D Primitives et Équations Différentielles

(1)

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Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ. On dit que la fonction 𝑔 est une solution de l’équation différentielle 𝑦^′ = 𝑓 sur 𝐼 si et seulement si 𝑔 est dérivable sur 𝐼 et, pour tout réel 𝑥 de 𝐼 : 𝑔^′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

I) PRIMITIVE D’UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE

1) Équation différentielle 𝒚^′ = 𝒇

La description de nombreux phénomènes physiques peut être modélisée par une relation entre une fonction 𝑔 et sa dérivée 𝑔′ : rechercher cette fonction 𝑔 revient à résoudre une équation différentielle.

NOTATION : on écrit généralement 𝑦 à la place de 𝑓(𝑥) et 𝑦′ à la place de 𝑓′(𝑥) dans les équations différentielles.

L’inconnue d’une équation différentielle est une fonction.

EXEMPLE

Soit l’équation différentielle 𝑦^′ = 2𝑥, pour 𝑥 élément de ℝ.

La fonction 𝑔 telle que 𝑔(𝑥) = 𝑥² est dérivable sur ℝ et, pour tout réel 𝑥, 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥.

Donc 𝑔 est une solution sur ℝ de l’équation différentielle 𝑦^′= 2𝑥.

• Plus généralement, une équation différentielle du premier ordre est une équation dans laquelle interviennent une fonction dérivable 𝑓, sa dérivée 𝑓′ et la variable 𝑥. L’inconnue de cette équation est la fonction.

EXEMPLE

𝑦^′ = 𝑥³+ 1 ; 𝑥𝑦^′+ 2𝑦 = 𝑒^𝑥 ; 5𝑦^′+ 𝑥𝑦²= sin 𝑥 𝑒𝑡 2𝑦^′− 𝑦 = 1 sont des équations différentielles du premier ordre.

EXERCICE

a) Soit l’équation différentielle 𝑦^′ = 4𝑥 − 3, pour 𝑥 réel.

Montrer que la fonction 𝑓 définie sur ℝ, par 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 3𝑥 + 1 est une solution de cette équation.

b) Soit l’équation différentielle (𝐸) ∶ 𝑦^′− 2𝑦 = 4, pour 𝑥 réel.

Montrer que la fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑒^2𝑥− 2 est une solution de cette équation.

c) Soit l’équation différentielle (𝐸^′) ∶ 𝑥𝑦^′+ 𝑦 = 6𝑥 + 1, pour 𝑥 réel.

Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 de façon que la fonction ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 soit une solution de cette équation.

Primitives et Équations Différentielles

DEFINITION

(2)

Une fonction 𝐹 dérivable sur un intervalle 𝐼 et de dérivée 𝐹′ = 𝑓 est appelée une PRIMITIVE de 𝑓 sur 𝐼.

2) Primitives d’une fonction

• La recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation.

EXEMPLE

• Si 𝐹(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 sur ℝ alors 𝐹 est dérivable sur ℝ et 𝐹′(𝑥) = 4𝑥 + 4.

𝐹 est donc une primitive sur ℝ de la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4.

• Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

La fonction 𝐹 définie sur ℝ par 𝐹(𝑥) = 𝑥² est une primitive de 𝑓 sur ℝ car 𝐹^′(𝑥) = 𝑓(𝑥) pour tout réel 𝑥.

La fonction 𝐺 définie sur ℝ par 𝐺(𝑥) = 𝑥²+ 5 est une autre primitive de 𝑓 sur ℝ.

EXERCICE

𝑓 est une fonction définie sur ℝ. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de 𝑓 : 𝐚) 𝑓(𝑥) = 2

𝐛) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝐜) 𝑓(𝑥) = −4𝑥² 𝐝) 𝑓(𝑥) = 5𝑥

𝐞) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥 + 2 𝐟) 𝑓(𝑥) = −2𝑥² 𝐠) 𝑓(𝑥) = 2𝑥⁵ 𝐡) 𝑓(𝑥) =𝑥 − 3

2

• Autrement dit, deux primitives d’une fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

REMARQUE

• On admettra que toute fonction continue sur un intervalle 𝐼 a des primitives sur 𝐼.

• Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur cet intervalle.

• Certaines fonctions non continues peuvent aussi avoir des primitives.

DEFINITION

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

PROPRIETE

• Si 𝐹₀ est une primitive de 𝑓 sur un intervalle 𝐼, alors l’ensemble des primitives de 𝑓 sur 𝐼 est l’ensemble des fonctions 𝐹 de la forme 𝐹 = 𝐹₀+ 𝑘 avec 𝑘 ∈ ℝ.

