Exercice 1. Probl` eme de transmission

TD MA201 Calcul Scientifique

S´eance n ^o 3

Formulations variationnelles Enonc´e

16 Novembre 2004

Exercice 1. Probl` eme de transmission

Soit Ω ⊂ R² tel que Ω = ¯Ω₁ ∪Ω¯₂ avec Ω₁,Ω₂ deux ouverts disjoints. On suppose que les fronti`eres Σ = ¯Ω1 ∩ Ω¯2 et Γ = ∂Ω sont r´eguli`eres. Soient k1 > 0, k2 > 0, (f, g) ∈ L²(Ω)×L²(Γ), on recherche u=P₂

i=1u_iχ_Ωi avec

(1)









−div(k_i∇u_i) +u_i =f, Ω_i

∂_nu=g, Γ

k₁∂_nu₁ =k₂∂_nu₂, Σ

u₁ =u₂, Σ

o`un d´esigne la normale `a Σ pointant vers le domaine Ω₂.

1.1 - Montrer que la formulation variationnelle associ´ee consiste `a rechercheru∈H¹(Ω) tel que

(2)

Z

Ω

¡k∇u· ∇v+u v¢

= Z

Ω

f v+ Z

Γ

k g v,∀v ∈ H¹(Ω) o`uk =k₁χ_Ω1 +k₂χ_Ω2.

1.2 - Montrer `a l’aide du th´eor`eme de Lax-Milgram que la formulation (2) admet une unique solution.

1.3 - Montrer qu’une solution reguli`ere de cette formulation est aussi solution forte du probl`eme (1).

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Exercice 2. Convection-diffusion

Soit Ω un domaine r´egulier de R² de fronti`ere Γ. On consid`ere un champ de vecteur u∈¡

L^∞(Ω)¢₂

et l’on recherche ϕtel que (3)

½ −∆ϕ+∇ϕ·u=f, Ω

ϕ= 0, Γ

2.1 - Montrer que la formulation variationnelle associ´ee consiste `a rechercher ϕ∈H₀¹(Ω) tel que

(4)

Z

Ω

∇ϕ· ∇ψ dx+ Z

Ω

∇ϕ·uψ dx= Z

Ω

f ψ dx, ∀ψ ∈H₀¹(Ω)

2.2 - A l’aide du th´eor`eme de Lax-Milgram, ´etablir l’existence et l’unicit´e d’une solution de cette formulation sous la condition

kuk_(L^∞_(Ω))² < 1 C_Ω, o`uC_Ω d´esigne la constante dans l’in´egalit´e de Poincar´e.

Exercice 3. Syst` eme de l’´ elasticit´ e

Consid´erons un solide homog`ene isotrope occupant le domaine r´egulier born´e Ω ⊂R<sup>3</sup> de fronti`ere Γ. On se place dans l’hypoth`ese des petits d´eplacements u qui sont solutions du syst`eme de l’´elasticit´e lin´eaire,

(5)

½ −divσ(u) =f, Ω

u=0, Γ

o`u{σ_i,j}_1≤i,j≤3(u) d´esigne le tenseur des contraintes ´elastiques reli´e au tenseur des d´eformations

²(u) = 1

2(Du+^∗Du)

`a l’aide de la loi de comportement suivante

σ(u) = λ(divu) I +2µ ²(u)

o`u (λ, µ) d´esigne les coefficients de Lam´e. On a utilis´e les notations suivantes, (divσ)_i =∂_jσ_i,j divu=∂_ju_j

(Du)_i,j =∂_ju_i, (^∗Du)_i,j =∂_iu_j I_i,j =δ_i,j

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TD MA201 Calcul Scientifique 3.1 - Montrer que la formulation variationnelle associ´ee consiste `a rechercheru∈(H₀¹(Ω))³ tel que

(6) λ

Z

Ω

(divu) (divv)dx+ 2µ Z

Ω

²(u)· ·²(v)dx= Z

Ω

f ·udx,∀v∈(H₀¹(Ω))³ 3.2 - Etablir la premi`ere in´egalit´e de Korn,

(7) k²(u)k²_(L2(Ω))^3×3 ≥ 1

2kDuk²_(L2(Ω))^3×3

3.3 - D´emontrer alors que pour λ ≥0 , µ > 0 et f ∈ (L²(Ω))³, cette formulation varia- tionnelle admet une unique solution.

Exercice 4. Minimisation dans un Hilbert

Soit (V,(., .)) un espace de Hilbert r´eel muni du produit scalaire (., .) et de norme associ´ee k.k. Soit U ⊂V une partie convexe ferm´ee non vide.

4.1 - Pour toutf ∈V, montrer qu’il existe un unique ´el´ement u∈ U tel que

(8) kf −uk ≤ kf −vk, ∀v ∈ U

4.2 - Montrer que le point minimum u∈ U est caract´eris´e par la relation,

(9) (f −u, v−u)≤0, ∀v ∈ U

4.3 - Soit une formea(., .) surV ×V, bilin´eaire, sym´etrique, positive, continue et coercive et` une forme lin´eaire continue surV. Montrer que la fonctionnelle

(10) J(v) = 1

2a(v, v)−`(v)

admet un minimum unique u∈ U sur U caract´eris´e par la relation,

(11) a(u, v−u)≤`(v−u), ∀v ∈ U

4.4 - Montrer l’´equivalence entre la formulation variationnelle a(u, v) =`(v), ∀v ∈V

et le probl`eme de minimisation de J lorsque U =V.

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