Chapitre V :Integration et d´erivation num´erique.

Analyse num´ erique I

Chapitre V :Integration et d´erivation num´erique.

Pr. Souad EL BERNOUSSI

Universit´ e Mohammed V de Rabat Facult´ e des Sciences

Laboratoire de recherche: (LabMIA-SI) April 5, 2020

Contents

1 1 - Introduction : 1

2 2.1 - D´eriv´ee premi`ere. 2

2.1 Formules de d´erivation en trois points . . . 4 2.2 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur. . . 5 3 M´ethodes num´eriques d’int´egration. 7 3.1 Formules ferm´ees. . . 7 3.2 Etude g´en´erale de l’erreur commise. . . 8 3.3 Formules compos´ees. . . 9

4 S´erie integration et d´erivation. 12

1 1 - Introduction :

Sif est une fonction d´erivable sur [a, b],la d´eriv´ee enc∈]a, b[ est d´efinie par:

f⁰(c) = lim

h→0

∆f(c) h o`u ∆f(c) = f(c+h)−f(c)

Si f est une fonction continue sur [a, b], l’integrale def sur [a, b] est d´efinie

par

Z b a

f(x)dx = lim

h→0R(h) o`u R(h) =

n

X

k=1

f(a+kh).h R(h) est la somme de Riemann avech= ^b−a_n .

On sait d´eterminer f⁰(c) ”exactement” pour f d´efinie `a partir de fonctions

´el´ementaires (exp: sinx,e^x,lnx, ...).

On sait aussi calculer Rb

af(x)dx en utilisant les th´eor`emes fondamentaux d’int´egration pour une fonction continue sur [a, b],et on a Rb

af(x)dx=F(b)− F(a) o`u F(x) est une primitive def(x).

Mais il existe des fonctions tr`es simples comme ^sin_x^x ou p

cos²x+ 3 sin²x qui n’ont pas de primitive connue, donc, comment peut-on integrer de telles fonctions entreaetb?

D’autre partf peut-ˆetre connue seulement en quelques points et sa formule est inconnue (exp: r´esultats experimentaux,...), donc comment peut-on d´eriver ou int´egrer ses fonctions?

Du point de vue num´erique, la solution `a ce probl`eme est imm´ediate: nous avons vu, dans les chapitres pr´ec´edents, comment approximer une fonction par une fonction plus simple, facile `a d´eriver ou `a int´egrer.

De fa¸con pr´ecise si P(x) est une approximation def dans l’intervalle [a, b], nous nous proposons d’´etudier les approximations:

f⁰(y) ≈ P⁰(y) y∈[a, b]

et Z b

a

f(x)dx ≈ Z b

a

P(x)dx.

La d´erivation num´erique nous permet de trouver une estimation de la d´eriv´ee ou de la pente d’une fonction, en utilisant seulement un ensemble discret de points.

2 2.1 - D´ eriv´ ee premi` ere.

Soitf une fonction connue seulement par sa valeur en (n+ 1) points donn´esxi

i= 0,1, ..., ndistincts.

Les formules de diff´erence les plus simples bas´ees sur l’utilisation de la ligne droite pour interpoler les donn´ees ulilisent deux points pour estimer la d´eriv´ee.

On suppose connue la valeur de la fonction en x_i−1, x_i et x_i+1; on pose f(x_i−1) =y_i−1, f(x_i) =y_i et f(x_i+1) =y_i+1.

Si on suppose que l’espace entre deux points successifs est constant, donc on poseh=xi−x_i−1=xi+1−xi.

Alors les formules standarts en deux points sont:

Formule de difference progressive : f⁰(x_i)≈ f(x_i+1)−f(x_i)

xi+1−xi

= y_i+1−y_i xi+1−xi

. Formule de difference r´egressive :

f⁰(xi)≈ f(xi)−f(xi−1)

xi−x_i−1 = yi−yi−1

xi−x_i−1. Formule de difference centrale

f⁰(xi)≈f(xi+1)−f(x_i−1)

x_i+1−x_i−1 = yi+1−y_i−1 x_i+1−x_i−1.

