’interpr ´etation

[A]

Id’une d’une proposition

A

selon la valuation

I

est d ´efinie par r ´ecurrence sur

A

^:

[p]

I

:= I(p)

[⋆(A

1

, . . . , A

n

)]

I

:= f

⋆

([A

1

]

I

, . . . , [A

n

]

I

)

Exemple

[A ∧ B]

I

:= f

∧

([A]

I

, [B]

I

) [¬A]

I

:= f

¬

([A]

I

)

21

Satisfiable, Valide

A partir de maintenant,B={T,F} D ´efinitions:

–

I

est unmod `elede

A

^si

[A]

I

=

^T

–

A

estsatisfiables’il y a une valuation qui est un mod `ele de

A

–

A

^estvalidesi toute valuation est un mod `ele de

A

Th ´eor `eme:

A

est satisfiable (resp. valide) si et seulement si

¬A

^{n’est pas} valide (resp. satisfiable)

Pour v ´erifier qu’une proposition est valide ou satisfiable, on regarde toutes les valuations

I

possibles sous la forme d’unetable de v ´erit ´e Si

A

poss `ede

n

variables propositionnelles, on a

2

ⁿcas `a tester ! Exemple en exercice avec((p⇒q)⇒p)⇒p

22

Cons ´equence s ´emantique (parfois dite logique) D ´efinition

–

B

^{est une}cons ´equence s ´emantiquede

A

^{, not ´e}

A | = B

si tout mod `ele de

A

est aussi un mod `ele de

B

–

A

et

B

sonts ´emantiquement ´equivalents, not ´e

A ≡ B

, si

A | = B

^et

B | = A

voir exercice sur les lois de De Morgan Notez que

– ⊤ |=A, aussi not ´e|=A, si et seulement siAest valide.

– A|=Bsi et seulement siA⇒Best valide (voir TD).

– siA|=B^{, alors}

–Aest valide impliqueBest valide –Aest satisfiable impliqueBest satisfiable mais l’inverse n’est pas vrai !

Conclusions Toutes ces propri ´et ´es des propositions sont des constatations s ´emantiques

Cours suivant: on verra comment on peut prouver la cons ´equence ou la validit ´e par une d ´emonstration, c’est- `a-dire par un

raisonnement syntaxique

Questions?

25

Cours 2 :

Logique propositionnelle — La notion de d ´emonstration

26

Notion de preuve

Rappelez-vous : on cherche `a caract ´eriser de mani `ere syntaxique les notions decons ´equence s ´emantiqueet devalidit ´e

On avait des notions ´emantiques

A | = B

et

| = B

bas ´ees sur laconstatation (passant par valeurs de v ´erit ´e & interpr ´etation s ´emantique des formules) On cherche maintenant des notionssyntaxiques

A ⊢ B

et

⊢ B

bas ´ees sur lad ´emonstration(=preuve) A quoi bon ? La constatation s ´emantique n’est-elle pas suffisante ?

. . .apr `es tout, si on peut “voir” si une proposition est vraie ou pas. . . Aha ! tant qu’on parle de choses finies (par ex : logique propositionnelle). . . . . . `a la rigueur. . . Mais quand l’univers du discours est infini, comment constater des propri ´et ´es universelles ? (c.f. logique des pr ´edicats (= du 1er ordre))

Le calcul des s ´equents Un s ´equent est une paire de multisets de formules.

C’est quoi un multiset de formules (que l’on notera

Γ, ∆, . . .

^{) ?} Listes:ordre importe,r ´ep ´etitions importent

A, B 6= B, A A, A 6= A

Ensembles:ordre n’importe pas,r ´ep ´etitions n’importent pas

{A, B} = {B, A} {A, A} = A

Multisets:ordre n’importe pas,r ´ep ´etitions importent

{{A, B}} = {{B, A}} {{A, A}} 6= A

Formellement : une fonction

f

des formules vers les entiers

≥ 0

^{`a support} fini (support = les formules

A

^{telles que}

f (A) > 0

⁾

f (A)

´etant le nombre d’occurrences de

A

dans le multiset

Le calcul des s ´equents

Une paire de multisets de formules

A

1

, . . . , A

n

⊢ B

1

, . . . , B

mest appel ´es ´equent (on lache les{{ }}des multisets) Ce n’est qu’une construction syntaxique, mais le sens intuitif d’un tel s ´equent est

