Équations différentielles et primitives Table des matières

Équations différentielles et primitives

Table des matières

I Équation différentielle . . . 1

II Équation différentielley^′=f. . . 2

II.1 Primitive d’une fonction continue . . . 2

II.2 Primitives des fonctions usuelles. . . 3

II.3 Primitives et opérations : . . . 4

III Équations différentiellesy^′=ay+bety^′=ay+f, aveca6=0 . . . 4

III.1 Résolution de l’équation différentielley^′=ay,a6=0. . . 4

III.2 Résolution dey^′=ay+b,a6=0 . . . 5

III.3 Résolution dey^′=ay+f,a6=0 . . . 6

Activité A page 286

1. Soit f(x)=3e^2x.

Pour toutx∈R, f^′(x)=3×2e^2x=6e^2x.

Par conséquent : f^′(x)−2f(x)=6e^2x−6e^2x=0 donc f^′−2f =0. 2. Soit l’équationy^′=4y−6.

(a) f(x)=3e^4x+3

2; f^′(x)=12e^4x et 4f(x)−6=12e^4x+6−6=12e^4x donc f^′=4f −6. f vérifie cette équation.

(b) g(x)=4e^x−6

g^′(x)=4e^x; 4g(x)−6=16e^x−24−6=16e^x−30 donc g^′6=4g−6 ;g ne vérifie pas cette équation.

(c) h(x)=5e^4x+3 2

h^′(x)=5×4e^4x=20e^4x; 4h(x)−6=20e^4x+6−6=20e^4x. h^′=4h−6 donchest solution de cette équation.

I Équation différentielle

On appelle équation différentielle une équation à une inconnue dont l’inconnue est unefonction et faisant intervenir la fonction, sa dérivée et éventuellement les dérivées d’ordre deux, trois, etc.

Définition

Exemples

a) y^′=y, équation différentielle dont la fonction exponentielle est une solution car exp^′=exp

b) Équation du pendule simple : une masse est suspendue à un fil de longueurLà l’équilibre, donc verticale- ment.

=

II Équation différentielle y

= f

f est une fonction continue sur un intervalleI. II.1 Primitive d’une fonction continue

SoitF une fonction définie sur I. On dit que F est une primitive de f sur I siF est dérivable surI et F^′=f.

On dit alors queF est une solution de l’équation différentielle y^′= f, appelée équation différentielle, d’inconnuey.

Définition

Exemples:

a Soit l’équation différentielley^′=x². (remarque, on commet un abus de langage, carx²est un nombre, pas une fonction).

SoitF(x)=1

3x³;F^′(x)=1

3×3x²=x²doncF est solution de l’équation différnetielley^′=x². b Soit l’équation différentielley^′= 1

x sur ]0 ;+∞[;

F définie parF(x)=lnxest solution de cette équation différentielle car ln^′(x)=1 x.

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives sur cet intervalle.

Théorème (admis)

Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Théorème

Démonstration.

Soit f une fonction continue sur un intervalleI.

• SoitF une primitive de f doncF^′=f.

Soitk∈Rune constante. (F+k)^′=F^′+0=f doncF+kest aussi une primitive def.

• SoientF etGdeux primitives def surI. AlorsF^′=f etG^′=f.

G−F est dérivable; (G−F)^′=G^′−F^′=f −f =0 donc (G−F)^′=0.

G−F est donc constant ;G−F =kd’oùG=F+k,k∈R.

=

On considère l’équation différentielley^′=f. Soientx₀ety₀deux réels.

Il existe une unique solution de cette équation différentielle, donc une unique primitiveF de f, telle que F(x₀)=y₀

Propriété

Démonstration:

f est continue, donc admet une primitiveF. Les autres primitives def sont de la formeF+k.

On doit avoirF(x0)=y₀donck=y₀−F(x0) ; kest donc unique et la primitive aussi.

Exemple: soit f(x)=e^3x. Une primitive de f estF(x)=1

3e^3x carF^′(x)=3e^3x. Il y a une seule primitiveGde f vérifiantG(0)= −1.

G(x)=F(x)+k=1

3e^3x+k;G(0)= −1⇔k= −1

3 donc G(x)=1 3x−1

3

II.2 Primitives des fonctions usuelles

Par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions usuelles, on obtient les résultats suivants :

Fonction une primitive validité

f(x)=a∈R F(x)=ax R

f(x)=xⁿ(n∈N^∗) F(x)= xⁿ⁺¹

n+1 R

f(x)=1

x F(x)=ln(x) ]0 ; +∞[

f(x)= 1

x² F(x)= −1

x R^∗

f(x)= 1

xⁿ, n∈N,n>1 F(x)= − 1

(n−1)xⁿ⁻¹ R^∗

f(x)= 1 2p

x F(x)=p

x ]0;+∞[

f(x)=e^x F(x)=e^x R

f(x)=cosx F(x)=sinx R

f(x)=sinx F(x)= −cosx R

Hors-programme: f(x)=1+tan²x= 1

cos²x F(x)=tanx

i(2k−1)π

2;(2k+1)π 2

h,k∈Z

= + = + 6=

II.3 Primitives et opérations :

Soientuetvdeux fonctions admettant des primitives respectivesU etV sur un intervalleIetg une fonction admettant une primitiveGsur un intervalleJcontenant l’intervalleu(I).