Les trois formules classiques de diff´erences sont visualis´ees sur la figure suiv- ante, et sont les cons´equences de la d´efinition de la d´eriv´ee:

Exemple :

Pour illustrer les trois formules, consid´erons les donn´ees suivantes:

(x₀, y₀) = (1,2); (x₁, y₁) = (2,4); (x₂, y₂) = (3,8); (x₃, y₃) = (4,16) et (x₄, y₄) = (5,32).

Nous voulons estimer la valeur def⁰(x₂).

Progressive: f⁰(x)≈ ^f(x_x^3)−f(x2)

3−x2 =¹⁶⁻⁸₄₋₃ = 8.

Regressive : f⁰(x)≈ ^f(x_x^2)−f(x1)

2−x1 = ⁸⁻⁴₃₋₂ = 4.

Centrale : f⁰(x)≈^f(x_x^3)−f(x1)

3−x1 = ¹⁶⁻⁴₄₋₂ = 6.

Les donn´ees ont ´et´e calcul´e pour la fonctionf(x) = 2^x. f⁰(x) = 2^xln(2) et pourx= 3 f⁰(3) = 2³ln(2) = 5.544.

Remarque:

Les formules de diff´erences classiques peuvent ˆetre trouv´ees en utilisant la formule de Taylor.

f(x+h) = f(x) +hf⁰(x) +h² 2 f⁰⁰(η).

x ≤ η≤x+h Remark 1 • Formule progressive:

h = xi+1−xi

f⁰(x_i) = f(x_i+1)−f(x_i)

h −h

2f⁰⁰(η) xi ≤ η≤xi+1

l’erreur est ^h₂f⁰⁰(η)donc enO(h).Cette formule peut ˆetre trouv´ee aussi en utilisant le polynˆome d’interpolation de Lagrange pour les points(xi, f(xi)) et(xi+1, f(xi+1)).

• Formule regressive:

h = xi−xi−1

f⁰(x_i) = f(x_i)−f(x_i−1)

h +h

2f⁰⁰(η) x_i−1 ≤ η≤x_i

La formule de diff´erence centrale de la d´eriv´ee en xi peut ˆetre trouv´ee en utilisant la formule de Taylor d’ordre 3 avech=xi+1−xi=xi−x_i−1

f(x_i+1) = f(x_i) +hf⁰(x_i) +h²

2 f⁰⁰(x_i) +h³ 3!f⁰⁰⁰(η₁) f(xi−1) = f(xi)−hf⁰(xi) +h²

2 f⁰⁰(xi)−h³ 3!f⁰⁰⁰(η2) x_i ≤ η₁≤x_i+1, x_i−1≤η₂≤x_i

si on suppose que f⁰⁰⁰ est continue sur [x_i−1, x_i+1] on peut ecrire la formule suivante:

f⁰(xi) = f(xi+1)−f(x_i−1)

2h +h²

6 f⁰⁰⁰(η) xi−1 ≤ η≤xi+1

l’erreur est ^h₆²f⁰⁰⁰(η)donc enO(h²).La formule de diff´erence centrale peut aussi ˆetre trouv´ee `a partir de polynˆome de d’int´erpolation de Lagrange en 3 points.

2.1 Formules de d´ erivation en trois points

On peut interpoler les donn´ees par un polynome au lieu d’utiliser la droite, nous obtenons alors les formules de diff´erence qui utilisent plus de deux points. On suppose que le pashest constant.

Formule de diff´erence progressive utilisant trois points:

f⁰(xi)≈ −f(x_i+2) + 4f(x_i+1)−3f(x_i) xi+2−xi

Formule de diff´erence r´egressive utilisant trois points:

f⁰(xi)≈3f(xi)−4f(x_i−1) +f(x_i−2) xi−x_i−2

Exemple : Formules de diff´erence en trois points:

En utilisant les donn´ees de l’exemple pr´ec´edent, on trouve:

f⁰(xi)≈ −32+4(16)−3(8)

2 = 4 progressive.

f⁰(xi)≈ 3(8)−4(4)+2

2 = 5 regressive.