A

1

∧ . . . ∧ A

n

⇒ B

1

∨ . . . ∨ B

m

Uned ´erivation(=preuve=d ´emonstration) est un arbre

– dont les noeuds sont ´etiquet ´es par des s ´equents, par exemple :

⊢ a

⊢ b

⊢ b ∨ c

⊢ a ∧ (b ∨ c)

– dont l’ ´etiquetage suit desr `eglesditesd’inf ´erence, par exemple :

⊢ A ⊢ B

⊢ A ∧ B

premisses conclusion

29

Le calcul des s ´equents

Un s ´equent

A

1

, . . . , A

n

⊢ B

1

, . . . , B

mestd ´erivable dans un syst `eme Sde r `egles d’inf ´erence s’il existe une d ´erivation dont il est la conclusion (i.e. dont il d ´ecore la racine).

On le noteA1, . . . , An⊢S B1, . . . , Bm

L’id ´ee est maintenant de trouver un syst `eme

S

de r `egles d’inf ´erence caract ´erisant la cons ´equence s ´emantique

(i.e. tel que

A

¹

, . . . , A

n

⊢

S

B

¹

, . . . , B

msi et seulement si

A

1

∧ . . . ∧ A

n

| = B

1

∨ . . . ∨ B

m)

30

Sch ´emas et instances Sch ´ema :

⊢ A ⊢ B

⊢ A ∧ B

o `u

A

^,

B

d ´enotent des formules arbitraires Instances (exemples) :

⊢ c ⊢ c

^′

⊢ c ∧ c

^′

⊢ ¬c ⊢ ¬c

^′

⊢ ¬c ∧ ¬c

^′

· · ·

pour les variables propositionnelles particuli `eres

c

et

c

^′

Syst `eme G3 : les r `egles d’inf ´erence

R `egle de base (axiome) :

Γ, A ⊢ A, ∆

Connecteur R `egle d’intro gauche R `egle d’intro droite

⊤ Γ ⊢ ⊤, ∆

⊥ Γ, ⊥ ⊢ ∆

¬ Γ ⊢ A, ∆

Γ, ¬A ⊢ ∆

Γ, A ⊢ ∆ Γ ⊢ ¬A, ∆

∨ Γ, A ⊢ ∆ Γ, B ⊢ ∆ Γ, A ∨ B ⊢ ∆

Γ ⊢ A, B, ∆ Γ ⊢ A ∨ B, ∆

∧ Γ, A, B ⊢ ∆ Γ, A ∧ B ⊢ ∆

Γ ⊢ A, ∆ Γ ⊢ B, ∆

Γ ⊢ A ∧ B, ∆

Syst `eme G3 : les r `egles d’inf ´erence

Connecteur R `egle d’intro gauche R `egle d’intro droite

⇒ Γ ⊢ A, ∆ Γ, B ⊢ ∆ Γ, A ⇒ B ⊢ ∆

Γ, A ⊢ B, ∆ Γ ⊢ A ⇒ B, ∆

Correspond `a l’id ´ee que

A ⇒ B

est la m ˆeme chose que

(¬A) ∨ B

( ´ecrivez les r `egles et vous verrez. . .)

33

G3 : Correction et compl ´etude Th ´eor `eme

A

1

, . . . , A

n

⊢

G3

B

1

, . . . , B

m si et seulement si

A

1

∧ . . . ∧ A

n

| = B

1

∨ . . . ∨ B

m D ´emonstration : D’habitude,

du haut vers le bas : par r ´ecurrence sur la hauteur de l’arbre de preuve du bas vers le haut : beaucoup de fac¸ons

Souvenez-vous: la r ´ecurrence (aussi appel ´eeinduction) est au raisonnement ce que la r ´ecursion est au calcul / `a la programmation.

34

Questions? Cours 3 :

Logique du 1er ordre

Pour faire rapide On rajoute les quantificateurs

∃x, P

et

∀x, P

Oui mais ils quantifient sur quoi ?