• Soit 𝑓 une fonction ayant des primitives sur un intervalle 𝐼 ; soit 𝑥₀ ∈ 𝐼 et 𝑦₀∈ ℝ.

Il existe une et une seule primitive 𝐹 de 𝑓 prenant la valeur 𝑦₀ en 𝑥₀ c’est-à-dire telle que 𝐹(𝑥₀) = 𝑦₀. PROPRIETES

(3)

3 EXERCICE

a) Soit les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒^𝑥 et 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒^𝑥. i. Montrer que 𝑔 est une primitive de 𝑓 sur ℝ.

ii. En déduire toutes les primitives de 𝑓 sur ℝ.

b) Soit 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies sur ]2 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) =2𝑥 + 1

𝑥 − 2 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 ln(𝑥 − 2).

i. Montrer que 𝑔 est une primitive de 𝑓 sur ]2 ; +∞[.

ii. Déterminer la primitive de 𝑓 sur ]2 ; +∞[ qui s’annule en 3.

3) Primitives Usuelles

Par lecture inverse du tableau des dérivées, on obtient le tableau ci-dessous :

REMARQUE

• Une fonction peut avoir une primitive, sans qu’il soit possible d’en donner une expression à partir des fonctions « usuelles ».

• C′était le cas 𝑥 ⟼1

𝑥 avant que l′on ne définisse la fonction logarithme népérien.

• C’est aussi le cas, par exemple, pour la fonction 𝑥 ⟼ 𝑒^−𝑥² et pour bien d’autres, mais rassurez-vous, il y aura une stratégie dans certains cas…

(4)

4

a) Pour chacune des fonctions 𝑓 suivantes, donner l’ensemble des primitives de 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 : 𝐚. 𝑓(𝑥) = 3𝑥²+ 2𝑥 + 1 𝐼 = ℝ

𝐛. 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 3 𝐼 = ℝ 𝐜. 𝑓(𝑥) =1

𝑥 𝐼 = ] 0 ; +∞ [ 𝐝. 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥 𝐼 = ℝ

b) Soit 𝑓 définie sur ] 0 ; +∞ [ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ¹ 𝑥²

Déterminer l’ensemble des primitives de 𝑓. Existe-t-il une primitive F de 𝑓 telle que 𝐹(1) = 2 ?

c) Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 + 9.

d) Déterminer une primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction 𝐹 définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) =1

𝑥− 4 𝑥³.

• En utilisant les formules de dérivation d’une somme et d’un produit de fonction par un réel, ainsi que la formule de dérivation d’une fonction composée, on obtient des méthodes de calcul de primitives des fonctions ayant une forme remarquable.

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle 𝐼, 𝑢 une fonction dérivable sur l’intervalle 𝐼, 𝑘 un réel quelconque et 𝑛 un entier différent de −1 et 0.

Une primitive de

𝑘𝑓

est

𝑘𝐹 avec 𝐹 une primitive de 𝑓.

𝑓 + 𝑔 𝐹 + 𝐺 avec 𝐹 une primitive de 𝑓 et 𝐺 une primitive de 𝑔.

𝑢′𝑒^𝑢 𝑒^𝑢

𝑢^′𝑢^𝑛 1

𝑛 + 1𝑢^𝑛+1 avec 𝑢 ne s’annulant pas dans le cas où 𝑛 est négatif.

𝑢^′

𝑢² −1

𝑢 avec 𝑢 ne s’annulant pas.

𝑢^′

√𝑢 2 √𝑢 avec 𝑢(𝑥) > 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼.

𝑢^′

𝑢 ln 𝑢 avec 𝑢(𝑥) > 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼.

𝑢^′cos 𝑢 sin 𝑢

𝑢^′sin 𝑢 cos 𝑢

𝑥 ⟼ cos (𝑎𝑥) 1

𝑎sin 𝑥 avec 𝑎 ≠ 0.

PROPRIETE S

(5)

5 EXERCICE

Déterminer une primitive sur ℝ⁺ de chacune des fonctions 𝑓, 𝑔, ℎ et 𝑖 définies sur ℝ⁺ par :

• 𝑓(𝑥) = 6𝑥(𝑥²− 1)³ • 𝑔(𝑥) = 5

2𝑥 + 3 • ℎ(𝑥) = 𝑒^2𝑥+1 • 𝑖(𝑥) = 2

√3𝑥 + 4 II) ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES

1) Équation Différentielle : 𝑦^′ = 𝑎𝑦

EXEMPLE

Soit l’équation différentielle 𝑦^′ = 2𝑦, pour 𝑥 ∈ ℝ.

