Propriétés métalogiques de la logique propositionnelle

Propriétés métalogiques de la logique propositionnelle

Cours d’introduction à la logique au semestre d’automne 2007

Feuille d’accompagnement pour le cours du 21 novembre 2007

Philipp Keller

Points à retenir du dernier cours

1. La caractéristique de la méthode de la déduction naturelle est l’usage des suppositions. La règle des sup- positions nous permet d’introduire n’importe quelle supposition à n’importe quelle étape de la preuve ; les règles

philipp.keller@lettres.unige.ch

, et

PC RAA Enous permettent de nous en décharger.

2. Les règles de la déduction naturelle sont des règles d’introduction et d’élimination des connecteurs propo- sitionnels.

3. La méthode de la déduction naturelle consiste en les règles suivantes : supposition : je peux supposer toute phrase (si j’en tiens compte ensuite).

∨

: si j’ai déjà

MP p

φ → √

qet aussi

φ

, je peux écrire .

√

: si j’ai déjà

MT p

φ → √

qet aussip¬

√

q, je peux écrirep¬

φ

q. : si j’ai supposé

PC

φ

et montré ensuite , je peux écrire

√

p

φ → √

q. : si j’ai déjà

DN p¬¬

φ

q, je peux écrire

φ

; si j’ai déjà

φ

, je peux écrirep¬¬

φ

q. : si j’ai supposé

RAA

φ

et montré qu’il s’ensuit

√

et aussip¬

√

q, je peux écrirep¬

φ

q. I: si j’ai déjà

∧ φ

^et

√

, je peux écrirep

φ ∧ √

q. E: si j’ai déjà

∧

p

φ ∧ √

q, je peux écrire

φ

et aussi écrire .

√

I: si j’ai déjà

∨ φ

, je peux écrirep

φ ∨ √

q; si j’ai déjà

√

, je peux écrirep

φ ∨ √

q. E: si j’ai montré

∨

p

φ ∨ √

qet que

χ

s’ensuit de

φ

et également de

√

, je peux écrire .

χ

I: si j’ai déjà

↔

p

φ → √

q pet

√ → φ

q, je peux écrirep

φ ↔ √

q. E: si j’ai déjà

↔

p

φ ↔ √

q, je peux écrirep

φ → √

qet aussi écrirep

√ → φ

. 4. L’application de ces règles nous permet d’écrire des preuves de théorèmes (“

q

`

”) et des preuves de séquents (“

φ φ `

^”).

5. Un séquent est une affirmation qu’une phrase est déductible d’une autre.

6. Pour avoir prouvé un théorème ou un séquent, il faut avoir déchargé toute supposition.

7. Pour établir une conclusion implicative, il convient d’utiliser

√

.

8. Pour établir une conclusion négative ou une conclusion simple, il convient d’utiliser . 9. La méthode de la déduction naturelle nous permet d’utiliser des règles dérivées.

10. La déduction naturelle est une méthode syntaxique qui est correcte et complète : tout séquent déductible correspond à une relation de conséquence sémantique et toute conséquence sémantique peut être déduite comme séquent.

Les propriétés métalogiques

Un calcul syntaxique est appelé:

– “correct”si tous ses théorèmes sont des tautologies ; – “complet”s’il permet la déduction de toutes les tautologies ; – “adéquat”s’il est à la fois correct et complet ;

– “consistant”s’il ne permet pas la déduction d’une contradiction.

Une logique (un ensemble de proposition appelées “tautologies”) peut être appelée :

– “décidable”s’il existe une procédure mécanique permettant de déterminer si une phrase est une tautolo- gie ;

– “compacte”si toute conséquence sémantique d’un ensemble infini de prémisses est une conséquence sémantique d’un ensemble fini de prémisses.

Théorème 1(Théorème de déduction).

PC

RAA

peut être déduit de si et seulement si

√ φ

p

φ → √

est un théorème.

1

q

Correction et complétude de la méthode des arbres

Théorème 2(Correction de la méthode des arbres). La méthode des arbres est correcte: toute phrase prouvable est une tautologie.

Théorème 3(Complétude de la méthode des arbres). La méthode des arbres est complète: toute tautologie est prouvable.