On a besoin d’ununivers de discours, dont les ´el ´ements sont d ´ecrits (dans la syntaxe) par destermes

Exemples d’univers de discours : Exemples de termes

– les entiers

0

^,

S(0)

^,

3 + 4

– les r ´eels

3/4

,

π

– les ensembles

∅

,

A ∪ B

37

Syntaxe : termes

Formellement, on se donne unesignatureΣ^{de termes:}

ensemble deconstructeurs de termesavec, pour chacun, une arit ´e Exemple :

Σ = {

“

0

” / 0, “

S

” / 1, “

+

” /2

}

Comme annonc ´e, on se donne aussi desvariables de termes

x, y, z

La syntaxe des termes est alors donn ´ee par :

t ::= x | f(t

1

, . . . , t

n

)

^si

f /n ∈ Σ

38

Syntaxe : propositions Ensuite, on veut dire des choses sur ces objets de l’univers

Exemple :

1 + 1 = 2 3 ≤ 4 x ∈ y x ⊆ y

On se donne donc unesignatureΨde propositions:

ensemble depropositions atomiquesavec, pour chacune, une arit ´e Exemple :

Ψ = {

“

=

^{” / 2, “}

≤

” / 2, “IsEven” /1

}

La syntaxe des propositions est alors donn ´ee par :

P ::= p(t

1

, . . . , t

n

) | . . .

[comme en logique prop.]

. . . | (∃x, P ) | (∀x, P )

si

p/n ∈ Ψ

Syntaxe : propositions On bazarde les variables propositionnelles !

Elle servaient `a ce que les propositions atomiques ne soient pas interpr ´et ´ees de mani `ere constante (que chacune, selon l’interpr ´etation, soit parfois vraie parfois fausse)

Ici, les termes donn ´es comme arguments des prop. atomiques vont cr ´eer cette variation.

Syntaxe : variables li ´ees/muettes 1 Notion de variable muette en maths :

On “sait bien” que

∀x, P (x)

c’est la m ˆeme chose que

∀y, P (y)

Intuition : le nom / la variable que j’utilise pour d ´esigner une chose n’a pas d’importance

Plus complexe qu’il n’y parait.

T ˆache 1: d ´efinir quelles sont, dans

P

les variables muettes (=li ´ees) Celles qui n’y sont pas libres ! (on est bien avanc ´e)

41

Syntaxe : variables li ´ees/muettes 2

Toute variable (de terme) apparaissant dans

t

est libre dans

t

^{, elles} forment l’ensemble

f v(t)

f v

est d ´efini inductivement sur les propositions :

f v(p(t

1

, . . . , t

n

)) := f v(t

1

) ∪ . . . ∪ f v(t

n

) f v(A ∧ B) := f v(A) ∪ f v(B) . . .

f v(∃x, P ) := f v(P )\{x}

f v(∀x, P ) := f v(P )\{x}

42

Syntaxe : variables li ´ees/muettes 3 T ˆache 2: d ´efinir ce qu’est le renommage d’une variable muette appel ´e

α

-conversion

On d ´efinit pour c¸a l’ ´echange de 2 variables sur

P

(resp.

t

)

(xy)P

^(resp.

(xy)t

^{) :}

partout o `u vous avez ´ecrit

x

(li ´e ou libre), vous mettez

y

, et vice versa

∃x, P

est identifi ´e avec

∃y, (xy)P

si

y 6∈ f v(P )

∀x, P

est identifi ´e avec

∀y, (xy)P

^si

y 6∈ f v(P )

Pourquoi “si

y 6∈ f v(P )

” (i.e.

y

est une variablefraiche) ?

(y = 0) ∧ (∃x, x = y)

n’est pas la m ˆeme chose que

(y = 0) ∧ ∃y, y = x

Syntaxe : variables substitu ´ees

T ˆache 3: d ´efinir une notion de substitution (variable

x

par terme

t

) sur les termes :_t

_x

t

^′ trivial.

sur les propositions :_t

_x

P

ATTENTION quand vous d ´efinissez_t

x

(∀y, P)

et_t

x

(∃y, P)

! ! ! Que se passe-t-il si

x = y

?

si

y ∈ f v(t)

^?

