conforme, sur maillage cart´ esien uniforme, le probl` eme de Robin suivant.

ISITV-EDPP 2016 TP sur elliptique et projection.

1. R´ esoudre num´ eriquement ` a l’aide de l’approximation EF Q

conforme, sur maillage cart´ esien uniforme, le probl` eme de Robin suivant.

On consid` ere l’ouvert Ω =]0, L[×]0, H [,

( −∆u(x) = f(x) dans Ω γu(x) + ∂

u = g sur ∂Ω,

o` u γ > 00 pourra ˆ etre pris petit pour approcher le probl` eme de Neuman et grand pour approcher le probl` eme de Dirichlet. On remarquera que la restriction des fonctions Q

au bord sont P

du bord.

2. Que doit-on ajouter comme condition pour traiter le cas γ = 0? Le justifier.

3. Choisir γ et g = 0 ` a votre guise, valider la convergence num´ eriquement et donner l’ordre de convergence num´ erique en choisissant une solution analytique non polynˆ omiale. (On choisit u respectant la condition limite et on calcule f en cons´ equence).

4. On rappelle que tout champ de vitesse de (L

(Ω))

se d´ ecompose en un champ ` a divergence nulle et un gradient: soit u ∈ (L

(Ω))

, il existe un unique p ∈ H ˙

(Ω) et v ∈ L

(Ω))

tel que div v = 0 v´ erifiant

u = ∇p + v (1)

et v · n = u · n + c, o` u c est une constante ` a d´ eterminer. (On se ram` enera au probl` eme pr´ ec´ edent avec γ = 0, en appliquant la divergence ` a (1)).

5. Soit u(x, y) = (x + y, y − x), ´ ecrire l’´ equation v´ erifi´ ee par p, la r´ esoudre num´ eriquement et en d´ eduire v. Repr´ esenter num´ eriquement u et v.

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