PRIMITIVES et équations différentielles

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Chap.14 :

PRIMITIVES et équations différentielles

Partie 1 : équation différentielle 𝒚

= 𝒇

Dans toute la suite, 𝑓 désigne une fonction définie et continue sur un intervalle 𝐼.

a) Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

On dit que 𝐹, fonction définie sur 𝐼, est une primitive de 𝑓 sur 𝐼 lorsque 𝐹 est dérivable sur 𝐼 et que 𝐹^"= 𝑓.

Dans ce cas, 𝐹 est appelée solution de l’équation différentielle 𝑦^" = 𝑓 (équation d’inconnue la fonction 𝑦).

Exemple : 𝑥 ⟼ 𝑥⁺ et 𝑥 ⟼ 𝑥⁺+ 1 sont solutions sur ℝ de l’équation différentielle 𝑦^" = 2𝑥 d’inconnue 𝑦. Ces deux fonctions sont des primitives de 𝑥 ⟼ 2𝑥.

Théorème : existence des primitives

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cette intervalle.

Théorème : non-unicité des primitives

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Démonstration : soient 𝑦₀ et 𝑦₊ deux solutions sur 𝐼 de 𝑦^"= 𝑓.

Soit 𝑔 définie sur 𝐼 par 𝑔(𝑥) = 𝑦₊(𝑥) − 𝑦₀(𝑥).

On a 𝑦₀ et 𝑦₊ sont dérivables sur 𝐼, 𝑦₀^" = 𝑓 et 𝑦₊^" = 𝑓.

Ainsi, 𝑔 est dérivable sur 𝐼 (différence) et 𝑔^" = 𝑦₊^" − 𝑦₀^" = 0.

Conclusion : 𝑔 est constante sur 𝐼 donc il existe 𝑘 ∈ ℝ tel que, pour tout 𝑥 réel, 𝑔(𝑥) = 𝑘 ou 𝑦+(𝑥) = 𝑦₀(𝑥) + 𝑘.

Propriété : solution particulière.

Soit 𝑥8∈ 𝐼 et 𝑦8 un réel quelconque.

L’équation différentielle 𝑦^" = 𝑓 admet une unique solution 𝐹 telle que 𝐹(𝑥8) = 𝑦₈. Démonstration : 𝑓 est continue et admet donc des primitives sur 𝐼.

Soient 𝐹₀ et 𝐹₊ deux d’entre elles.

Supposons qu’elles vérifient toutes deux 𝐹0(𝑥₈) = 𝑦₈ et 𝐹+(𝑥₈) = 𝑦₈ (*).

Comme il existe 𝑘 réel tel que 𝐹₀(𝑥) = 𝐹₊(𝑥) + 𝑘, alors d’après (*), on a, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 : 𝐹₀(𝑥₈) = 𝐹₊(𝑥₈) + 𝑘 ⟺ 𝑦₈= 𝑦₈+ 𝑘 ⟺ 𝑘 = 0 ⟺ 𝐹₀(𝑥) = 𝐹₊(𝑥)

Donc une telle solution est finalement unique.

Remarque : la contrainte 𝐹(𝑥8) = 𝑦₈ est appelée parfois condition initiale en sciences physiques.

Méthode : déterminer la solution 𝐹 de l’équation 𝑦^"= 𝑒^+; telle que 𝐹(0) = −1.

On s’intéressera à la fonction 𝐺 définie sur ℝ par 𝐺(𝑥) =⁰₊𝑒^+;.

Pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝐺^"(𝑥) =⁰

+× 2𝑒^+; = 𝑒^+;

Donc la solution générale de 𝑦^" = 𝑒^+; est de la forme 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑘 =⁰₊𝑒^+;+ 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ) De plus, 𝐹(0) = −1 ⟺⁰₊𝑒^+×8+ 𝑘 = −1 ⟺ 𝑘 = −1 −⁰

+= −^>

+ donc, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) =⁰₊𝑒^+;−^>

+

Jusqu’à 02 :04

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b) Primitives des fonctions de référence.

