LES NOMBRES COMPLEXES ET LES POLYN ˆOMES
1. Les nombres complexes
Puisque le carr´e de tout nombre r´eel est positif, aucun nombre r´eel n´egatif n’a de racine carr´ee r´eelle. Or il est souvent essentiel en physique et en math´ematiques de savoir qu’il existe pour tout nombre r´eelxun autre “nombre”y tel quey2=x.
Pour y arriver il suffit d’introduire un nouveau nombre, not´e i, tel que i2 = −1.
D`es lors, sixest n’importe quel nombre n´egatif, on obtient que p|x| ·i2
=x, i.e.,xadmet une racine carr´ee.
D´efinition 1.1. Unnombre complexe est une expression de la formea+bi, o`ua etb sont des nombres r´eels. L’ensemble de tous les nombres complexes est not´eC. Etant donn´e deux nombres complexesw=a+bietz=c+di, leursomme est le nombre complexe
w+z:= (a+c) + (b+d)i.
Leurproduit est le nombre complexe
w·z:= (ac−bd) + (ad+bc)i.
Remarque 1.2. Observer que l’ensemble de tous les nombres r´eels, not´e R, est un sousensemble de C, puisque a = a+ 0i pour tout nombre r´eel a. D’ailleurs, la somme usuelle de deux nombres r´eels est ´egale `a leur somme en tant que nombres complexes. De mˆeme, leur produit usuel est ´egal `a leur produit en tant que nombres complexes.
Remarque 1.3. Tout nombre complexea+bicorrespond `a un point (a, b) du plan r´eel R2. Il peut donc ˆetre d´etermin´e par un angle θ par rapport `a la demidroite {(x,0)|x≥0}et par une distancerdepuis l’origine, i.e., le rayon du cercle centr´e
`
a l’origine sur lequel le point (a, b) se trouve.
La proposition suivante donne toutes les propri´et´es les plus importantes des op´erations arithm´etiques complexes. Elle nous dit que C, muni des op´erations d´efinies ci-dessus, est un corps, tout comme R muni des op´erations usuelles. En faitRest unsouscorps deC.
Proposition 1.4. Soientz1, z2, z3 des nombres complexes. Alors:
(1) (Commutativit´e de l’addition et de la multiplication) z1+z2=z2+z1 et z1·z2=z2·z1; (2) (Associativit´e de l’addition et de la multiplication)
(z1+z2) +z3=z1+ (z2+z3) et (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);
(3) (El´ements neutres additifs et multiplicatifs) z1+ 0 =z1 et z1·1 =z1;
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(4) (Inverses additifs) il existe un nombre complexev1 tel quez1+v1= 0;
(5) (Inverses multiplicatifs) siz16= 0, il existe un nombre complexew1 tel que z1·w1= 1; et
(6) (Distributivit´e)z1·(z2+z3) =z1·z2+z1·z3.
Pour conclure cette section, nous examinons quelques op´erations qui associent un nombre r´eel `a un nombre complexe.
D´efinition 1.5. Soit z =a+biun nombre complexe. La partie r´eelle de z est le nombre r´eel Re(z) := a, tandis que sa partie imaginaire est le nombre r´eel Im(z) := b. La conjugu´ee complexe dez est le nombre complexe ¯z :=a−bi. Le module (ou lavaleur absolue) dez est le nombre r´eel
|z|:=√
z·z¯=p a2+b2.
La proposition suivante r´esume les relations parmi toutes les op´erations sur les nombres complexes d´efinies dans cette section.
Proposition 1.6. Soientw etz des nombres complexes. Alors:
(1) Re(w+z) = Re(w) + Re(z);
(2) Im(w+z) = Im(w) + Im(z);
(3) z+ ¯z= 2·Re(z);
(4) z−z¯= 2·Im(z)·i;
(5) w+z=w+ ¯z;
(6) w·z=w·z;¯ (7) ¯z¯=z; et
(8) |w·z|=|w| · |z|.
2. Polynˆomes et leurs racines
Les polynˆomes `a coefficients r´eels ou complexes sont des outils tr`es importants en alg`ebre lin´eaire. Ici nous rappelons bri`evement les d´efinitions ´el´ementaires n´ecessaires, ainsi que les r´esultats essentiels concernant l’existence de racines de polynˆomes. Pour plus de d´etails, voir le Chapitre 4 du livre d’Axler.