Moralit ´e : _t

x

(∀y, P ) := ∀y,

_t

x

P

^et _t

x

(∃y, P ) = ∃y,

_t

x

P

six6=yety /∈f v(t)

sinon, renommer

y

en l’ ´echangeant avec variablefraiche

z

^:

(yz)P

S ´emantique : termes Il nous faut :

– un univers (s ´emantique)Upour interpr ´eter les termes

– une interpr ´etationf˜de tous les constructeurs de termes

f

, `a savoir si

f

est d’arit ´e

n

, une fonction

f ˜

^de

U

^ndans

U

S ´emantique d’un termet: par r ´ecurrence sur

t

et si

t

est une variable

x

?

Interpr ´etation

[t]

Id’un terme

t

est parametr ´ee par valuation qui interpr `ete les variables vers

U

, ce qui donne :

[x]

I

:= I(x)

[f (t

1

, . . . , t

n

)]

I

:= ˜ f ([t

1

]

I

, . . . , [t

n

]

I

)

45

S ´emantique : propositions Il nous faut :

– une interpr ´etationp˜de toutes les propositions atomiques

p

, `a savoir si

p

est d’arit ´e

n

, une fonction

p ˜

^de

U

^nvers

B

S ´emantique d’une propositionP : par r ´ecurrence sur

P

d ´epend toujours de l’interpr ´etation

I

des variablelibresde

P

[p(t

1

, . . . , t

n

)]

I

:= ˜ p([t

1

]

I

, . . . , [t

n

]

I

) [A ∧ B]

I

:= f

∧

([A]

I

, [B]

I

) . . .

[∀x, P ]

I

:= min{[P ]

I,x7→u

| u ∈ U}

[∃x, P ]

I

:= max{[P ]

I,x7→u

| u ∈ U}

46

Mod `eles & co.

Un mod `ele d’une proposition

P

est maintenant : – un univers

U

non-vide

– une interpr ´etation

f ˜

pour chaque

f ∈ Σ

^et

p ˜

pour chaque

p ∈ Ψ

– une interpr ´etation

I(x) ∈ U

pour chaque variable

x ∈ f v(P )

tels que

[P ]

I

= T

Dans le cas particulier o `u

f v(P ) = ∅

(on dit que

P

^estclos), cela ne d ´epend que de l’univers

U

et de l’interpr ´etation

˜

Rebelotte D ´efinitions:

–

A

^estsatisfiables’il a un mod `ele

–

A

estvalide, not ´e

| = A

, si toutes les structures ci-dessus en sont des mod `eles

–

B

est unecons ´equence s ´emantiquede

A

(not ´e

A | = B

) si tout mod `ele de

A

est aussi un mod `ele de

B

–

A

^et

B

^sonts ´emantiquement ´equivalents, not ´e

A ≡ B

^{, si}

A | = B

^et

B | = A

Th ´eor `eme:

A

est satisfiable (resp. valide) si et seulement si

¬A

n’est pas valide (resp. satisfiable)

Syst `eme de preuve ! G3 version logique du 1er ordre M ˆeme r `egles qu’en propositionnel, plus

Γ ⊢ P, ∆

x 6∈ f v(Γ, ∆) Γ ⊢ (∀x, P ), ∆

Γ, (∀x, P ),

_t

x

P ⊢ ∆

Γ, (∀x, P ) ⊢ ∆

Γ ⊢

_t

x

P, (∃x, P ), ∆ Γ ⊢ (∃x, P ), ∆

Γ, P ⊢ ∆

x 6∈ f v(Γ, ∆) Γ, (∃x, P ) ⊢ ∆

A nouveau : Dualit ´e de De Morgan entre

∀

et

∃

49

G3 : Correction et compl ´etude Th ´eor `eme

A

1

, . . . , A

n

⊢

G3

B

1

, . . . , B

m si et seulement si

A

1

∧ . . . ∧ A

n

| = B

1

∨ . . . ∨ B

m D ´emonstration :

– du haut vers le bas : comme d’hab. par r ´ecurrence sur la hauteur de la d ´erivation

– du bas vers le haut :Oula ! ! !

Il faut construire un mod `ele, avec un

U

^{et un}

˜

^{! ! !}

A partir de quoi ? La syntaxe quotient ´ee. . . mod `eles syntaxiques. . .

50

Questions?

Cours 4 :

R ´esolution Programmation logique

Un petit point sur le buveur Si le bar est vide, le th ´eor `eme est faux.