Formule g´en´erale en trois points.

La formule d’approximation en 3 points de la d´eriv´ee premi`ere, bas´ee sur le polynˆome d’interpolation de Lagrange, n’utilise pas des points ´equidistants.

Etant donn´e trois points (x1, y1); (x2, y2) et (x3, y3) avec x1 < x2 < x3, la formule suivante permet d’approcher la d´eriv´ee en un point x ∈ [x1, x3]. Les d´eriv´ees aux pointsxi sont les suivantes:

f⁰(x1) = 2x1−x2−x3

(x1−x2)(x1−x3)y1+ x1−x3

(x2−x1)(x2−x3)y2+ x1−x2

(x3−x1)(x3−x2)y3; f⁰(x2) = x₂−x₃

(x1−x2)(x1−x3)y1+ 2x₂−x₁−x₃

(x2−x1)(x2−x3)y2+ x₂−x₁

(x3−x1)(x3−x2)y3; f⁰(x₃) = x₃−x₂

(x1−x2)(x1−x3)y₁+ x₃−x₁

(x2−x1)(x2−x3)y₂+ 2x₃−x₂−x₁ (x3−x1)(x3−x2)y₃; Le polynˆome de Lagrange est donn´ee par

L(x) = L₁(x)y₁+L₂(x)y₂+L₃(x)y₃ o`u

L₁(x) = (x−x2)(x−x3) (x₁−x₂)(x₁−x₃) L₂(x) = (x−x₁)(x−x₃)

(x2−x1)(x2−x3) L3(x) = (x−x1)(x−x2)

(x3−x1)(x3−x2)

L’approximation de la d´eriv´ee premi`ere est donn´ee par f⁰(x)≈ L⁰(x), qui peut s’ecrire

L⁰(x) = L⁰₁(x)y1+L⁰₂(x)y2+L⁰₃(x)y3

o`u

L⁰₁(x) = 2x−x2−x3

(x1−x2)(x1−x3) L⁰₂(x) = 2x−x₁−x₃

(x2−x1)(x2−x3) L⁰₃(x) = 2x−x₁−x₂

(x3−x1)(x3−x2) donc

f⁰(x) = 2x−x2−x3

(x1−x2)(x1−x3)y1+ 2x−x1−x3

(x2−x1)(x2−x3)y2+ 2x−x1−x2

(x3−x1)(x3−x2)y3.

2.2 D´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur.

Les formules de d´eriv´ees d’ordre sup´erieur, peuvent ˆetre trouv´ees `a partir des d´eriv´ees du polynˆome de Lagrange ou en utilisant les formules de Taylor.

Par exemple, ´etant donn´e 3 points x_i−1, xi, xi+1 ´equidistants, la formule de la d´eriv´ee seconde est donn´ee par:

f⁰⁰(xi) = 1

h²[f(xi+1)−2f(xi) +f(x_i−1)]

l’erreur est enO(h²).

D´eriv´ee seconde `a partir du polynˆome de Taylor.

f(x+h) =f(x) +hf⁰(x) +^h₂²f⁰⁰(x) +^h_3!³f⁰⁰⁰(x) +^h_4!⁴f⁽⁴⁾(η1) f(x−h) =f(x)−hf⁰(x) +^h₂²f⁰⁰(x)−^h_3!³f⁰⁰⁰(x) +^h_4!⁴f⁽⁴⁾(η₂) x≤η₁≤x+h et x−h≤η₂≤x.

f⁰⁰(x)'f(x+h) +f(x−h)−2f(x) h²

l’erreur est enO(h²).

Pour obtenir les formules de la troisi`eme et la quatri`eme d´eriv´ee, on prend une combinaison lin´eaire des d´eveloppement de Taylor, pour f(x+ 2h), f(x+ h), f(x−h) etf(x−2h).