Le tableau de dérivation des fonctions de référence nous permet d’obtenir :

Fonction 𝑓 Une primitive 𝐹 Sur l’intervalle 𝐼

𝑥 ⟼ 𝑎 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 ℝ

𝑥 ⟼ 𝑥

𝑥 ⟼𝑥⁺ 2

ℝ 𝑥 ⟼ 𝑥^@ (avec 𝑛 ∈ ℤ et 𝑛 ≠ −1)

𝑥 ⟼ 𝑥^@D0 𝑛 + 1

ℝ si 𝑛 ≥ 0 ; ℝ^∗ si 𝑛 < 0

𝑥 ⟼ 1

𝑥⁺ 𝑥 ⟼ −1

𝑥

ℝ^∗

𝑥 ⟼ 1

√𝑥

𝑥 ⟼ 2√𝑥 ]0; +∞[

𝑥 ⟼ 𝑒^; 𝑥 ⟼ 𝑒^; ℝ

𝑥 ⟼1 𝑥

𝑥 ⟼ ln(𝑥) ]0; +∞[

𝑥 ⟼ sin(𝑥) 𝑥 ⟼ − cos(𝑥) ℝ

𝑥 ⟼ cos(𝑥) 𝑥 ⟼ sin(𝑥) ℝ

Propriétés : somme et produit par un réel

Soient 𝐹 une primitive d’une fonction 𝑓 et 𝐺 une primitive d’une fonction 𝑔 sur 𝐼, et 𝜆 ∈ ℝ.

§ 𝐹 + 𝐺 est une primitive de la fonction 𝑓 + 𝑔 sur 𝐼.

§ 𝜆𝐹 est une primitive de 𝜆𝑓 sur 𝐼.

Démonstration : on a 𝐹^" = 𝑓 et 𝐺^"= 𝑔. Or (𝐹 + 𝐺)^" = 𝐹^"+ 𝐺^" = 𝑓 + 𝑔 et (𝜆𝐹)^"= 𝜆𝐹^"= 𝜆𝑓.

Méthode : résoudre l’équation (𝐸): 𝑦^"= 𝑥⁺+ cos(𝑥) d’inconnue 𝑦 définie sur ℝ.

Une primitive de 𝑦^" = 𝑥⁺ est 𝑦0(𝑥) =^;_>^V et une primitive de 𝑦^" = cos(𝑥) est 𝑦+(𝑥) = sin(𝑥).

Donc les solutions de (𝐸) sont de la forme 𝑦(𝑥) =^;_>^V+ sin(𝑥) + 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)

c) Primitives des fonctions de la forme 𝒖

Propriété : primitive de 𝒖^"× (𝒗^"∘ 𝒖)

Soient 𝑣 et 𝑢 deux fonctions respectivement définies et dérivables sur 𝐽 et 𝐼 , telles que, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑢(𝑥) ∈ 𝐽.

Alors 𝑣 ∘ 𝑢 est une primitive sur 𝐼 de 𝑢^"× (𝑣^"∘ 𝑢)

Méthode : résoudre l’équation différentielle (𝐸): 𝑦^"=_(;]^;

D0)^] d’inconnue 𝑦.

𝑦^"= 𝑥

(𝑥⁺+ 1)⁺=1

2× 2𝑥

(𝑥⁺+ 1)⁺=1

2×𝑢^"(𝑥) 𝑢(𝑥)⁺ Avec 𝑢(𝑥) = 𝑥⁺+ 1 et 𝑢^"(𝑥) = 2𝑥. Or une primitve de ^{^_}

^^] est −_^⁰ Donc les solutions de (𝐸) sont donc de la forme 𝑦(𝑥) =⁰₊× `− ⁰

;^]D0a + 𝑘 = − ⁰

+(;^]D0)+ 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)

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Partie 2 : équation différentielle 𝒚

= 𝒂𝒚 + 𝒃 et 𝒚

= 𝒂𝒚 + 𝒇

Dans toute la suite, 𝑎 et 𝑏 désignent des réels, et 𝑓 une fonction définie et dérivable sur un intervalle 𝐼.

a) Résolution de l’équation différentielle 𝒚

Définition : équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

L’équation différentielle 𝑦^" = 𝑎𝑦 (ou encore 𝑦^"− 𝑎𝑦 = 0) est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Exemples : 𝑦^"+ 3𝑦 = 0 ou 2𝑦^"= 5𝑦 sont des équations différentielles de ce type (respectivement : 𝑎 = −3 et 𝑎 =^g₊).