Deux visions :

Premi `ere vision: `a la “Th ´eorie des types”

on enregistre `a quelles variables libres on a droit :

Γ ⊢

^Φ,x

P, ∆

Γ ⊢

^Φ

(∀x, P ), ∆

Γ, (∀x, P ),

_t

_x

P ⊢

^Φ

∆

f v(t) ⊆ Φ Γ, (∀x, P ) ⊢

^Φ

∆

Γ ⊢

^Φ_t

_x

P, (∃x, P ), ∆

f v(t) ⊆ Φ Γ ⊢

^Φ

(∃x, P ), ∆

Γ, P ⊢

^Φ,x

∆ Γ, (∃x, P ) ⊢

^Φ

∆

53

Un petit point sur le buveur

Du coup,

⊢

^∅

∃x, (p(x) ⇒ ∀y, p(y))

n’est pas un s ´equent prouvable. . . . . .sans constante de terme (=constructeur de terme d’arit ´e 0)

par exemple ici : le barman ? par contre,

⊢

^z

∃x, (p(x) ⇒ ∀y, p(y))

est d ´erivable !

ainsi que

(∃z, ⊤) ⊢

^∅

∃x, (p(x) ⇒ ∀y, p(y))

54

Un petit point sur le buveur Deuxi `eme vision: `a la “Logique du premier ordre”

Les r `egles sont celles que j’ai pr ´esent ´ees au cours 3 :

Γ ⊢ P, ∆

x 6∈ f v(Γ, ∆) Γ ⊢ (∀x, P ), ∆

Γ, (∀x, P ),

_t

_x

P ⊢ ∆

Γ, (∀x, P ) ⊢ ∆

Γ ⊢

_t

x

P, (∃x, P ), ∆ Γ ⊢ (∃x, P ), ∆

Γ, P ⊢ ∆

x 6∈ f v(Γ, ∆) Γ, (∃x, P ) ⊢ ∆

Du coup,

⊢ ∃x, (p(x) ⇒ ∀y, p(y))

est prouvable.

Un petit point sur le buveur Les deux versions ne prouvent pas les m ˆemes th ´eor `emes !

(. . .sauf si la signature poss `ede une constante de terme) La version “Th ´eorie des types” est correcte et compl `ete vis- `a-vis de la notion de mod `ele :

– un univers

U

– une interpr ´etation

f ˜

pour chaque

f ∈ Σ

^et

p ˜

pour chaque

p ∈ Ψ

– une interpr ´etation

I(x) ∈ U

pour chaque variable

x ∈ f v(P )

tels que

[P ]

I

= T

D ´efinition

A

1

, . . . , A

n

| = B

si tout mod `ele de

A

1, . . .,

A

nest un mod `ele de

B

Th ´eor `eme

A

1

, . . . , A

n

⊢

G3

B

1

, . . . , B

m ssi

A

1

, . . . , A

n

| = B

1

∨ . . . ∨ B

m

Un petit point sur le buveur

La version “Logique du premier ordre” est correcte et compl `ete vis- `a-vis de la notion de mod `ele :

– un univers

U

^non-vide

– une interpr ´etation

f ˜

pour chaque

f ∈ Σ

^et

p ˜

pour chaque

p ∈ Ψ

– une interpr ´etation

I(x) ∈ U

pour chaque variable

x ∈ f v(P )

tels que

[P ]

I

= T

D ´efinition

A

1

, . . . , A

n

| = B

si tout mod `ele de

A

1, . . .,

A

nest un mod `ele de

B

Th ´eor `eme

A

1

, . . . , A

n

⊢

G3

B

1

, . . . , B

m ssi

A

1

, . . . , A

n

| = B

1

∨ . . . ∨ B

m Notez que si la signature poss `ede une constante de termec<sup>, les deux</sup> notions de mod `eles co¨ıncident puisquec˜^forceU `a ne pas ˆetre vide

57

Inconv ´enients de G3 au 1er ordre Contrairement au cas propositionnel,

application (bottom-up) de certaines r `egles ne font pas diminuer le nombre de connecteurs

=⇒La hauteur des preuves d’un th ´eor `eme donn ´e n’a pas de borne.