L’ensemble de ses solutions est l’ensemble des fonctions de la forme 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^2𝑥, où 𝐶 est un réel.

On peut représenter les courbes des fonctions solutions : ces courbes se

partagent en deux groupes, selon le signe de 𝑎, et elles sont toutes asymptotes à l’axe des abscisses.

EXERCICE

• Résoudre l’équation différentielle (𝐸) ∶ 𝑦^′ = −4𝑦.

• Déterminer la solution 𝑓 de (𝐸) telle que 𝑓(2) = 1.

2) Équation Différentielle : 𝑦^′ = 𝑎𝑦 + 𝑏

L’équation 𝑦^′ = 𝑎𝑥 + 𝑏 (avec 𝑎 ≠ 0) est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Cette équation a toujours une solution particulière constante.

En effet, la fonction 𝑓₀ définie sur ℝ par 𝑓₀(𝑥) = −^𝑏

𝑎 est solution, puisque pour tout réel 𝑥, 𝑓^′(𝑥₀) = 0 et 𝑎 × (−^𝑏

𝑎) + 𝑏 = −𝑏 + 𝑏 = 0.

• Soit 𝑎 un réel.

L’ensemble des solutions dans ℝ de l’équation différentielle 𝑦^′ = 𝑎𝑦 est l’ensemble des fonctions 𝒙 ⟼ 𝑪𝒆^𝒂𝒙, où 𝐶 est une constante réelle quelconque.

• On dit que 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^𝑎𝑥 est la solution générale de l’équation 𝑦^′ = 𝑎𝑦.

PROPRIETE

• Soit 𝑎 et 𝑏 des réels non nuls.

L’ensemble des solutions dans ℝ de l’équation différentielle 𝑦^′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 est l’ensemble des fonctions 𝒙 ⟼ 𝒇(𝒙) + 𝒇_𝟎(𝒙), où 𝑓 est une solution de l’équation 𝑦^′ = 𝑎𝑦 et 𝑓₀ la solution particulière de (𝐸).

PROPRIETE

(6)

𝑦^′= 𝑎𝑦 est l’équation homogène associée à l’équation 𝑦^′= 𝑎𝑦 + 𝑏.

EXEMPLE

L’équation différentielle 𝑦^′= 2𝑦 + 6 admet pour solution particulière la fonction 𝑓₀ telle que 𝑓₀(𝑥) = −3 (puisque 𝑓^′₀(𝑥) = 0 et 2 𝑓₀(𝑥) + 6 = 0) donc ses solutions sont les fonctions 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^2𝑥− 3, où 𝐶 est un réel quelconque.

EXERCICE

Soit l’équation différentielle (𝐸) ∶ 𝑦^′ = 3𝑥 − 2.

• Déterminer la solution particulière constante solution de (𝐸).

• En déduire toutes les solutions de (𝐸).

3) Équation Différentielle : 𝑦^′ = 𝑎𝑦 + 𝑓

EXEMPLE

L’équation différentielle 𝑦^′= 2𝑦 + 𝑒^𝑥 admet pour solution particulière la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ −𝑒^𝑥 puisque 𝑓^′(𝑥) = −𝑒^𝑥 et 2𝑓(𝑥) + 𝑒^𝑥 = −𝑒^𝑥. Donc les solutions de (𝐸) sont de la forme 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^2𝑥− 𝑒^𝑥, avec 𝐶 réel quelconque.

EXERCICE

Soit l’équation différentielle (𝐸) ∶ 𝑦^′ = 𝑦 + 𝑥 − 3.

• Montrer que la fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2 est une solution de (𝐸).

• En déduire toutes les solutions de (𝐸).

• Soit 𝑎 un réel et 𝑓une fonction définie sur un intervalle 𝐼.

Toute solution dans 𝐼 de l’équation différentielle (𝐸) ∶ 𝑦^′= 𝑎𝑦 + 𝑓 est la somme d’une solution quelconque de l’équation 𝑦^′= 𝑎𝑦 et d’une solution particulière de l’équation (𝐸).

• On dit qu’on obtient la solution générale de l’équation différentielle.

PROPRIETE (ADMISE)