Distinguons deux types de formules propositionnelles :

α α

1

α

2

p¬¬

φ

q

φ φ

p

φ ∧ √

q

φ √

p¬(φ

∨ √)

q p¬

φ

q p¬

√

q p¬(φ

→ √)

q

φ

p¬

√

q

β β

1

β

2

p¬(φ

∧ √)

q p¬

φ

q p¬

√

q p

φ ∨ √

q

φ √

p

φ → √

q p¬

φ

q Les notions rigoureuses d’“arbre” et de “tableau”:

Définition 4(Arbres binaires). Un arbre binaire est une structure composée de ‘noeuds’ (points) et de ‘branches’

(lignes) te*e que chaque noeud, mis à part l’origine, se trouve à la fin d’une branche et te*e que tous les noeuds se trouvent au début d’au maximum deux branches.

Définition 5(Tableaux). Un tableau est un arbre binaire dont les noeuds sont des formules propositionne*es construites à partir d’une formule propositionne*e comme suit: si est une formule propositionne*e dont le tableau

√

χ

a déjà été

construit et que

T

en est un point extrême, nous élargissons

≥

par une des méthodes suivantes :

(A) Si une formule du type

T

a une occurrence sur le chemin

α B

_≥(le chemin de

χ

jusqu’à

≥

dans ), nous ajoutons soit

T α

₁soit

α

₂comme successeur unique à .

(B) Si une formule du type a une occurrence sur le chemin

≥

β B

_≥, nous ajoutons

β

₁comme successeur gauche et

β

comme successeur de droite à

2

.

Nous adaptons notre notion d’“interprétation”:

Définition 6(Interprétations d’un tableau). Une interprétation propositionne*e rend vraie une branche

≥

I B

d’un tableau sémantique ssi e*e rend vraies toutes les formules propositionne*es qui ont des occurrences sur cette branche.

φ

rend vrai un tableau ssi e*e rend vraie au moins une branche de ce tableau.

Théorème 7. Si

I

T

₂est une extension directe d’un tableau

T

₁, toute interprétation qui rend vraie

T

rend également vraie

1

T

^.

Théorème 8(Correction de la méthode des arbres). La méthode des arbres est correcte: toute phrase prouvable est une tautologie.

PR/uV/Le théorème(7) nous permet de prouver par induction mathématique que, pour tout tableau

2

, si l’origine

T

est rendu vrai par une interprétation , alors

φ I

est également rendu vrai par cette interprétation,

assurant l’étape d’induction. Supposons alors que prouve

T

T φ

. Cela signifie que

T

est un tableau qui ap¬

φ

comme origine et qui n’est rendu vrai sous aucune interprétation. Toute interprétation

q , par conséquent, rend faux

p¬

φ

q(si elle rendait vraie l’origine, elle devrait aussi rendre vrai le tableau qui en est l’extension)

I

:p¬

φ

n’est vrai sous aucune interprétation : c’est une contradiction.

q est donc une tautologie.

φ

La preuve de la complétude de la méthode des arbres

Nous appelons une branche

✷

B

“complète”si ces deux conditions sont remplies : – pour toute formule

φ

qu’elle contient, elle contient à la fois

α α

₁et

α

;

– pour toute formule

2

qu’elle contient, elle contient

β β

₁et/ou

β

.

Nous appelons un tableau“complet”si toute branche de ce tableau est soit fermée, soit complète. Notre but est de démontrer que

Si

2

est un tableau complet et ouvert, la formule à l’origine de est satisfaisable. (C) (C)veut dire que la formule d’origine d’un tableau complet qui reste ouvert est rendu vraie par au moins une interprétation – c’est-à-dire que(C)nous garantit qu’aucune table ne se ferme ‘trop tôt’. Si nous réussissons à prouver(C), nous obtenons la complétude de la méthode des arbres comme suit :

2

T T

Théorème 9(Complétude de la méthode des arbres). La méthode des arbres est complète: toute tautologie est prouvable.

PR/uV/Supposons que soit une tautologie. Si ne pouvait pas être prouvée par la méthode des arbres, nous pourrions construire un tableau complet pour

φ φ

p¬

φ

qqui resterait ouvert. Par(C),p¬

φ

serait satisfaisable et ne serait donc pas une contradiction. Par conséquent,

q

ne serait pas une tautologie. Puisqu’on a présupposé que est une tautologie, cette supposition doit être rejetée. est donc prouvable.