=⇒La prouvabilit ´e est ind ´ecidable (Th ´eor `eme de Church).

proc ´edure de semi-d ´ecision : un algorithme qui, ´etant donn ´e un probl `eme, – s’arr ˆetera en r ´epondant oui si sa r ´eponse estoui

– s’arr ˆetera en r ´epondant nonou ne s’arr ˆetera passi sa r ´eponse estnon Un algo. de semi-d ´ecision pour la prouvabilit ´e :

on ´enum `ere tous les arbres d ´ecor ´es par des s ´equents,

on v ´erifie pour chacun s’il s’agit d’une preuve du th ´eor `eme demand ´e Tr `es b ˆete.

58

Inconv ´enients de G3 au 1er ordre Peut-on faire plus intelligent ?

. . .mmm. . .de toute fac¸on, les r `egles

Γ, (∀x, P ),

_t

_x

P ⊢ ∆

Γ, (∀x, P ) ⊢ ∆

Γ ⊢

_t

_x

P, (∃x, P ), ∆ Γ ⊢ (∃x, P ), ∆

n ´ecessitent de sortir

t

du chapeau. Il semble n ´ecessaire d’ ´enum ´erer tous les

t

jusqu’ `a ce qu’on trouve le bon. . .

r(986) ⊢ (∃y, r(y))

Reprenons depuis le d ´ebut

Soit

A

une formule du 1er ordre. On veut un algo (pas trop b ˆete) de semi-d ´ecision qui r ´eponde `a la question :

Aest-elle prouvable/valide ? c’est- `a-dire

¬Aest-elle insatisfiable ? c’est- `a-dire

Best-elle insatisfiable ?. . .o `u

B

est. . . uneforme clausalede

¬A

Forme clausale uneforme prenexede

A

^:

une formule logiquement ´equivalente `a

A

, de la forme

Q

1

x

1

, . . . , Q

n

x

n

, C

avec tous les quantificateurs

Q

1

. . . Q

nen t ˆete,

C

sans quantificateurs.

uneforme pr ´enexe skol ´emis ´eede

A

^: une formule close

B

de la forme

∀y

1

, . . . , ∀y

m

, D

avec

D

sans quantificateurs, telle que

A

est satisfiable ssi

B

satisfiable.

(Toutes les variables libres ou quantifi ´ees existentiellement ont ´et ´e substitu ´ees avec des nouveaux constructeurs de termes)

61

Forme clausale :

uneforme normale conjonctive pr ´enexe skol ´emis ´eede

A

^: la m ˆeme chose en imposant que

D

est une grande conjonction de clauses, i.e. une formule de la forme

∀y

1

, . . . , ∀y

m

, (l

1¹

∨ . . . ∨ l

¹_p1

) ∧ . . . ∧ (l

1^q

∨ . . . ∨ l

_p^q_q

)

(Rappelons qu’une clause est une disjonction de litt ´eraux, et qu’un litt ´eral

l

est une formule atomique ou la n ´egation d’une formule atomique) uneforme clausalede

A

^:

une conjonction de clauses closes, logiquement ´equivalente `a une forme normale conjonctive pr ´enexe skol ´emis ´ee de

A

, i.e. de la forme :

(∀x

¹1

. . . ∀x

¹_k1

, l

¹1

∨ . . . ∨ l

¹_p1

) ∧ . . . ∧ (∀x

^q1

. . . ∀x

^q_kq

, l

1^q

∨ . . . ∨ l

^q_pq

)

avec

x

ⁱ_j

∈ f v(l

1ⁱ

∨ . . . ∨ l

ⁱ_pi

)

62

Forme clausale

L’existence d’une telle forme, pour toute formule

A

, r ´esulte des exercices des TDs.

Exemple:

¬(r(986) ⇒ ∃y, r(y))

devient

r(986) ∧ ∀y, ¬r(y)

, la seconde ´etant bien insatisfiable ssi la premi `ere l’est

(c’est- `a-dire ssi

r(986) ⇒ ∃y, r(y)

est valide)

Pour ´economiser de la place, sans perdre d’information logique, on ne retient de

(∀x

¹1

. . . ∀x

¹_k

1

, C

¹

) ∧ . . . ∧ (∀x

^q₁

. . . ∀x

^q_kq

, C

^q

)

que l’ensemble des clauses

C

1

, . . . , C

n, o `u la disjonction est associative + commutative (les clauses sont des multisets de litt ´eraux)

M ´ethode de r ´esolution

La m ´ethode consiste `a d ´eduire de ces clauses de nouvelles clauses On enrichit ainsi notre catalogue de clauses connues