Propriétés : solutions de 𝒚^"= 𝒂𝒚.

Les solutions de (𝐸₈): 𝑦^"= 𝑎𝑦 sont les fonctions définies sur ℝ par 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^i; où 𝐶 est un réel.

Pour tous réels 𝑥₈ et 𝑦₈, (𝐸₈) admet une unique solution 𝑦 telle que 𝑦(𝑥₈) = 𝑦₈.

Démonstration :1) ⟹ Soient 𝐶un réel et 𝑦 la fonction définie sur ℝ par 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^i;. Alors 𝑦 est dérivable sur ℝ (fonction exponentielle) et pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦^"(𝑥) = 𝐶𝑎𝑒^i;= 𝑎𝑦(𝑥). Ainsi 𝑦 est solution de (𝐸₈).

⟸ Réciproquement, soient 𝑦 une solution de (𝐸₈) et la fonction 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 𝑦(𝑥)𝑒^li;.

Alors 𝑔 est dérivable sur ℝ et pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑔^"(𝑥) = 𝑦^"(𝑥)𝑒^li;− 𝑎𝑦(𝑥)𝑒^li; = 𝑎𝑦(𝑥)𝑒^li;− 𝑎𝑦(𝑥)𝑒^li; = 0 Donc 𝑔 est une fonction constante c’est-à-dire qu’il existe un réel 𝐶 tel que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝐶

Soit 𝑦(𝑥)𝑒^li;= 𝐶 c’est-à-dire 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^i;.

2) Soit 𝑦 une solution de (𝐸₈). D’après 1), il existe un réel 𝐶 tel que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^i;. Par hypothèse, 𝑦(𝑥₈) = 𝑦₈⟺ 𝐶𝑒^i;n = 𝑦₈⟺ 𝐶 = 𝑦₈𝑒^li;n.

Donc, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦(𝑥) = 𝑦₈𝑒^li;n𝑒^i;= 𝑦₈𝑒^i(;l;n) et cette solution est unique.

Exemple : les fonctions définies sur ℝ par 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^+;, où 𝐶 est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle

(𝐸₈): 𝑦^"= 2𝑦 . Voici l’allure des courbes représentatives de certaines solutions de (𝐸₈) :

Propriété : somme de solutions et produit d’une solution par un réel

Soient 𝑦0 et 𝑦+ des solutions de (𝐸₈) et 𝑘 ∈ ℝ. Alors la somme 𝑦0+ 𝑦₊ et le produit 𝑘𝑦0 sont aussi solutions de (𝐸₈).

Méthode : résoudre l’équation différentielle 2𝑦^"+ 3𝑦 = 0 avec la condition initiale 𝑦(2) = 1.

2𝑦^"+ 3𝑦 = 0 ⟺ 𝑦^" = −^>₊𝑦 donc les solutions sont de la forme 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^lV];.

Or 𝑦(2) = 1 ⟺ 𝐶𝑒^lV]×+ = 1 ⟺ 𝐶𝑒^l>= 1 ⟺ 𝐶 =_p⁰_qV= 𝑒^>

Donc la solution particulière est 𝑦(𝑥) = 𝑒^>𝑒^lV]; = 𝑒^>`0lr]a

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b) Résolution de l’équation différentielle 𝒚

Définition : équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre

L’équation différentielle 𝑦^" = 𝑎𝑦 + 𝑏 (ou encore 𝑦^"− 𝑎𝑦 = 𝑏) est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété : solutions de 𝒚^" = 𝒂𝒚 + 𝒃.

Les solutions de (𝐸₈): 𝑦^"= 𝑎𝑦 sont les fonctions définies sur ℝ par 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^i;−^t

i où 𝐶 est un réel.

Démonstration : soit (𝐸) : 𝑦^" = 𝑎𝑦 + 𝑏 une équation différentielle avec 𝑎 ≠ 0.