Dor´enavantFd´esigneRouC.
D´efinition 2.1. Soitnun nombre naturel. Unpolynˆome de degr´en`a coefficients dans F est une applicationp: F→F telle qu’il existe a0, .., an ∈ F, avecan 6= 0, v´erifiant p(z) =a0+a1z+· · ·+anzn pour tout z ∈F. Un polynˆome de degr´e 0 est appel´econstant.
L’ensemble de tous les polynˆomes `a coefficients dansFest not´eP(F), tandis que l’ensemble de tous les polynˆomes `a coefficients dans F et de degr´e au plusn est not´ePn(F).
Soitp∈P(F). Un ´el´ement λdeFest uneracine du polynˆomepsip(λ) = 0.
Remarque 2.2. Pour voir que la notion du “degr´e” d’un polynˆome `a coefficients r´eels ou complexes n’est pas ambigu¨e, i.e., qu’un polynˆome ne peut pas avoir des degr´es distincts, on d´emontre que si a0+a1z+· · ·+anzn = 0 pour tout z ∈ F, alorsa0=a1=· · ·=an= 0.
Remarque 2.3. Puisque R ⊂ C, tout polynˆome `a coefficients r´eels peut ˆetre vu comme un polynˆome `a coefficients complexes. Autrement dit,P(R)⊂P(C).
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Voici les propri´et´es ´el´ementaires les plus importantes des racines de polynˆomes.
Les preuves se trouvent dans le Chapitre 4 du livre d’Axer.
Proposition 2.4. Soitp∈P(F).
(1) Sipest de degr´en, alors pa au plusnracines distinctes dansF.
(2) Si F=R, alors un nombre complexeλ est une racine dep(vu comme un polynˆome `a coefficients complexes) seulement si ¯λest aussi une racine de p.
Sans savoir qu’il existe toujours des racines complexes de polynˆomes `a coeffi- cients complexes, ce que nous garantit le th´eor`eme suivant, on ne pourrait pas faire grand’chose. On dit que le corpsCestalg´ebriquement clos.
Th´eor`eme 2.5 (Le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre). Tout polynˆome noncon- stant `a coefficients complexes admet au moins une racine complexe.
Remarque 2.6. L’´enonc´e ci-dessus est FAUX si le mot “complexe” est partout rem- plac´e par le mot “r´eel.”
Un argument “par r´ecurrence” (une technique que nous employerons souvent!) nous permet de d´emontrer le r´esultat suivant `a partir du Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre.
Th´eor`eme 2.7 (Factorisation de polynˆomes complexes). Soitp∈P(C). Sipest nonconstant, alors il existe des nombres complexesc, λ1, ..., λn, pas forc´ement tous distincts, tels que
p(z) =c(z−λ1)(z−λ2)· · ·(z−λn)
pour tout nombre complexez. D’ailleurs, cette factorisation est unique `a ordre des facteurs pr`es.
Nous terminons par une pr´esentation de ce que l’on peut dire dans le cas r´eel. Il faut d’abord se souvenir de la formule quadratique pour les racines d’un polynˆome de degr´e 2.
Proposition 2.8. Soitp(z) =a0+a1z+a2z2un polynˆome de degr´e 2 `a coefficients dansC. Alors les racines de psont
−a1±p
a21−4a0a2
2a2
.
En particulier, si p∈P2(R), alors ses racines sont r´eelles si et seulement si a21−4a0a2≥0.
Le prochain th´eor`eme est analogue au Th´eor`eme 2.7, mais s’applique au cas r´eel.
Th´eor`eme 2.9(Factorisation de polynˆomes r´eels). Soitp∈P(R). Sipest noncon- stant, alors il existe des nombres r´eelsc, λ1, ..., λm, α1, β1, ..., αl, βl, pas forc´ement tous distincts, tels que
p(x) =c(x−λ1)(x−λ2)· · ·(x−λm)(x2+α1x+β1)· · ·(x2+αlx+βl) pour tout nombre r´eelxet tels que α2j <4βj pour toutj. D’ailleurs, cette factori- sation est unique `a ordre des facteurs pr`es.