φ φ

φ

Pour prouver(C), nous démontrons le théorème(10)ci-dessous, duquel(C)s’ensuit, puisque la satifaisabilité de toute la branche implique la satisfaisabilité de son origine.

Théorème 10. Toute branche ouverte et complète d’un tableau est satisfaisable.

PR/uV/Supposons que

✷

B

_φ soit une branche ouverte et complète d’un tableau et que soit l’ensemble de toutes les phrases qui ont des occurrences sur

T E

B

_φ. Puisque

B

est une branche ouverte et grâce à nos règles de construction d’arbres (A)et (B), l’ensemble

φ

satisfait les trois conditions suivantes : (a) Il n’est pas le cas que contient une phrase simple “

E

E p

” et sa négation “

¬

^”.

(b) Si

p α ∈E

, alors

α

₁

∈E

et

α

₂ .

(c) Si

∈E β ∈E

, alors soit

β

₁

∈E

, soit

β

₂ .

On appelle un ensemble qui satisfait ces trois conditions un “ensemble de Hintikka”. Nous prouvons maintenant que tout ensemble de Hintikka est satisfaisable : Nous argumentons que tout ensemble de Hintikka peut être élargi à (est un sous-ensemble d’) un ensemble saturé. Un ensemble

∈E

E

^{est dit“saturé”}s’il satisfait les conditions suivantes :

(a’) Pour toute phrase

0

, soit

φ φ ∈E

^{0, soit}p¬

φ

q∈E, mais pas les deux.

(b’) Pour toute phrase du type

0

α α

,

∈E

⁰si et seulement si

α

1

∈E

^0et

α

2

∈E

^. (c’) Pour toute phrase du type

0

β β

,

∈E

⁰si et seulement si

β

1

∈E

^0ou

β

2

∈E

^. Pour montrer qu’il y a un ensemble saturé

0

E

^{0tel que}

E ⊂ E

⁰, nous devons ajouter assez de phrases à (i) pour que les implications dans (b) et (c) puissent être transformées en des équivalences dans (b’) et (c’) (ii) et pour que (a) soit vraie non seulement pour les phrases simples mais pour toutes les phrases.

Supposons que est un ensemble de Hintikka. Nous devons trouver une interprétation qui rende vraies toutes les phrases dans :

E

E E

I

(“

p

”) := ^{v “}





p

”

f “

∈ E

¬ p

^” un devetf “

∈ E p

”

6∈ E ∧ ¬

“

p

^” Par la condition (a), il n’arrive pas que

6∈ E

attribue deux valeurs de vérité différentes à une seule et même phrase atomique. Comment pouvons-nous montrer que rend vraie toute phrase dans

I

I

? Par la méthode de l’induction

mathématique.

Définition 11(Degré d’une phrase). Le degré d’une phrase

E

est le nombre naturel déterminé par les règles suivantes : (1) Si est une phrase atomique, alors son degré est

φ

φ

.

(2) Si

0 est une phrase niée

φ

p¬

√

qet que le degré de

√

^est

n

, alors son degré est

n

. (3) Si

+ 1 est une conjonction

φ

p

√ ∧ χ

q, une disjonctionp

√ ∨ χ

q, une implicationp

√ → χ

qou une équivalence p

√ ↔ χ

qet si le degré de

√

^est

n

et que le degré de

χ

est

m

, alors le degré de

φ

est

n

+

m

.

Nous démontrons alors par induction mathématique que

+ 1 rend vraies toutes les phrases dans

I

:

base de l’induction : Nous avons déjà vu que

E

rend vraies toutes les phrases simples (de degré 0) dans

I

.

pas de l’induction : Supposons que

E

rende vraie toute phrase dans

I φ E

de degré inférieur à ^{. Si} est d’un degré

supérieur à 0, doit être soit une formule , soit une formule : : Si est du type , alors

n φ

φ α β

α φ α α

₁et

α

₂sont aussi dans

E

. Mais ces formules sont d’un degré inférieur à ^, donc elles sont rendues vraies par . doit également être vrai.

