conforme en espace , sur maillage cart´ esien uniforme, l’´ equation de la chaleur suivante: On consid` ere l’ouvert Ω =]0, 1[×]0, 1[,

ISITV-EDPP 2016 TP sur parabolique.

1. R´ esoudre num´ eriquement ` a l’aide de l’approximation EF Q

conforme en espace , sur maillage cart´ esien uniforme, l’´ equation de la chaleur suivante: On consid` ere l’ouvert Ω =]0, 1[×]0, 1[,

( ∂

u(t, x) − ∆u(t, x) = f (x) dans ]0, T [×Ω u(t, x) + ∂

u(t, x) = 0 sur ]0, T [×∂Ω.

On choisira une discr´ etisation implicite en temps.

2. V´ erifier num´ eriquement la stabilit´ e inconditionnelle dans L

(Ω).

3. Construire une solution analytique en adaptant le second membre f et valider la convergence au temps T > 0 fix´ e de votre choix.

4. Justifier par ´ ecrit la stabilit´ e inconditionnelle dans L

(Ω) pour le sch´ ema en temps de Cranck- Nicholson:

(

δt

− ∆

= 0 dans Ω u

(x) + ∂

u

(x) = 0 sur ∂Ω.

5. Prendre f = 0, une donn´ ee initiale non triviale, choisir un temps final suffisamment grand pour que le profil de la solution soit stabilis´ e (seul l’amplitude d´ ecroˆıt). Estimer la d´ ecroissance comme un coefficient multiplicatif de la forme

exp(−λ

T ).

Donner la valeur de λ

et dire ` a quoi correspond λ

.

6. Coder le sch´ ema de Cranck-Nicholson pour la mˆ eme discr´ etisation spatiale que pr´ ec´ edemment.

Pour une donn´ ee initiale discontinue, observer et commenter la solution pour les premiers it´ er´ es en temps (en fonction de la taille du pas de temps).

Sujet bis: R´ esolution de Stokes instationnaire.

On consid` ere le probl` eme de Stokes instationnaire en ´ ecoulement incompressible sur l’ouvert Ω = ]0, 1[×]0, 1[,



 

 

∂

u(t, x) − η∆u(t, x) + ∇p = f (x) dans ]0, T [×Ω div u(t, x) = 0 dans ]0, T [×Ω

u(t, x) = 0 sur ]0, T [×∂Ω.

1. Proposer l’algorithme temporel de pr´ ediction-correction vu en cours.

1

2. Discr´ etiser en espace ` a l’aide d’un sch´ ema MAC (grille d´ ecal´ e). On rappelle que le maillage en pression cart´ esien (avec p au centre des mailles), de taille (n, m), maille Ω. Si la condition de bord de Dirichlet en vitesse (adh´ erence aux parois pour u = (u, v)) est int´ egr´ ee aux inconnus, alors u est de taille (n + 1, m) et v est de taille (n, m + 1). Donner l’expresssion des discr´ etisations diff´ erence fini (ou volume fini) des termes ∆u, ∂

p et div u. Puis coder la r´ esolution du probl` eme.

3. Choisir une condition initiale nulle et un for¸ cage f = (y − 0.5, −x + 0.5). Observer la solution au cours du temps et commentez.

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