Pour θ ∈ [0, 1], on consid` ere la chaˆıne de Markov sur E = {1, 2, 3} d’´ etat initial X 0 = 1 et de matrice de transition

MAF 2012-2013

Probabilit´ es et Statistique Partiel du 4 mars 2013

Exercice

Pour θ ∈ [0, 1], on consid` ere la chaˆıne de Markov sur E = {1, 2, 3} d’´ etat initial X ₀ = 1 et de matrice de transition

Π =













 1 2

θ 2

1

2 (1 − θ)

θ 1 − θ 0

0 1 0













 .

1) Discuter suivant la valeur de θ de la nature des ´ etats et de la chaˆıne.

2) On suppose que θ = 1. Calculer P ¹ (X ₄ = 1).

3) On suppose que θ = 0.5. Que vaut la limite presque sˆ ure de n ⁻¹ P n j=1 X _j ?

Probl` eme

Soit X ₁ , . . . , X _n un n-´ echantillon de densit´ e :

f(x) = C _α

_,β

x

⁻¹ 1 _[0,β

_] (x), α ^∗ , β ^∗ > 0.

1) Calculer la constante C _α

_,β

.

2) Pour α, β > 0, calculer la fonction de vraisemblance associ´ ee aux observations X 1 , . . . , X n ∈ R ⁺ . Montrer que la fonction log-vraisemblance est :

l _n (α, β; X ₁ , . . . , X _n ) = −n log α − n

α log β + ( 1 α − 1)

n

X

i=1

log X _i si β ≥ max

i=1...n X _i ,

= −∞ si β < max

i=1...n X _i . 3) On suppose que α ^∗ est connu et β ^∗ inconnu.

a) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance β b _n de β ^∗ . b) Montrer que β b _n a pour densit´ e :

g _n (t) = n α ^∗ β ^∗

t β ^∗

−1

1 _[0,β

_] (t).

β b n est-il sans biais ?

c) Montrer que pour t > β ^∗ on a P (| β b _n − β ^∗ | ≥ t) = 0. Tandis que pour t ∈ [0, β ^∗ ] : P (|b β _n − β ^∗ | ≥ t) = P (0 ≤ β b _n ≤ β ^∗ − t) =

1 − t

β ^∗

.

En d´ eduire que β b _n est un estimateur faiblement consistant.

1

d) Montrer, en utilisant c) que n(β ^∗ − β b _n ) converge en loi vers une loi exponentielle de param` etre _α

¹ β

.

e) On suppose que α ^∗ = ¹ ₂ pour n = 100 et (max _i=1...n X _i )observ´ e = 10. Donner un intervalle de confiance asymptotique ` a 5% pour β <sup>∗</sup> . Indication : calculer la fonction de r´ epartition de la loi exponentielle de param` etre _α

¹ β

.

4) On suppose maintenant que β ^∗ est connu et α ^∗ inconnu.

a) Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance α b _n de α ^∗ . b) α b n est-il bias´ e ?

c) Montrer que α b _n est un estimateur consistant.

d) Calculer σ ² = var (log X ₁ ) et d´ eterminer la loi limite de

√ n( α b _n − α ^∗ )

σ .

e) On suppose que β ^∗ = 1 et n = 100, on a observ´ e ( ₁₀₀ ¹ P 100

i=1 log X _i )obs = −15. Donner un intervalle de confiance asymptotique ` a 5% pour α ^∗ .

5) On suppose maintenat que α ^∗ et β ^∗ sont inconnus.

a) En utilisant les questions 3.a) et 4.a), montrer que l’estimateur du maximum de vrai- semblance de (α ^∗ , β ^∗ ) est

b b

β _n = max

i=1...n X _i b b

α _n = − 1 n

n

X

i=1

log X _i b b β _n

.

b) En exprimant b

β b _n et b

α b _n en fonction de β b _n et α b _n , montrer que b

α b _n et b

β b _n sont des estimateurs biais´ es.

c) Montrer que b α b _n b

β b _n sont des estimateurs faiblement consistants.