1) On détermine une solution constante 𝜑: 𝑥 ⟼ 𝑘 de (𝐸) où 𝑘 ∈ ℝ. Alors 𝜑^"(𝑥) = 0 donc 𝜑 est solution de (𝐸) ssi

𝜑^"(𝑥) = 𝑎𝜑(𝑥) + 𝑏 ⟺ 0 = 𝑎𝑘 + 𝑏 ⟺ 𝑘 = −^t_i donc 𝜑(𝑥) = −_i^t.

2) Soit 𝑦 une fonction dérivable sur ℝ. 𝑦 est solution de (𝐸) ssi pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦^"(𝑥) = 𝑎𝑦(𝑥) + 𝑏.

𝑦 − 𝜑 est dérivable sur ℝ et, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, (𝑦 − 𝜑)^"(𝑥) = 𝑦^"(𝑥) − 𝜑^"(𝑥) = 𝑎𝑦(𝑥) + 𝑏 − 0 = 𝑎𝑦(𝑥) + 𝑏 = 𝑎 `𝑦(𝑥) +^t

ia = 𝑎(𝑦(𝑥) − 𝜑(𝑥)) donc 𝑦 − 𝜑 est solution de (𝐸₈): 𝑦^"= 𝑎𝑦.

Réciproquement, 𝑦 − 𝜑 est solution de (𝐸₈) ssi (𝑦 − 𝜑)^"= 𝑎(𝑦 − 𝜑) ssi 𝑦^"− 𝜑^"= 𝑎𝑦 − 𝑎𝜑 ssi pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦^"(𝑥) = 𝑎𝑦(𝑥) − 𝑎 × `−^t_ia car 𝜑^"(𝑥) = 0.

Pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦^"(𝑥) = 𝑎𝑦(𝑥) + 𝑏 donc 𝑦 est solution de (𝐸).

3) Les solutions de (𝐸₈) sont les fonctions définies sur ℝ par 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^i; (avec 𝐶 ∈ ℝ).

Donc celles de (𝐸) sont les fonctions définies sur ℝ par 𝑥 ⟼ 𝐶𝑒^i;−^t

i (avec 𝐶 ∈ ℝ)

Exemple : les solutions de 𝑦^" = 2𝑦 + 3 sont les fonctions définies sur ℝ par 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒^+;−^>

+ (𝐶 ∈ ℝ).

Méthode : déterminer la solution de l’équation différentielle (𝐸) : 2𝑦^"+ 3𝑦 = 2 telle que 𝑦(2) = −⁰_>.

c) Résolution de l’équation différentielle 𝒚

Propriété : solutions de 𝒚^" = 𝒂𝒚 + 𝒇.

Soient (𝐸) l’équation différentielle𝑦^"= 𝑎𝑦 + 𝑓 et 𝜑 une solution particulière de (𝐸).

Alors 𝑦 est une solution de (𝐸) si et seulement si 𝑦 − 𝜑 est une solution de l’équation homogène associée 𝑦^" = 𝑎𝑦.

Méthode : soit (𝐸) l’équation différentielle 2𝑦^"+ 3𝑦 = 6𝑥 + 1. On note 𝜑 une fonction affine qui est une solution particulière de (𝐸). A l’aide de 𝜑, résoudre (𝐸).

§ Posons 𝜑(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝. 𝜑 est dérivable comme fonction affine et 𝜑^"(𝑥) = 𝑚.

𝜑 solution de (𝐸) ⟺ 2𝑚 + 3(𝑚𝑥 + 𝑝) = 6𝑥 + 1 ⟺ 2𝑚 + 3𝑚𝑥 + 𝑝 = 6𝑥 + 1 ⟺ y2𝑚 + 3𝑝 = 13𝑚 = 6 ⟺ y𝑝 = −1

𝑚 = 2 D’où : 𝜑(𝑥) = 2𝑥 − 1 est solution particulière de (𝐸).

§ L’équation homogène associée à (𝐸) est 2𝑦^"+ 3𝑦 = 0 soit 𝑦^"= −^>₊𝑦 de solutions 𝑥 ↦ 𝐶𝑒^lV]; (𝐶 ∈ ℝ).

Les solutions de (𝐸) sont donc les fonctions définies sur ℝ par 𝑥 ↦ 𝐶𝑒^lV];+ 2𝑥 − 1 (𝐶 ∈ ℝ).

HORS PROGRAMME : équation du 2^nd ordre

A partir de 02 :04