La table suivante donne les diff´erentes formules centrales toutes enO(h²):

f⁰(xi) ' 1

2h[f(xi+1)−f(xi−1)]

f⁰⁰(xi) ' 1

h²[f(xi+1)−2f(xi) +f(xi−1)]

f⁰⁰⁰(xi) ' 1

2h³[f(xi+2)−2f(xi+1) + 2f(xi−1)−f(xi−2)]

f⁽⁴⁾(xi) ' 1

h⁴[f(xi+2)−4f(xi+1) + 6f(xi)−4f(xi−1) +f(xi−2)]. En utilisant les polynˆomes d’interpolation de Lagrange les d´eriv´ees d’ordre psont calcul´ees par:

f^(p)(α) ∼

n

X

i=0

Ai(α)f(xi) o`u

Ai(α) = L^(p)_i (α) p≤n

n

X

i=0

Ai(α)x^k_i = 0 0≤k≤p−1

n

X

i=0

A_i(α)x^k_i = k(k−1)...(k−p+ 1)α^k−p p≤k≤n.

Remarque :

La fomule est exacte pour les polynˆomes de degr´es≤n.

Le syst`eme lin´eaire donnant lesAi(α) a un d´eterminant de type Vandermonde diff´erent de z´ero si lesxi sont distincts.

LesAi(α) sont ind´ependants def et peuvent ˆetre calcul´es une fois pour toutes.

3 M´ ethodes num´ eriques d’int´ egration.

Le but de cette le¸con est de calculer num´eriquement des int´egrales d´efinies ou ind´efinies. Soit f : [a, b] → R, une fonction continue donn´ee. On d´esire ap- procher num´eriquement la quantit´eRb

a f(x)dx.

3.1 Formules ferm´ ees.

On appelle ainsi les formules quand la fonction f est continue sur Formule des rectangles.

La formule des rectangles est une formule dite `a un point x<sub>0</sub> = a. Le polynˆome d’interpolation associ´e estP<sub>0</sub>(x) =f(a) etL(x) =x−apour toutx appartenant `a [a, b].D’o`u

I(f)'I(P₀) =f(a)(b−a).

L’interpr´etation graphique consiste donc `a remplacerRb

a f(x)dxpar l’aire du rectangle de base [a, b] et de hauteurf(a).

Formule des trap`ezes.

La formule des trap`ezes est une formule `a 2 points : x0 = a et x1 = b.

Le polynˆome de Lagrange associ´e `a ces deux points estP₁(x) =f(a)

x−b a−b

+ f(b)

x−a b−a

. D’o`u

I(f)'I(P1) = Z b

a

P1(x)dx=f(a) +f(b) 2 (b−a).

Formule de Simpson.

La formule de Simpson est une formule `a trois points x<sub>0</sub> = a , x<sub>1</sub> = <sup>a+b</sup><sub>2</sub> et x2 =b: . Le polynˆome associ´e `a ces trois points est P2(x) = f(a)L0(x) + f(^a+b₂ )L1(x) +f(b)L3(x).Notons que

L0(x) = (x−x₁)(x−b) (a−x1)(a−b) ⇒

Z b a

L0(x)dx= (b−a) 6 , L1(x) = (x−a)(x−b)

(x1−a)(x1−b)⇒ Z b

a

L1(x)dx=4(b−a)

6 ,

L₂(x) = (x−x1)(x−a) (b−x₁)(b−a) ⇒

Z b a

L₂(x)dx= (b−a) 6 , On tire donc la formule suivante:

I(f)'I(P₂) = (b−a) 6

f(a) + 4f(a+b

2 ) +f(b)

. Formules ouvertes.

On appelle ainsi les formules quand la fonctionf est continue sur l’intervalle ]a, b[.Les points d’interpolationxi verifient

Formule de Steffensen.

Il en existe une infinit´e.

• Une `a 1 point avecx0= ^a+b₂ qui donne la formule du milieu suivant:

I(f)'(b−a)f(^a+b₂ )

Cette formule est exacte pour tout polynˆome de degr´e 1.

• Une `a 2 points avecx₀= ^2a+b₃ etx₁=^a+2b₃ qui donne la formule suivante :

I(f)'b−a 2

f

2a+b 3

+f

2b+a 3

. Cette formule est exacte pour tout polynˆome de degr´e 1.