: Si est du type , alors soit

n I φ

β φ β β

₁, soit

β

₂est un membre de . Quelle qu’elle soit, elle doit être rendue vraie par

E

(puisqu’elle est d’un degré inférieur à ). est également rendu vrai par . Nous avons donc défini une interprétation qui rend vraies toutes les phrases dans

I n φ I

et, plus généralement, toutes les phrases dans un ensemble de Hintikka. Comme les phrases sur une branche ouverte et complète d’un tableau forment un tel ensemble de Hintikka, nous avons démontré le théorème.

E

3

✷

Décidabilité et formes normales

Théorème 12(Décidabilité de la logique propositionnelle). La logique propositionne*e est décidable: il existe une procédure mécanique qui permet de déterminer si une proposition est ou non une tautologie.

Théorème 13. Si est une formule propositionne*e, il existe une formule de forme normale négative qui est sémantiquement équivalente à . Cette formule a une forme particulière:

– les négations n’apparaissent que devant des phrases simples ; – l’expression est une disjonction de conjonctions ;

– chaque disjoint correspond à une ligne de la table de vérité où la phrase entière est vraie.

Les règles de transformation : règle 1

φ √

φ √

φ ↔ √

❀ (φ

→ √) ∧

(√

→ φ

règle 2

)

φ → √

❀

¬ φ ∨

règle 3

√

¬

(φ

∧ √)

❀

¬ φ ∨ ¬

règle 4

√

¬

(φ

∨ √)

❀

¬ φ ∧ ¬

règle 5

√

¬¬ φ

❀

Un exemple :

φ

(p

↔ q) → r

((p

→ q) ∧

(q

→ p)) → r

^{règle 1}

¬

((p

→ q) ∧

(q

→ p)) ∨ r

^{règle 2}

¬

((

¬ p ∨ q) ∧

(q

→ p)) ∨ r

^{règle 2}

¬

((

¬ p ∨ q) ∧

(

¬ q ∨ p)) ∨ r

^{règle 2}

¬

(

¬ p ∨ q) ∨ ¬

(

¬ q ∨ p) ∨ r

^{règle 3} (

¬¬ p ∧ ¬ q) ∨ ¬

(

¬ q ∨ p) ∨ r

^{règle 4} (

¬¬ p ∧ ¬ q) ∨

(

¬¬ q ∧ ¬ p) ∨ r

^{règle 4}

(p

∧ ¬ q) ∨

(q

∧ ¬ p) ∨

^{règle 5}

Définition 14(Forme normale conjonctive). Une formule est en forme normale conjonctive si e*e est une conjonc- tion de disjonctions de propositions atomiques et de négations de propositions atomiques.

Théorème 15. Si est une formule propositionne*e, il y a une formule en forme normale conjonctive qui est sémantiquement équivalente à .

La compacité de la logique propositionnelle

Théorème 16(Le lemme de König). Si un arbre qui est généré de manière finie contient un nombre infini de noeuds, il contient une branche infinie.

Théorème 17. La logique propositionne*e est compacte:

r

φ √

φ

Γ

|

=

φ

si et seulement s’il existe un sous-ensemble fini Γ⁰

⊂

Γ^{tel que}Γ⁰

|

= ^.

PR/uV/Soient tous les sous-ensembles finis d’un ensemble

φ

satisfaisables. Supposons que nous soit donné comme une séquence (et non seulement comme un ensemble) de formules propositionnelles

Γ Γ

{ φ

₁

, φ

₂

, . . . , φ

_n

, . . .

étant telle que, pour tout

}

, l’ensemble

n { φ

1

, . . . , φ

n est satisfaisable. Cela est possible parce qu’il s’agit d’un sous-ensemble de

}

. Construisons le tableau analytique pour

Γ

φ

₁. Ce tableau ne peut pas être fermé puisque

φ

est

satisfaisable. Nous ajoutons maintenant

1

φ

à chaque branche ouverte et continuons le tableau. Cette procédure nous donne un tableau qui doit également être ouvert, puisque

2

{ φ

1

, φ

2

}

est satisfaisable. Nous ajoutons

φ

₃, puis

φ

et ainsi de suite. Nous obtenons un arbre généré de manière finie qui contient un nombre infini de noeuds (toutes les phrases dans

4

). Cet arbre doit contenir une branche infinie, par le lemme de König. Cette branche doit être ouverte et elle contient toutes les phrases dans .

Γ

Γ

4

✷