On noteu^′la dérivée deu.

Fonction une primitive validité

f =αu+βv((α,β)∈R²) F=αU+βV I

f =u^′×g◦u F =G◦u I

f =u^′uⁿ(n∈N^∗ uⁿ⁺¹

n+1 I

f =u^′

u ln|u| u ne s’annule pas surI

f = u^′

uⁿ,n∈N, n>1 F= − 1

(n−1)uⁿ⁻¹ une s’annule pas surI f = u^′

2p

u F=p

u u>0 surI

f =u^′e^u F =e^u

f =u^′cos(u) sin(u) I

f =u^′sin(u) −cos(u) I

Cela vient des formules de dérivation.

Exemple:

Résoudre l’équation différentielley^′= x

¡x²+1¢2(E).

Soit f la fonction définie surRpar f(x)= x

¡x²+1¢2. f est continue surRdoncf admet des primitives surR. On remarque que f(x)=x× 1

¡x²+1¢₂. Posonsu(x)=x²+1 ; alorsu^′(x)=2x.

On voit que f =1

2u^′(x)× 1

u² dont une primitive estF =1 2×

µ

−1 u

¶ . Par conséquent :F(x)= −1

2× 1

x²+1= − 1 2¡

x²+1¢

III Équations différentielles y

= ay + b et y

= ay + f, avec a 6= 0

III.1 Résolution de l’équation différentielle y^′=ay,a6=0

L’équation différentielley^′=a yqui s’écrit aussiy^′−a y=0 oùaetbsont des réels est appelée équation différentielle linéaire homogène de premier ordre à coefficients constants.

Définition

= + = + 6=

Les solutions de l’équation différentielle (E)y^′=a ysont les fonctions définies surRpary(x)=ke^ax, où kest un réel quelconque.

Pour tous réelsx₀ety₀, il existe une unique solutionytelle quey(x0)=y₀

Propriété

Démonstration.

• Soientkun réel etyla fonction définie pary=ke^ax. Alorsy^′(x)=k×ae^ax=a×y(x) doncy^′=a y.

yest bien une solution de cette équation (E)

• Réciproquement:

Soityune solution de (E) doncy^′=a y.

On considère la fonctiong définie parg(x)=y(x)e^−ax. g est dérivable etg^′(x)=y^′(x)e^−ax+y(x)ס

−ae^−ax¢

=a y(x)e^−ax−a y(x)e^−ax=0.

Pour toutx,g^′=0 doncg est une fonction constante.

Il existek∈Rtel queg =kdoncg(x)=kpour toutx.

Org(x)=y(x)e^−ax, doncy(x)e^−ax =k.

On en déduit : y(x)=ke^ax .

Soienty1ety2deux solutions de (E) etkun réel.

Alorsy₁+y₂etk y₁sont aussi solutions de (E).

Propriété

III.2 Résolution de y^′=ay+b,a6=0

L’équation différentielle (E) : y^′=a y+b ou y^′−a y =b est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Définition

Les solutions de (E) :y^′=a y+bouy^′−a y=bsont les fonctions définies surRparx7→ke^ax−b a.

Propriété

Remarque: les solutions s’obtiennent en ajoutant une solution particulière constante aux solutions de l’équa- tion homogèrey^′=a yassociée.

= + = + 6=

• Soityune foonction dérivable surR.

yest solution de (E) si, et seulement si,y^′=a y+bdonc, pour toutx,y(x)=a y(x)+b.

y−ϕest dérivable et¡ y−ϕ¢_′

=y^′−ϕ^′=(a y+b)−(aϕ+b)=a y+b−aϕ−b=a(y−ϕ).

On. en déduit quey−ϕest sulution de l’équation différentielle (E₀) :y^′−a y=0.

D’après le paragraphe précédent, on obtient : (y−ϕ)(x) = ke^ax donc y(x) =ke^ax +ϕ(x), c’est-à-dire : y(x)=ke^ax−b

a .

• Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies par y(x)=ke^ax−b

a,k∈R Exemple : soit (E) :y^′=3y−2.

y^′=a y+baveca=3 etb=2.

Les solutions de cette équation. différentielle sont les fonctions : y7→y(x)=ke^3x−2 3 . III.3 Résolution de y^′=ay+f,a6=0

L’équation différentielle (E) : y^′=a y+f ou y^′−a y = f est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Définition

Soitϕune solution particulière de (E).

Alors yest une solution de (E)si, et seulement si,y−ϕest une solution de l’équation différentielle ho- mogène associéey^′=a y.

Propriété

Exemple:

Soit l’équation différentielle 2y^′+3y=6x+1.

On noteϕune fonction affine qui est une solution particulière de (E).

À l’aide deϕ, résoudre (E).

1. On poseϕ(x)=mx+p(fonction affine).

ϕest solution de (E)⇔2m+3(mx+p)=6x+1⇔

(3m=6

2m+p=1 ⇔

(m=2 p= −1 . Òn en déduitϕ(x)=2x−1.

2. L’équation homogène associée est 2y^′+3y=0⇔y^′= −3 2y. Les solutions sontx7→ke^−32x,k∈R.

Les solutions de l’équation (E) sont donc x7→ke^−32x+2x−1