• Une `a 3 points avec x0 = ^3a+b₄ et x1 = ^a+b₂ et x2 = ^3b+a₄ qui donne la formule suivante :

I(f)' b−a 6

4f

3a+b 4

+ 2f

a+b 2

−2f

a+ 3b 4

. Cette formule est exacte pour tous les polynˆomes de degr´e 2.

3.2 Etude g´ en´ erale de l’erreur commise.

Pour que les formules d’int´egration num´erique donn´ees pr´ec´edement soient int´er´essantes, il faut que l’on puisse estimer l’erreurE(f) =I(f)−I(Pn) avec pr´ecision. Or sif est suffisamment d´erivable, on a

E(f) =I(f−P_n) = Z b

a

1

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x)L(x)

dx.

Th´eor`eme: Supposons queE(f) = 0 pour les polynˆomes de degr´e au plusnet que la fonctionf ∈Cⁿ⁺¹([a, b]). On dit alors que la m´ethode est d’ordren+ 1.

Si on poseM_n+1= max

x∈[a;b]|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|, Une premi`ere estimation de l’erreur est

|E(f)|≤ 1

(n+ 1)!M_n+1 Z b

a

|L(x)|dx.

Th´eor`eme : En plus des hypoth`eses du Th pr´ec´edent, on suppose que le polynˆome L(x) ne change pas de signe sur [a, b], alors en utilisant le Th de la moy`enne pourE(f),on obtient

E(f) = 1

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(η) Z b

a

L(x)dx.

η ∈ [a, b]

En utilisant ce dernier Th´eor`eme on peut estimer les erreurs des m´ethodes vues ci-dessus.

• Pour la formule du rectangle on a:

E(f) =f⁰(η) Z b

a

(x−a)dx=f⁰(η)(b−a)²

2 η∈[a, b]

cette m´ethode est d’ordre 2.

• Pour la formule du trap`eze on a:

E(f) = 1 2f⁰⁰(η)

Z b a

(x−a)(x−b)dx=−f⁰⁰(η)

12 (b−a)³ la m´ethode de Trap`eze est dordre 3.

• Pour la formule de Simpson on a:

E(f) =−f⁽⁴⁾(η) 90

b−a 2

5

, la m´ethode de Simpson est dordre 4.

Exemple : I=R1

0 e^−x2dx, a= 0,^a+b₂ = ¹₂, b= 1, f(0) = 1, f(¹₂) =.7788, f(1) =.36788.

1. Rectangle: I'f(0) = 1.

2. Trap`eze: I'h_f(0)+f(1)

2

i

=.68393.

3. Simpson: I'¹₆

f(0) + 4f(¹₂) +f(1)

=.74718.

4. La valeur deI `a 5 d´ecimales est.74718.

3.3 Formules compos´ ees.

Plutˆot que d’augmenter le degr´e du polynˆome d’interpolation, on peut obtenir une formule d’integration en d´ecoupant l’intervalle d’int´egration en sous-intervalles et en appliquant des formules simples sur chacun des sous-intervalles.

Formule de trap`eze.

Si nest entier, posons h= b−a

n , xk =a+kh, k= 0, ..., n.

alors

I(f) = Z b

a

f(x)dx=

n−1

X

k=0

Z x_k+1 x_k

f(x)dx

=

n−1

X

k=0

f(xk) +f(xk+1) 2

h−h³

12f⁰⁰(ηk)

, o`u ηk ∈ [xk, xk+1], k= 0, ..., n−1

D´eveloppant et regroupant les termes qui apparaissent 2 fois, on obtient I(f) =h

2

"

f(a) + 2

n−1

X

k=1

f(a+kh) +f(b)

#

−h³ 12

n−1

X

k=0

f⁰⁰(ηk)

En appliquant le Th des valeurs interm´ediaires, on peut r´e´ecrire l’erreur sous la forme

E(f) =−nh³

12 f⁰⁰(η) =−(b−a)

12 f⁰⁰(η)h².