Ceci par 2 r `egles : La simplification

C ∨ l ∨ l C ∨ l

Lar ´esolution

C ∨ r(t

1

, . . . , t

n

) C

^′

∨ ¬r(t

^′1

, . . . , t

^′_n

) σ(C ∨ C

^′

)

quel est

σ

^? une substitution qui unifie

t

1avec

t

^′1,. . .,

t

navec

t

^′_n on la note

σ = mgu(t

1

= t

^′1

, . . . , t

n

= t

^′_n

)

Exemple : avec les clauses

r(986)

et

¬r(y)

,

σ = mgu(986 = y)

est la substitution qui envoie

y

^sur

986

M ´ethode de r ´esolution

Conclusion : appliquer la r `egle de r ´esolution aux

r(986)

^et

¬r(y)

vous donne la clause vide, i.e. la clause fausse

(rappel :

C ∨ ⊥ ≡ C

⁾

. . .et donc notre ensemble de clauses

r(986)

^et

¬r(y)

´etait insatisfiable . . .et donc la formule

¬(r(986) ⇒ ∃y, r(y))

´etait insatisfiable

. . .et donc la formule

r(986) ⇒ ∃y, r(y)

´etait valide plus g ´en ´eralement. . .

Correction et compl ´etude (pour les mod `eles non vides)

L’ensemble de clauses

C

1

, . . . , C

nest insatisfiable si et seulement si

on peut d ´eduire la clause vide en appliquant les r `egles de simplification et de r ´esolution

65

Dernier exemple Le buveur :

La formule

∃x,(p(x) ⇒ ∀y, p(y))

, `a valider, devient : l’ensemble des clauses

p(x)

et

¬p(f (z))

, `a insatisfier J’applique ma r `egle de r ´esolution :

j’obtiens pour

σ = mgu(x = f(z))

la substitution qui envoie

x

^sur

f (z)

j’obtiens comme nouvelle clause : la clause vide

cqfd

66

mgu Questions :

Existe-il toujours une substitution

mgu(t

1

= t

^′1

, . . . , t

n

= t

^′_n

)

^? Comment l’obtiens-je dans les cas non-triviaux ?

hehe. . .l’algorithme d’unification du 1er ordre

Reste `a faire – L’algo d’unif

– Extension de la logique du 1er ordre avec ´egalit ´e – Clauses de Horn et description de Prolog – Programmation logique d’op ´erations arithm ´etiques

Questions?

69

Cours 5 :

Logique du 1er ordre avec ´egalit ´e

70

Logique du 1er ordre avec ´egalit ´e

Symbole=/2 peut faire partie de la signature

Ψ

des propositions atomiques

Normalement, pr ´edicats atomiquespas concern ´espar r `egles d’inf ´erence (mais ´eventuellement r ´egis par axiomes/hypoth `eses)

Pour

=

, c’est un peu diff ´erent. Connecteur sp ´ecial : on veut

((t = u) ∧ P (t)) ⇒ P (u)

pour toute propositionP Egalit ´e de Leibniz^´ pas une hypoth `ese, maissch ´ema d’hypoth `eses

Solution : on traite

=

par des r `egles d’inf ´erence sp ´ecifiques

Extension de G3 pour

=

Γ ⊢ (t = t), ∆

Γ, (t = u) ⊢ (

_t

_x

P ), ∆

Γ, (t = u) ⊢ ({

^u_x

}P ), ∆

Exemple

Avec ces r `egles on d ´emontre la sym ´etrie et la transitivit ´e de

=

:

∀x, ∀y, (x = y) ⇒ (y = x)

∀x, ∀y, ∀z, ((x = y) ∧ (y = z)) ⇒ (x = z)

73

S ´emantique de cette extension

Tr `es simple. Il faut interpr ´eter le pr ´edicat

=

dans le monde s ´emantique.

Une mani `ere canonique : pour

a, b ∈ U

, on d ´efinit

˜

=(a, b) = T

^si

a

^et

b

sont ´egaux (dans

U

)

˜

=(a, b) = F

^sinon

Le syst `eme G3 ´etendu avec les deux r `egles pour

=

est correct et complet vis- `a-vis de cette s ´emantique (o `u

= ˜

^{est fixe)}

74

Questions?