Ceci nous donne la formule du trap`eze compos´ee pour laquelle l’approximation est donn´ee par:

T_n(f) = h 2

"

f(a) + 2

n−1

X

k=1

f(a+kh) +f(b)

#

et l’erreur par

ET(f) =−(b−a)

12 f⁰⁰(η)h². Formule de Simpson compos´ee.

Supposons maintenant que n soit pair, groupant les intervalles 2 `a 2 et appliquant la formule de Simpson sur [x_i, x_i+2], on obtient

I(f) = h 3



f(a) + 4 X

k impair

f(a+kh) + 2 X

k pair

f(a+kh) +f(b)



−n 2

f⁽⁴⁾(η) 90 h⁵. Ceci nous conduit `a la formule de Simpson compos´ee pour laquelle l’approximation est donn´ee par

S_n(f) = h 3



f(a) + 4 X

k impair

f(a+kh) + 2 X

k pair

f(a+kh) +f(b)





et l’erreur par

ES(f) =−f⁽⁴⁾(η)(b−a) 180 h⁴. Exemple : D´eterminerR1

0 e^−x2dx.

Si nd´esigne le nombre des intervalles utilis´es.

n Tn(f) ET(f) 2 .73137 .015 4 .74298 3.84×10⁻³ 8 .74658 9.58×10⁻⁴ 16 .74676 1.39×10⁻⁴ 32 .74680 5.98×10⁻⁵

Si nous d´esirons obtenir 6 d´ecimales exactes, il nous faut d´eterminer h tel que

0≤η≤1max |f⁰⁰(η)| h²

12 ≤5×10⁻⁷, (1)

Pour une partition r´eguli`erex_k =kh, h=_n¹; donc nous cherchonsntel que n²≥ 1

12 max

0≤η≤1|f⁰⁰(η)| 1 5×10⁻⁷.

or f⁰⁰(x) = e^−x2(4x²−2) etf⁰⁰⁰(x) = e^−x24x(3−2x²). Puisque f⁰⁰⁰(x) ne change pas de signe sur [0; 1],

0≤η≤1max |f⁰⁰(η)|= max{|f⁰⁰(0)|,|f⁰⁰(1)|}= 2.

On voit que (1) sera satisfaite si n²≥ 10⁶

3 , n >578.

Remarque: Dans le choix de la pr´ecision demand´ee, il faut tenir compte des erreurs d’arrondi et de l’accumutation des erreurs

4 S´ erie integration et d´ erivation.

Exercice 1. Pour les probl`emes des exercices 2 et 3, donner des approximations des d´eriv´ees dans les cas suivants:

En utilisant la formule de diff´erence progressive.

En utilisant la formule de diff´erence regressive.

En utilisant la formule de diff´erence centrale.

Exercice 2 Approcher y⁰(1.0) si

x = [0.8 0.9 1.0 1.1 1.2]

y = [0.992 0.999 1.000 1.001 1.008]

Exercice 3 Approcher y⁰(4)si

x = [0 1 4 9 16]

y = [0 1 2 3 4]

Exercice 4 Calculery⁰⁰(2)si

x = [0 1 2 3 4]

y = [0 1 4 9 16]

Exercice 5 : CalculerR^π₂

0 sin²xdxen utilisant la formule du trap`eze et la for- mule de Simpson. Comparer avec le r´esultat exact.

Exercice 6 pour le probl`eme P1 approcher l’ integrale:

1. En utilisant la formule de trap`eze compos´ee avec2 intervalles.

2. En utilisant la formule de trap`eze compos´ee avec10 intervalles.

3. En utilisant la formule de Simpson avec 2 intervalles.

4. En utilisant la formule de Simpson compos´ee avec10intervalles.

P1 : Z 1

0

xsin(πx)dx

Exercice 7 En utilisant les formules d’estimation d’erreur, trouver les bornes d’erreur pour le probl`eme P1 dans les cas 1-4, puis calculer la valeur exacte de l’integrale et comparer les erreurs exactes ”E(f)” et les bornes d’erreurs trouv´ees.